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Optimiser l’anisotropie: une approche globale pour les stratifiés

Optimiser l’anisotropie: une approche globale pour les stratifiés. P. Vannucci - UVSQ Institut Jean le Rond d’Alembert – UMR7190 Université Paris 6 - CNRS. Séminaire ENSMA – Poitiers , 18 novembre 2010. Introduction 1.

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Optimiser l’anisotropie: une approche globale pour les stratifiés

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  1. Optimiser l’anisotropie: une approche globale pour les stratifiés P. Vannucci - UVSQ Institut Jean le Rond d’Alembert – UMR7190 Université Paris 6 - CNRS Séminaire ENSMA – Poitiers, 18 novembre 2010

  2. Introduction 1 • Les matériaux anisotropes, et notamment les stratifiés en composite, sont une excellente solution à un grand nombre de problèmes, spécialement pour les structures légères. • Cependant, ils donnent un certain nombre de problèmes compliqués aux concepteurs.

  3. x3=z y x2 x q x1 Introduction 2 • Nous avons développé une série de recherches, avec le but de réconsidérer d’une manière radicale les problèmes qui concernent la conception de structures anisotropes: • la représentation de l’anisotropie • la formulation de stratégies de conception sous la forme de problèmes d’optimization globale (y compris les symétries élastiques) • la création d’algorithmes adaptés à la recherche de stratifiés optimaux • Point commun de ces recherches: la méthode polaire. • Ce séminaire concerne une partie de ces recherches

  4. Plan de l’exposé • Partie 1: un peu de théorie • La méthode polaire, c’est quoi? • Bases de la méthode polaire • Des cas exotiques • Méthode polaire et stratifiés • Partie 2: conception optimale des stratifiés • Optimiser les stratifiés: une approche polaire • L’outil numérique: BIANCA • Exemples • Partie 3: perspectives • Stratifiés couplés • Anisotropie distribuée et résistance • Problèmes étranges

  5. La méthodepolaire,c’est quoi? • Au fond, la méthodepolaireestunestratégiemathématique pour trouver un ensemble completd’invariantstensorielsindependants d’un tenseur 2D. • Ces invariants peuvent aider àcomprendrel’anisotropied’unemanièredifférente et peuvent, souventmais pas toujours, êtretrèsutilesdans des problèmes de conception. • La méthodepolaire a ses bases dansune technique classique en physique mathématique: une transformation de variable complexe (voilàpourquoiça ne marchequ’en 2D). 1ère Partie

  6. Bases de la méthodepolaire1 • L’anisotropieest la dépendanced’unequantité de la direction; cecientraineplusieursdifficultés, surtout en conception. • L’idéalçaserait, peutêtre, la chose suivante: • disposer d’unereprésentationintrinsèque de l’anisotropie, à savoir n’utilisantque des invariants tensoriels et d’un nombresuffisant de paramètres de direction pour fixer un réferentiel • en plus, les invariants devraientêtrechoisis de tellesortequ’ilsrepresententunequelquepropriété physique; • si possible, cespropriétésdevraientêtreliées au type d’anisotropie du matériau. • C’estcequ’il a été fait en 1979 par G. Verchery avec la méthodepolaire. 1ère Partie

  7. Bases de la méthodepolaire2 • La transformation de Verchery • Pour un vecteur plan x= (x1, x2) les composantescontravariantessontdonnées par la relation • Des manipulations algébriques standard donnent la transformation pour un tenseurd’ordrenquelconque: • Toutes les matrices mnsontunitaires, orthogonales, bi-symétriques; en plus, • Cespropriétésontd’importantesconséquencesalgébriques pour la recherche des invariants (en particulier, les matrices de rotation et de symétriemiroirsontdiagonales et anti-diagonales). 1ère Partie

  8. Bases de la méthodepolaire3 • Les tenseurs du type de l’élasticité • Remarque: etc. • Rotation de répère d’un angle q: 1ère Partie

  9. Bases de la méthodepolaire4 • Tenseurs du 4èmeordre: 1ère Partie

  10. Bases de la méthodepolaire5 • Invariants • Grâceà la dernière relation, les invariants par rotation sontaisementcalculés: linéairequadratiquecubique • Relation de syzygie: • Ces relations donnent un ensemble un ensemble complet de 5 invariants indépendants. 1ère Partie

  11. Bases de la méthodepolaire6 • Expression cartésienne des invariants 1ère Partie

  12. Bases de la méthodepolaire7 • Les composantespolaires: 1ère Partie

  13. Bases de la méthodepolaire8 • Inversement • T0, T1, R0, R1 et la différenceangulaireF0-F1sont 5 invariants indépendants; le choix d’un angle polaire fixe le referentiel (normalement, F1 =0). 1ère Partie

