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BAYES: Caso de Los Alfajores

BAYES: Caso de Los Alfajores. RICARDO ESTEBAN LIZASO. ¿ QUE SE QUIERE ?. A Ud. le gustan mucho los alfajores de chocolate y quiere utilizar la información del color del papel del envoltorio para mejorar sus posibilidades de lograr un alfajor de chocolate. IMPRESION INICIAL.

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BAYES: Caso de Los Alfajores

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  1. BAYES: Caso de Los Alfajores RICARDO ESTEBAN LIZASO RICARDO ESTEBAN LIZASO

  2. ¿ QUE SE QUIERE ? • A Ud. le gustan mucho los alfajores de chocolate y quiere utilizar la información del color del papel del envoltorio para mejorar sus posibilidades de lograr un alfajor de chocolate. RICARDO ESTEBAN LIZASO

  3. IMPRESION INICIAL • 1) Sabe que en la última elaboración en el negocio artesanal de su abuela se hicieron 200 docenas de alfajores: 40 docenas de chocolate, 90 docenas de membrillo y 70 docenas de dulce de leche RICARDO ESTEBAN LIZASO

  4. PROBABILIDAD A PRIORI • PROBABILIDAD SIMPLE - PROBABILIDAD A PRIORI - P(Nj) • Esto, en principio, le da la probabilidad de conseguir: • un alfajor de chocolate = 40/200 = 0,20 • un alfajor de membrillo = 90/200 = 0,45 • un alfajor de dulce de leche = 70/200 = 0,35 • Total de 200 alfajores = 200/200 = 1,00 RICARDO ESTEBAN LIZASO

  5. OTRO PUNTO DE VISTA • 2) Ahora recibe la información de que las docenas se embalaron en dos cajas grandes. Además como tenían pocos papeles de envoltorio, en la caja Nº1 se colocaron 80 docenas de alfajores que se envolvieron con papel celeste y en la caja Nº 2, más grande, se colocaron 120 docenas de alfajores que se envolvieron con papel verde. RICARDO ESTEBAN LIZASO

  6. OTRO PUNTO DE VISTA RICARDO ESTEBAN LIZASO

  7. PROBABILIDADES DE LOS MENSAJES • PROBABILIDAD SIMPLE - PROBABILIDAD DEL MENSAJE- P(Zi). • Probabilidad de conseguir un alfajor envuelto en papel celeste = 80/200 = 0,40 • Probabilidad de conseguir un alfajor envuelto en papel verde = 120/200 = 0,60 • Total de 200 alfajores = 200/200 = 1,00 RICARDO ESTEBAN LIZASO

  8. ¿ CUAL ES LA RELACION ? • 3) Pero los alfajores no se fueron envolviendo a medida que salían, ni se reservó un color de papel para cada gusto. Se envolvieron de la siguiente manera: RICARDO ESTEBAN LIZASO

  9. ¿ HAY CORRELACION ENTRE GUSTO Y COLOR ? RICARDO ESTEBAN LIZASO

  10. PROBABILIDADES CONJUNTAS • PROBABILIDAD CONJUNTA - PROBABILIDAD DE QUE UN ALFAJOR SEA DE UN GUSTO Y ADEMÁS ESTE ENVUELTO EN UN DETERMINADO COLOR DE PAPEL - P(Zi y Nj) • Alfajor de chocolate envuelto en papel celeste = 30/200 = 0,15 • Alfajor de membrillo envuelto en papel celeste = 10/200 = 0,05 • Alfajor de dulce de leche envuelto en papel celeste = 40/200 = 0,20 RICARDO ESTEBAN LIZASO

  11. PROBABILIDADES CONJUNTAS • Alfajor de chocolate envuelto en papel verde = 10/200 = 0,05 • Alfajor de membrillo envuelto en papel verde = 80/200 = 0,40 • Alfajor de dulce de leche envuelto en papel verde = 30/200 = 0,15 • La suma de las probabilidades da 200/200 =1. • Pues se trata de 200 docenas de alfajores. RICARDO ESTEBAN LIZASO

  12. VEROSIMILITUD • 1ª PROBABILIDAD CONDICIONADA - PROBABILIDAD DE VEROSIMILITUD - DADO UN DETERMINADO GUSTO, QUE EL MISMO ESTE ENVUELTO EN UN DETERMINADO COLOR DE PAPEL - P(Zi/Nj). RICARDO ESTEBAN LIZASO

