Teorema de Bayes

1. Teorema de Bayes

2. Partição do espaço amostral Considere o experimento lançamento de um dado: Considere os eventos: A1: sair um número menor que 3 A2: sair um número maior que 2 e menor que 6 A3: sair um número maior que 5 {3, 4, 5} {1, 2} U {6} U A1 A2 A3 = E U U

3. Condições • A interseção de dois eventos qualquer é vazia. Ai Aj = , para todo i  j. • A união de todos os eventos formam o espaço E A1  A2 ... An = E • A probabilidade de ocorrer um evento qualquer é • maior que 0 para todos os eventos. P(Ai) > 0, para todo i

4. Teorema da probabilidade total Considere o experimento lançamento de um dado: Considere os eventos: A1: sair um número menor que 3 A2: sair um número entre 2 e 5 A3: sair um número maior que 5 B: sair um número par

5. A1 = {1, 2} A2 = {3, 4} {5, 6} A3 = B = {2, 4, 6} B ∩ A1 = {2} (B ∩ A1) U (B ∩ A2) U (B ∩ A3) = B B ∩ A2 = {4} B ∩ A3 = {6}

6. B = (B ∩ A1) U (B ∩ A2) U (B ∩ A3) P(B) = P(B ∩ A1) U P(B ∩ A2) U P(B ∩ A3) 3 6 P(B) = 1 6 P(B ∩ A1) = 31113 6 6 6 6 6 = + + = 1 6 P(B ∩ A2) = 1 6 P(B ∩ A3) =

7. P(B) = P(B ∩ A1) U P(B ∩ A2) U P(B ∩ A3) cada um dos termos P(B Aj) é um produto de probabilidades P(B Aj) = P(Aj).P(B/Aj) P(B) = P(A1).P(B/A1) + P(A2).P(B/A2) + ... + P(An).P(B/An)

8. Teorema de Bayes O teorema de Bayes sugere o cálculo da probabilidade condicional de um evento Ai dado que o evento B já ocorreu.

9. Uma determinada peça é manufaturada por 3 máquinas: A, B e C. Sabe-se que A produz odobro de peças que B e que B e C produzem o mesmo número de peças. Sabe-se ainda que 2% das peças produzidas por A e por B são defeituosas, enquanto que 4% das produzidas por C são defeituosas. Todas as peças produzidas são misturadas e colocadas em um depósito. Suponha-se que uma peça seja retirada do depósito e se verifica que é defeituosa; qual a probabilidade de que tenha sido produzida pela fábrica A?

10. - evento A: {peça produzida pela máquina A} - evento B: {peça produzida pela máquina B} - evento C: {peça produzida pela máquina C} - evento D: {peça defeituosa} • P(A) = • P(B) = • - P(C) = - P(D\A) = - P(D\B) = - P(D\C) = 50% 25% 25% 2% 2% 4%

11. P(A\D) = 0,4 = 40%

12. Em uma turma de Administração, 65% dos • alunos são do sexo masculino. Sabe-se que • 30% dos alunos têm carro, enquanto que essa • proporção entre as alunas se reduz para 18%. • Sorteia-se ao acaso um estudante dessa turma • usando o seu número de matrícula e constata-se • que possui um carro. Qual é a probabilidade de • que a pessoa sorteada seja do sexo feminino?

13. 2. Uma propaganda de um curso preparatório para a prova da ANPAD diz que 80% dos seus alunos conseguem ingressar em algum programa de Mestrado em Administração. Dos cadastros da ANPAD, sabe-se que 15% dos candidatos aos programas de Mestrado escolhem esse curso e que o índice geral de aprovação é de 63%. Sabe-se que um aluno foi aprovado, conseguindo ingressar no programa de Mestrado de uma grande universidade. Qual é a probabilidade de ele ter freqüentado este curso preparatório?

14. 3. Em uma localidade, 8% dos adultos sofrem de determinada doença. Um médico local diagnostica corretamente 95% das pessoas que têm a doença e diagnostica erradamente 2% das pessoas que não a têm. Um adulto acaba de ser diagnosticado pelo médico como portador da doença. Qual é a probabilidade de esse adulto ter, de fato, a doença?

15. 4. O chefe do Setor de Compras de uma empresa Trabalhacom 3 grandes distribuidores de material de escritório. O distribuidor 1 é responsável por 70% dos pedidos, enquanto cada um dos outros 2 distribuidores responde por 15% dos pedidos. Dos registros gerais de compra, sabe-se que 6% dos pedidos chegam com atraso. A proporção de pedidos com atraso do distribuidor 1 é a metade da proporção do distribuidor 2 que, por sua vez, é o dobro da proporção do distribuidor 3. Calcule a porcentagem de pedidos com atraso de cada um dos distribuidores.

16. 5. O gerente de Recursos Humanos de uma empresa escolhe estagiários oriundos de dois cursos de Administração. No curso 1, a proporção de alunos com boa formação em informática é de 60%, enquanto no outro curso, essa proporção cai para 40%. Um estagiário acaba de ser contratado. A probabilidade de que tenha boa formação em informática é 0,44. Qual é a probabilidade do gerente pelo curso 1?