  14. Bases de la méthodepolaire9 • Rotation du répère: partieisotropepartieanisotrope • Cetteparticularitépropreà la méthodepolaire de séparer la partieisotrope de celleanisotrope se révèleêtretrès utile en conception des stratifiésà couches identiques. 1ère Partie

  15. Bases de la méthodepolaire10 • Composantes de T-1: • Remarque: 1ère Partie

  16. Bases de la méthodepolaire11 • Caractérisationinvariante des symétriesélastiques • Orthotropieordinaire: (Vong & Verchery, 1986) • Orthotropie R1 : (Verchery 1979) • Orhtotropie R0 : (Vannucci, 2002) 1ère Partie

  17. Bases de la méthodepolaire12 • Orthotropie ordinaire • Si l’on fixe F1=0, les composantes cartésiennes du tenseur de l’élasticité des matériaux orthotropes ordinaires sont: • K et le rapport d’anisotropie determinent la qualité de l’orthotropie ordinaire. 1ère Partie

  18. R1 K= 0 K= 1 T1 Bases de la méthodepolaire13 • Variation angulaire de Txxxx(q): 3 cas • Le type d’orthotropie influence fortement l’optimum d’un problème donné (Vannucci, IJMS, 2010). • Bornes sur les modules polaires élastiques pour le cas orthotrope: W W r<1, K=0;1 r>1, K=0 r>1, K=1 1ère Partie 18

  19. Bases de la méthodepolaire14 • Quelquesexemples de matériauxanisotropes 1ère Partie

  20. Des casexotiques1 • Orthotropie R0 : un étrange cas (ou deux?) • Si R0 =0, • Les composantes cartésiennes sont isotropes ou varient comme celles d’un tenseur du 2nd ordre. • Les conditions cartésiennes pour l’orthotropie R0 sont 1ère Partie

  21. Des casexotiques2 • Les composantes de S=T-1: • Aucune des composantes de S n’est zéro, ni isotrope ou comme celle d’un tenseur du 2nd ordre. 1ère Partie

  22. Des casexotiques3 • La relation entre T et S est parfaitement symétrique: ainsi, il existe aussi une autre classe de matériaux orthotropes, le matériaux r0-orthotropes, qui ont r0=0 (Vannucci, JoE, 2002). • Ceci montre que l’anisotropie est plus une question de comportement que de matériaux: le même matériaux peut avoir différents comportements en rigidité et en souplesse. • Toutefois, le nombre de constantes indépendantes est le même, 3 dans les deux cas. 1ère Partie

  23. Des casexotiques4 • Un étrange matériau (Vannucci, JoE, 2010). • Pour un matériau r0-orthotrope • Cet étrange matériau est peut être le plus repandu de tous: le papier!(Horio & Onogi, 1951; Campbell 1961; Ostoja-Starzewski & Stahl, 2000). 1ère Partie

  24. Des casexotiques5 • Anisotropie de corps complexes (Vannucci & Verchery, IJSS, 2010). • L’influence des symétries tensorielles sur les symétries matérielles peut être étudié en analysant les invariants polaires de corps complexes. • Un exemple: T a seulement les symétries majeures 1ère Partie

  25. Des casexotiques6 • Il y a 9 invariants polaires: T0, T1, T2, T3, R0, R1, R2, F0-F1, F1-F2. • On dénombre 7 conditions suffisantes d’orthotropie, qui déterminent 1 orthotropie ordinaire et 6 orthotropies spéciales. 1ère Partie

  26. Méthodepolaire et stratifiés1 • La Classical Laminated Plates Theory (CLPT) donne la loi de comportement pour un stratifié mince: 1ère Partie

  27. Méthodepolaire et stratifiés2 • Tenseurs normalisés: • Un stratifié est découplé si B=O et quasi-homogène si, en plus, aussi le tenseur d’homogénéité est nul: C=A*-D*=O. • Avec le formalisme polaire, pour un stratifié de n plis identiques, on obtient: 1ère Partie

  28. Méthodepolaire et stratifiés3 1ère Partie

  29. Méthodepolaire et stratifiés4 1ère Partie

  30. Méthodepolaire et stratifiés5 • 2 remarques fondamentales pour la conception des stratifiés à plis identiques: • seulement la partie anisotrope entre dans le processus de conception; ainsi, il n’y a que deux équations polaires pour chaque tenseur. • la partie matérielle et géométrique peuvent être séparées: par exemple: Partiegéométrique: paramètres de stratification, x0, x1….. Partiematérielle: paramètrespolaires 1ère Partie Domained’existence des paramètres de stratification:

  31. Optimiser les stratifiés: uneapprochepolaire1 • Objectif de la recherche: utiliser le formalisme polaire pour formaliser une procédure d’optimisation sans aucune hypothèse simplificatrice (true global optimization, Vannucci, IJSMO, 2006) • Trois motifs: • recherche des vrais minima globaux (si une hypothèse simplificatrice est faite, il est en général impossible de trouver un minimum global); • ouvrir la voie vers de nouvelles stratégies de conception des stratifiés, capables, en principe, d’obtenir de nouveaux, plus intéressants stratifiés (plus légers? plus rigides? plus résistants?); • certains problèmes nouveaux, très compliqués, ne peuvent pas être abordés dans un cadre simplifié, traditionnel. • Le point clé est: en conception des stratifiés, les propriétés mécaniques générales doivent être considérées comme partie du processus de conception: les anisotropies du stratifié doivent être conçues. 2ème Partie

  32. Optimiser les stratifiés: uneapprochepolaire2 • Stratégie générale: construire une fonction convenable et générale, dans l’espace des paramètres polaires du stratifié, qui dans certains cas sera l’objectif, dans d’autres une contrainte au problème de minimum: 2ème Partie

  33. Optimiser les stratifiés: uneapprochepolaire3 • Trois différents types de problèmes de conception • 1. conception des propriétés élastiques: minimiser I pour une matrice H donnée: • 2. même problème, mais avec des contraintes: • 3. minimiser un objectif donné avec des propriétés élastiques spécifiées et avec certaines contraintes imposées: • minf(x) • et I[Pk(x)]=0 2ème Partie

  34. Optimiser les stratifiés: uneapprochepolaire4 • Le choix des symétries élastiques détermine les composantes de la matrice H. • Toutes les combinaisons possibles de propriétés de A, B et D peuvent être prises en compte (et aussi pour d’autres champs, e.g. thermoélasticité, piézoélectricité). 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 C=O -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 - 1 1 B=O 1 1 1 1 2 2ème Partie R1A=0

  35. L’outilnumérique: BIANCA 1 • Aspects numériques: • Le défaut de cette approche est qu’il faut disposer de techniques numériques très performantes pour la recherche des minima globaux. • En vue du type d’objectif/contraintes (fonctions très non linéaires, multimodales), les métaheuristiques sont plus indiquées des méthodes classiques de descente. • Pour des problèmes très compliqués, les métaheuristiques classiques utilisées dans ce domaine, n’étaient pas une garantie de succès (trop simplifiées, parfois rustiques). • Nous avons développé 2 codes pour ces types de problèmes: • BIANCA: un algorithme génétique avec traitement de contraintes d’égalité et d’inégalité, basé sur un représentation très détaillée de l’information et capable de croiser aussi les espèces; il peut résoudre les trois types de problèmes. • ALE-PSO: un code par essaim particulaire avec contrôle des coefficients aléatoires, avec traitement des contraintes d’inégalité; plus rapide de BIANCA, il peut résoudre le deux premiers types de problèmes. 2ème Partie

  36. L’outilnumérique: BIANCA 2 • BIANCA est un AG qui cherche à simuler le plus possible la structure du génotype et le réglage biologique que celui-ci a sur le fonctionnement des êtres vivants. • La structure de la représentation génétique et de ses transformations permet de gérer le fonctionnement d’êtres complexes et leur évolution par adaptation darwinienne. • Il suffit de penser que dans chaque cellule humaine il y a environ 2 m d’ADN, qui stocke à l’échelle moléculaire une énorme quantité d’informations et qui est capable de les faire évoluer, pour un total d’environ 25 milliards de km d’ADN pour chaque humain adulte. 2ème Partie

  37. Opérateur d'adaptation: calcul de la fitness des individus Opérateur de croisement: cross-over aléatoire des individus Opérateur de sélection aléatoire guidée des individus Entrée: population de n individus non Résultats: meilleure individu, adaptation moyenne de la population Opérateur de mutation aléatoire des individus Nouvelle population Critère d'arrêt oui L’outil numérique: BIANCA 3 • BIANCA a été construit en s’inspirant de ça: gérer la complexité. • L’architecture de BIANCA est celle typique d’un AG classique: 2ème Partie

  38. L’outil numérique: BIANCA 4 • Toutefois, on a ajouté des particularités: BIANCA est: • multi-chromosome, et multi-gène • multi-population • codage binaire virtuel • opérations génétiques booléennes sur chaque gène • peut faire l’élitisme aussi en présence de contraintes • traite les contraintes par une nouvelle méthode (pénalisation automatique dynamique) • croise et fait évoluer aussi les espèces, indépendamment des individus • traite les problèmes multi-objectif • peut être interfacé avec tout autre logiciel de calcul (notamment ABAQUS, ANSYS, NASTRAN, MATLAB etc.) 2ème Partie