  13. VEROSIMILITUD RICARDO ESTEBAN LIZASO

  14. VEROSIMILITUD • Si es de chocolate (N1) • Siendo de chocolate este envuelto en papel celeste = 30/40 = 0,75 • Siendo de chocolate este envuelto en papel verde = 10/40 = 0,25 • El total son 40 docenas de alfajores de chocolate = 40/40 = 1,00 RICARDO ESTEBAN LIZASO

  15. VEROSIMILITUD RICARDO ESTEBAN LIZASO

  16. VEROSIMILITUD • Si es de membrillo (N2) • Siendo de membrillo este envuelto en papel celeste = 10/90 = 0,1111 • Siendo de membrillo este envuelto en papel verde = 80/90 = 0,8888 • El total son 90 docenas de alfajores de membrillo = 90/90 = 1,00 RICARDO ESTEBAN LIZASO

  17. VEROSIMILITUD RICARDO ESTEBAN LIZASO

  18. VEROSIMILITUD • Si es de dulce de leche (N3) • Siendo de dulce de leche este envuelto en papel celeste = 40/70 = 0,5714 • Siendo de dulce de leche este envuelto en papel verde = 30/70 = 0,4286 • El total son 70 docenas de alfajores de dulce de leche = 70/70 = 1,00 RICARDO ESTEBAN LIZASO

  19. A POSTERIORI • 2ª PROBABILIDAD CONDICIONADA- PROBABILIDAD A POSTERIORI - ESTANDO ENVUELTO EN UN DETERMINADO COLOR DE PAPEL, QUE SEA DE DETERMINADO GUSTO - P(Nj/Zi) • Es lo que Ud. quería averiguar para mejorar sus posibilidades de conseguir un alfajor de chocolate. RICARDO ESTEBAN LIZASO

  20. A POSTERIORI RICARDO ESTEBAN LIZASO

  21. A POSTERIORI • Si el papel del envoltorio es celeste (Z1) • Estando envuelto en papel celeste sea de chocolate.........= 30/80 = 0,375 • Estando envuelto en papel celeste sea de membrillo.........= 10/80 = 0,125 • Estando envuelto en papel celeste sea de dulce de leche.................= 40/80 = 0,50 • En total son 80 docenas envueltas con papel celeste = 80/80 = 1,00 RICARDO ESTEBAN LIZASO

  22. A POSTERIORI RICARDO ESTEBAN LIZASO

  23. A POSTERIORI • Si el papel del envoltorio es verde (Z2) • Estando envuelto en papel verde sea de chocolate.........= 10/120 = 0,08333 • Estando envuelto en papel verde sea de membrillo.........= 80/120 = 0,66667 • Estando envuelto en papel verde sea de dulce de leche.= 30/120 = 0,25 • En total son 120 docenas envueltas con papel verde= 120/120 = 1,00 RICARDO ESTEBAN LIZASO

  24. OPERACIONES CON LAS PROBABILIDADES • Al multiplicar la probabilidad a priori (1ª simple) por la verosimilitud (la 1ª condicionada) se obtiene la probabilidad conjunta. • Probabilidad de que el alfajor sea de chocolate x la probabilidad de que siendo de chocolate esté envuelto en papel celeste: nos da la probabilidad de que el alfajor sea de chocolate y además esté envuelto en papel celeste. • P(N1) x P(Z1/N1) = P(Z1 y N1) • P(ch.) x P(cel./ch.) = P(ch. Y cel.) • 0,20 x 0,75 = 0,15 RICARDO ESTEBAN LIZASO

  25. OPERACIONES CON LAS PROBABILIDADES • Si se multiplica la probabilidad del mensaje (2ª simple) por la probabilidad a posteriori (2ª condicionada) también se obtiene la probabilidad conjunta. • Probabilidad de que el alfajor esté envuelto en papel celeste x la probabilidad de que estando envuelto en papel celeste, sea de chocolate: también nos da la probabilidad de que el alfajor sea de chocolate y además esté envuelto en papel celeste. • P(Z1) x P(N1/Z1) = P(Z1 y N1) • P(cel.) x P(ch./cel.) = P(ch. Y cel.) • 0,40 x 0,375 = 0,15 RICARDO ESTEBAN LIZASO

