Effets thermiques dans les cavités passives Patrice Hello LAL-Orsay

1. Effets thermiques dans les cavités passives Patrice Hello LAL-Orsay Gradients de température dans les miroirs Lentilles thermiques Déformation thermoélastique des surfaces réfléchissantes Dynamique (non linéaire) dans les cavités 2-3 avril 2009

2. Hypothèses Cavités passives pour des besoins de métrologie ou assimilés • Cavités haute finesse et/ou éclairées par un laser haute puissance • Miroirs de bonne qualité (faibles taux d’absorption) • Cavités sous vide • Diamètres miroirs >> diamètres des faisceaux • Pertes essentiellement radiatives (typiquement le cas de cavités suspendues comme dans Virgo) + faisceaux sous incidence normale et bien centrés (symétrie axiale) 2-3 avril 2009

3. Effets thermiques dans un miroir sous vide Miroir rayon a et longueur h substrat coating Faisceau laser (puissance Pet taillew) • 2 sources d’absorption : • absorption dans le(s) coating(s) • coefficient d’absorption global e • absorption dans le substrat • coefficient d’absorption linéique a z Enceinte à température T0 2-3 avril 2009

4. Champ de température Equation de la chaleur : r : masse volumique du miroir (Silice) C : capacité calorifique K : conductivité thermique I(t,r,z) : intensité traversant le miroir Absorption faible => I très faiblement atténuée dans le miroir => I(t,r) . Conditions aux limites : Pertes par radiation : flux Linéarisation avec Dans la suite 2-3 avril 2009

5. Champ de température Equation de la chaleur : sources Conditions aux limites : Méthode : superposition solution stationnaire et solution transitoire et superposition solutions pour absorption dans le substrat et absorption dans le coating 2-3 avril 2009

6. Champ de température stationnaire Equation de la chaleur : Solution de l’équation homogène sous la forme : Les conditions aux limites sur les faces en z = +/-h/2 déterminent Am et Bm La condition aux limites sur le bord en r =a détermine les km , zm =akm est le mième zéro de: avec constante radiative réduite Absorption dans le substrat : ajouter une solution particulière à 2-3 avril 2009

7. Champ de température stationnaire I(r) peut aussi se développer sur les J0 (série de Dini) avec Par exemple pour un faisceau TEM00 incident de puissance P et de col w : 2-3 avril 2009

8. Champ de température stationnaire Absorption dans le coating Solution Proportionnel à la puissance absorbée Carte de température pour 1 W absorbé dans le coating d’un miroir Virgo. (SiO2, a=h=10 cm, eP=1W, w =2 cm) 2-3 avril 2009

9. Champ de température stationnaire Absorption dans le substrat Solution Proportionnel à la puissance absorbée Carte de température pour 1 W absorbé dans le substrat d’un miroir Virgo (SiO2, a=h=10 cm, aPh=1W , w =2 cm) 2-3 avril 2009

10. Solution transitoire Equation de la chaleur : solution de l’équation de la chaleur avec conditions aux limites homogènes => série de Fourier-Dini Avec up et vp p-ième zéros de Et aussi : Constante de temps caractéristique : (Silice) 2-3 avril 2009

11. Solution transitoire Exemple de la solution complète pour échauffement dans le substrat : avec 2-3 avril 2009

12. Aberrations résultantes • 2 effets : • lentille thermique due au gradient d’indice n(t,r,z) dans le miroir • déformation surfaces (changement de courbure) 2-3 avril 2009

13. Lentille thermique Gradient d’indice au premier ordre : n0étant l’indice à la température T0. La marche obéit à l’équation eikonale D’où OPD : Proportionnel à la puissance absorbée 2-3 avril 2009

14. Lentille thermique 1 W absorbé dans le coating 1W absorbé dans le substrat (exemple d’un miroir Virgo) Profil non parabolique ! 2-3 avril 2009

15. Déformée thermoélastique =0 =0 (on néglige la propagation Des ondes acoustiques !) Relation avec module d’Young et le coef. de Poisson : Tenseur des contraintes q suit les équations d’équilibre : Il est relié au tenseur des déformations E • l et m coef. de Lamé • module de contrainte thermique • = a(3l+2m) où a = coef.de dilatation therm. Qui lui-même est relié au vecteur déplacement u : Déformation de la surface : + conditions aux limites 2-3 avril 2009