  39. L’outil numérique: BIANCA 5 • La complexité est gérée dans BIANCA directement à partir de la représentation de l’information: un individu, solution possible au problème donné, est représenté par un vecteur being(npop, nind, nchrom, ngene) • npop: nombre de populations parallèles • nind: nombre d’individus dans une population • nchrom: nombre de chromosomes dans chaque individu • ngene: nombre de gènes dans chaque chromosome 2ème Partie being 1 beings

  40. L’outil numérique: BIANCA 6 • Le cas des stratifiés: • Chaque stratifié est un individu • Il est représenté par un vecteur being • Son génotype a un nombre de chromosome n: chaque chromosome représente une couche • Chaque chromosome est composé d’un nombre de gènes égal au nombre de paramètres significatifs pour le problème (e.g. orientation, épaisseur, propriétés mécaniques etc.). Remarque: stratifiés avec n différent appartiennent à différentes espèces 2ème Partie

  41. Exemples1 • Exemple de problème de type 1 • 12-plis, carbone-époxyde T300/5208; R1=0 en membrane et flexion, B=O et réponse piézoélectrique isotrope (actionneurs: PZT4). • Meilleure solution trouvée par l’A.G. BIANCA: [0/90/44.98/-41.80/-74.53/40.47/0/-71.92/34.36/-45/-1.86/85.08] 2ème Partie

  42. Exemples2 • Exemple de problème de type 1 • 12-plis, carbone-époxyde T300/5208; isotrope en membrane, K=0 orthotrope en flexion, B=O; réponse thermoélastique isotrope en membrane; une direction de courbure thermique nulle par gradient de température. • Meilleure solution trouvée par l’A.G. BIANCA: [0/-29.9/44.3/-61.8/89.3/61.8/31.5/-89.1/33.4/-71.7/-11.6/-28.1] 2ème Partie

  43. Exemples3 • Exemple de problème de type 2 • 12-plis, carbone-époxyde T300/5208; orthotrope en membrane, B=O, avec orientations d{0°,15°, 30°, 45°, 60°, 75°, 90° etc} et Emmax≥100 GPa (0.55 E1); Emmin≥40 GPa (3.88 E2); • Meilleure solution trouvée par l’A.G. BIANCA: [0°/30°/–15°/15°/90°/–75°/0°/45°/–75°/0°/–15°/15°]. 2ème Partie

  44. Examples 4 • Exemple de problème de type 3 : • 16-plis, carbone-époxyde T300/5208, B=O,A et D orthotropes (K=1)avec axes coïncident, angles discrétisés à 1°. • Problème: a/b=1.5 Nx=Ny=1 N/mm 2ème Partie

  45. Examples 5 • Résultats: • Meilleure solution trouvée par BIANCA [-24/39/-47/37/32/-47/-6/-47/55/59/18/-38/-38/19/-40/42] qui donne: • lopt= 6.86 x 106 • ExA= 60.6 GPa • EyA= 31.1 GPa • I(P(x))= 8.8 x 10-5 2ème Partie

  46. Examples 6 • Exemple de problème de type 3 : • Même stratifié de l’exemple précédent, maintenant soumis à Nx= 105 N/mm, Ny=0. • Problème: avec • Approche multiéchelle à l’optimisation en résistance d’un stratifié: minimisation de la déformation du stratifié et contrôle au niveau du pli de l’état de contrainte (ici, par le critère de Hoffmann). Critère de Park sur les déformations du stratifié 2ème Partie

  47. Examples 7 • Résultats: • Meilleure solution trouvée par BIANCA [0/-6/-84/-5/42/4/-1/5/-72/-22/65/-84/5/-14/5/4] qui donne: • Rindex= 2 x 107 • EyA= 49.5 GPa • I(P(x))= 7.74 x 10-5 2ème Partie

  48. Examples 8 • Un cas multi-objectif: stratifié 10-plis, B=O,A et D orthotropes (K=1) avec axes coïncident, angles discrétisés à 1°; objectifs: 2ème Partie w11=33.21 Hz ExA=159 GPa [14/-2/-25/-7/-1/-3/17/1/15/-15]

  49. Examples 9 • Un problème avec croisement des espèces: la conception de stratifiés ayant le moindre nombre de plis pour obtenir des propriétés données. • Le nombre de couches n est introduit comme un coefficient de pénalisation: si la fonction à minimiser est f (e.g. la forme quadratique I(Pk)) le problème est transformé en: • Exemple: trouver le stratifié avec le moindre nombre de couches dans l’intervalle [9, 16], ayant B=O, A isotrope et D orthotrope, avec discrétisation des plis à 1° et les épaisseurs des plis variables continument dans [0.1 mm, 0.2 mm]. 2ème Partie

  50. Examples 10 • Objectif: Average Best individual 2ème Partie

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