  26. OPERACIONES CON LAS PROBABILIDADES • Sumando la probabilidad conjunta en el sentido de los estados N se obtiene la probabilidad de N { P(Z1 y N1) + P(Z2 y N1) = P(N1)} • Probabilidad de que siendo de chocolate, esté envuelto en papel celeste más la probabilidad de que siendo de chocolate, esté envuelto en papel verde, es decir, siendo de chocolate y envuelto en cualquier papel, nos da la probabilidad de que sea de chocolate. • { P(Z1 y N1) + P(Z2 y N1) = P(N1)} • { P(cel. Y ch.) + P(ver. Y ch.) = P(ch)} • { 0,15 + 0,05 = 0,20} RICARDO ESTEBAN LIZASO

  27. OPERACIONES CON LAS PROBABILIDADES • Sumando la probabilidad conjunta en el sentido de los mensajes Z se obtiene la probabilidad de Z { P(Z1 y N1) + P(Z1 y N2) + P(Z1 y N3) = P(Z1)} • Probabilidad de que siendo de chocolate y envuelto en papel celeste más siendo de membrillo y envuelto en papel celeste, más siendo de dulce de leche y envuelto en papel celeste, es decir, siendo de chocolate o membrillo o dulce de leche, pero envuelto siempre en papel celeste, nos da la probabilidad de que sea un alfajor que esté envuelto en papel celeste • { P(Z1 y N1) + P(Z1 y N2) + P(Z1 y N3) = P(Z1)} • { P(cel. Y ch.) + P(cel. Y mem.) + P(cel. Y dl.) = P(cel.)} • { 0,15 + 0,05 + 0,20 = 0,40} RICARDO ESTEBAN LIZASO

  28. LOS DOS CAMINOS DE BAYES • Primer camino. • En el primer camino, si conocemos la estructura de probabilidades conjuntas podemos generar todas las otras probabilidades, indubitablemente. El esquema es único y cerrado. • Si yo tuviese idea de las probabilidades conjuntas aún antes de saber cuántas docenas elaboró la abuela, no puedo concluir otra cosa distinta a la siguiente: RICARDO ESTEBAN LIZASO

  29. LOS DOS CAMINOS DE BAYES RICARDO ESTEBAN LIZASO

  30. LOS DOS CAMINOS DE BAYES • Se elaboraron 40 docenas de chocolate, 90 docenas de membrillo y 70 docenas de dulce de leche y además también sé cuántos envoltorios se gastaron, de qué color y de qué manera fueron usados. • Pudiendo ver la relación directa entre color de papel y gusto del alfajor. Es decir que puedo saber cuál es la probabilidad de conseguir un alfajor de determinado gusto luego de conocer en qué papel está envuelto. RICARDO ESTEBAN LIZASO

  31. LOS DOS CAMINOS DE BAYES • Segundo camino. • Pero si no conocemos las probabilidades conjuntas debemos seguir el segundo camino, reconstruyéndolas. Aplicando Bayes partimos de las probabilidades a priori, tenemos por experiencias anteriores (o estadísticas anteriores) la verosimilitud y con ambas averiguamos las probabilidades conjuntas. • Sumando estas en el sentido de las Z conseguimos las probabilidades de los mensajes. • Luego con las probabilidades conjuntas y las probabilidades de los mensajes averiguamos las probabilidades a posteriori realizando la operación inversa a la indicada en el punto 2. RICARDO ESTEBAN LIZASO

  32. LOS DOS CAMINOS DE BAYES • En esta segunda versión, donde utilizamos la estructura bayesiana (naturalmente cerrada) como si fuese un sistema abierto, corremos el riesgo de equivocarnos en la apreciación. • Aún utilizando las mismas probabilidades de verosimilitud pero con probabilidades a priori distintas, generaremos probabilidades conjuntas distorsionadas y como consecuencia probabilidades de los mensajes y a posteriori incorrectas. RICARDO ESTEBAN LIZASO

  33. INDEPENDENCIA DE VARIABLES • Si las variables Estado (N) y Mensaje (Z) fuesen independientes no habría ningún tipo de correlación entre el envoltorio y el gusto del alfajor, manteniendo las proporciones originales de ambos aspectos. • Y la probabilidad conjunta surgiría de la multiplicación directa de las probabilidades simples. • Lo mensajes no servirían para aclarar nada sobre el comportamiento de los estados. RICARDO ESTEBAN LIZASO