16. Déformée thermoélastique Recherche solution sous la forme de séries de Dini : Les coef. de Fourier-Dini Um et Vm s’obtiennent à partir de ceux du champ de température Résultat final : Um(t, -h/2) ! NB : en général on n’arrive pas à annuler les 6 contraintes sur les bords. En particulier Traitement spécial (correction de Saint-Venant) qui consiste à fitter et à soustraire la partie affine. 2-3 avril 2009

17. Déformée thermoélastique Exemple de déformation stationnaire obtenue pour 1 W absorbé dans le coating d’un miroir Virgo Flèche ~0.1 mm/W 2-3 avril 2009

18. Et dans une cavité ? Absorption dans les coatings Absorption dans les substrats Couplage dynamique et non linéaire entre puissance circulant dans la cavité et les aberrations thermiques 2-3 avril 2009

19. Simulation optique+thermique Exemple du miroir plan-sphérique parfait Exemple du miroir plan-sphérique avec aberration thermique • Aberrations thermiques quasi-statiques / temps caractéristiques optiques • Code de propagation pour l’optique • Faisceaux quasi gaussiens • Approximation paraxiale • Propagation par FFT (ou transformée de Hankel) • Aberrations thermiques dans les opérateurs de transmission/réflexion des miroirs 1 2 n 2-3 avril 2009

20. Simulation optique+thermique Propagation / résolution de l’équation d’Helmholtz Où F est la transformée de Fourier 2D : et F-1 la transformée inverse. Ain A1 A2 Atr Aref A4 A3 T1,R1g,R1d T2,R2 et on itère … 2-3 avril 2009

21. Simulation optique+thermique Prise en compte des effets thermiques Evolution quasi-statique des aberrations thermiques. Evaluation tous les Dt , pas de temps >> temps optiques => cavité est toujours à résonance (bande passante asservissements <<1/ Dt !). Pas « n », t=tn =nDt : C’est la condition initiale pour l’équation de la chaleur à résoudre entre tn et tn+1 avec des puissances lumineuses circulant supposées constantes sur ce pas de temps Récurrence : Où les spm et apm sont les coefficients de Fourier-Dini de la solution stationnaire déjà étudiée. 2-3 avril 2009

22. Simulation optique+thermique Exemple cavité Virgo, L =3 km, puissance incidente ~1 kW et Finesse ~ 50 Absorption dans le coating du miroir d’entrée Absorption dans le substrat du miroir d’entrée 2-3 avril 2009

23. Compensation thermique Faisceau(x) auxiliaire(s) Si les effets thermiques deviennent gênants, il y a toujours moyen de les atténuer au moins en partie Minimiser les gradients thermiques => chauffer les parties froides des optiques P < Poptimal P = Poptimal P > Poptimal Poptimal Puissance absorbée sur le pourtour du miroir 2-3 avril 2009

24. Conclusion • La modélisation poussée des effets thermiques dans une cavité passive est possible ! • Champ de température • Lentille thermique • Déformations thermo-élastiques • … mais à condition de vérifier quelques hypothèses plus ou moins générales. • Dans le cas contraire (géométrie plus compliquée …), il ne reste que les • méthodes par éléments finis… • Si les effets thermiques sont gênants, on peut les atténuer en diminuant les • gradients de température, i.e. en chauffant les parties a priori froides des miroirs. 2-3 avril 2009

25. Quelques références Aberrations thermiques A. Cutolo et al., Opt. Acta 27, 1105 (1980) PH & J.-Y. Vinet, J.Phys. 51, 1267 (1990) PH & J.-Y. Vinet, J.Phys. 51, 2243 (1990) Code de propagation dans les cavités passives E.A Sziklas & A.E. Siegman, Appl. Opt. 14, 1874 (1975) A.E. Siegman Opt. Lett. 1, 13 (1977) JYV et al., J. Phys. I 2, 1287 (1992) JYV & PH, J. Mod. Opt. 40, 1981 (1993) Effets thermiques dans les cavités Virgo PH & JYV, J. Phys I 3, 717 (1993) PH & JYV Phys. Lett. A 178, 351 (1993) Compensation des effets thermiques PH, Eur. Phys. J. D 15, 373 (2001) 2-3 avril 2009