  34. INDEPENDENCIA DE VARIABLES RICARDO ESTEBAN LIZASO

  35. INDEPENDENCIA DE VARIABLES • Cualquiera sea el color del envoltorio (Mensaje), se mantiene la misma probabilidad de obtener determinado gusto (Estado) • Coincidentes con la probabilidades a priori RICARDO ESTEBAN LIZASO

  36. EL MENSAJE UNICO RICARDO ESTEBAN LIZASO

  37. EL MENSAJE UNICO • NO EXISTE CORRELACION ENTRE LAS VARIABLES ESTADO Y MENSAJE. • AMBAS VARIABLES SON INDEPENDIENTES. • No existe correlación entre el gusto del alfajor y el color de su envoltorio. • Si todos los alfajores se envolvieron en papel celeste, el color del papel no me va a servir para poder conseguir con más facilidad uno de chocolate. RICARDO ESTEBAN LIZASO

  38. LA CERTEZA INICIAL RICARDO ESTEBAN LIZASO

  39. LA CERTEZA INICIAL • TAMPOCO EXISTE CORRELACION ENTRE LAS VARIABLES ESTADO Y MENSAJE. • AMBAS VARIABLES SON INDEPENDIENTES. • No existe correlación entre el gusto del alfajor y el color de su envoltorio. • Si todos los alfajores elaborados son de dulce de leche, los distintos colores de los envoltorios no me van a servir para poder distinguir nada. Ya tengo la seguridad del gusto que voy a obtener. RICARDO ESTEBAN LIZASO

  40. MAYOR INFORMACION RICARDO ESTEBAN LIZASO

  41. MAYOR INFORMACION • Aquí existe una mayor correlación entre las variables, pues todos los alfajores de chocolate están envueltos en papel azul y todos los de membrillo están envueltos en papel verde. RICARDO ESTEBAN LIZASO

  42. CERTEZA A POSTERIORI PARCIAL RICARDO ESTEBAN LIZASO

  43. CERTEZA A POSTERIORI PARCIAL • Todos los alfajores envueltos en papel azul son de membrillo, pero no todos los de membrillo están envueltos en papel azul. • Todos los alfajores de chocolate están envueltos en papel verde, pero no todos los de papel verde son de chocolate. RICARDO ESTEBAN LIZASO

  44. CERTEZA A POSTERIORI PARCIAL • Como siempre se conoce primero el color de los envoltorios y luego el gusto de los alfajores: • Existe Certeza a Posteriori en forma parcial, luego de conocer los envoltorios azules todos son de membrillo: P(Mem/Az) - Probabilidad a Posteriori. • Pero no hay certeza a posteriori sobre los de chocolate, luego de conocer los papeles verdes: P(Ver/Ch) - Verosimilitud. RICARDO ESTEBAN LIZASO

  45. INFORMACION PERFECTA RICARDO ESTEBAN LIZASO

  46. INFORMACION PERFECTA • LAS VARIABLES ESTAN TOTALMENTE CORRELACIONADAS • A cada color de papel corresponde un gusto de alfajor. • Debe haber: tantos MENSAJES (colores) como ESTADOS (gustos) RICARDO ESTEBAN LIZASO

  47. CANTIDAD DE MENSAJES = ESTADOS Y NO HAY INFORMACION PERFECTA • El requisito de que la cantidad de colores (MENSAJES) sea por lo menos igual a la cantidad de gustos (ESTADOS) es una condición necesaria pero no suficiente. RICARDO ESTEBAN LIZASO

  48. MAS MENSAJES QUE ESTADOS Y HAY INFORMACION PERFECTA • Cada uno de los colores (MENSAJES) debe estar relacionado sólo con un gusto (ESTADO) RICARDO ESTEBAN LIZASO

  49. LA FALTA DE MENSAJE RICARDO ESTEBAN LIZASO

  50. LA FALTA DE MENSAJE • Si en algún caso todas las observaciones de los estados no son corroboradas por algún mensaje, puede tomarse al “silencio” como otro mensaje adicional, correlacionado con las observaciones no relacionadas. • En el ejemplo si algunos alfajores no estuviesen envueltos. Habría entonces tres mensajes: Papel Azul, Papel Verde y Sin Papel. RICARDO ESTEBAN LIZASO

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