Metod o s de Solu c i ó n Iterativ os

1. Metodos de Solución Iterativos • Empezar con una aproximación inicialpara el vector solución (x0) • Actualizar en cada iteración el vector x usando el sistema Ax=b • Cada iteración involucra el producto matriz-vector. • Si A es esparcida este producto es realizado eficientemente.

2. Procedimiento de solución Iterativa • Escribir el sistema Ax=b en una forma equivalente x=Tx+c • Empezando con x0, genereuna secuencia de aproximaciones {xk} iterativamente por xk+1=Txk+c • Representación deTy c dependen del tipo de método usado. • Pero para cada métodoTycson obtenidas a partir de A y b.

3. Convergencia • Cuando k, la secuencia {xk} convergea un vector solución bajo algunas condiciones en la Matriz T. • Esto impone condiciones diferentes en la matriz A para diferentes métodos. • Para la misma matriz A, un método puede converger mientras que otro puede divergir. • Por lo tanto para cada métodola relación entre A yTdeben ser encontradas para decidir la convergencia.

4. Diferentes metodos Iterativos • Iteración de Jacobi • Iteración de Gauss-Seidel • Successive Over Relaxation (S.O.R) • SOR es un método usadopara acelerar la convergencia. • La iteración de Gauss-Seidel es un caso especial del método SOR.

5. Iteración de Jacobi

6. Método de Jacobi. Forma Matricial • Descomponiendo A = D - L - U. -U=triu(A)-D -U D = -L -L=tril(A)-D D=diag(diag(A))

7. Dxk+1 xk+1=Txk+c- iteración por el método de Jacobi Se puede escribir como A=D-L-U (No es una factorización) Ax=b  (D-L-U)x=b Dxk+1 = (L+U)xk+b xk+1=D-1(L+U)xk+D-1b T=D-1(L+U) c=D-1b

8. Use lo último al actualizar iteración Gauss-Seidel (GS)

9. Dxk+1 x(k+1)=Tx(k)+xiteración de Gauss-Seidel Ax=b  (D-L-U)x=b (D-L)xk+1 =Uxk+b xk+1=(D-L)-1Uxk+(D-L)-1b Tgs=(D-L)-1U cgs=(D-L)-1b

10. Comparación • İteración de Gauss-Seidel converge más rápidamente que la iteración de Jacobi desde que este usa la última actualización. • Pero existen algunos casos que la iteración deJacobiconvergeperoGauss-Seidelno. • El método de sobre relajación sucesiva es usada para acelerar la convergencia del método de Gauss-Seidel.

11. término Corrector Multiplicando por MetodoSobre Relajación Sucesiva (SOR) • Puede ser escrita como sigue Converge más rápido

12. SOR Donde el ultimo termino es la estimación de Gauss-Seidel 1<<2 Sobre-relajación (convergencia rápida) 0<<1 Sub-relajación (convergencia más lenta) Existe un valor óptimo para Encontrarlo por prueba y error

13. x(k+1)=Tx(k)+c iteración para SOR Dxk+1=(1-)Dxk+b+Lxk+1+Uxk (D-L)xk+1=[(1-)D+U]xk+b T=(D-L)-1[(1-)D+U] c= (D-L)-1b

14. Substituyeesto en Convergencia de los métodos iterativos Define el vector solución como Define el vector error como

15. Convergencia de los Métodos Iterativos potencia iteración El método iterativo convergería para cualquier vector inicial arbitrariosila siguiente condición es satisfecha Condición de Convergencia

16. Normade un vector La norma de un vector debe satisfacer estas condiciones: Las normas Vectorialespueden ser definidas de diferentes formas en tanto que la definición de norma sea satisfecha.

17. Normas de vectores Comunmente usadas norma Sumao norma ℓ1 norma Euclideanaó norma ℓ2 norma Máximao norma ℓ

18. Normadeuna matriz La normade una matrizdebe satisfacer estas condiciones: Importante identidad

19. Normas de matrices mas usadas Norma Máxima suma_columna o norma ℓ1 NormaEspectral o norma ℓ2 Norma Maxima suma_fila o norma ℓ

20. 17 13 15 16 19 10 Ejemplo • Calculelas normas ℓ1y ℓde la matriz

21. Condición de Convergencia ExpresarTen terminos de matriz modal P y  : Matriz Diagonal convalores propios deTen la diagonal

22. condición suficiente para convergencia Condición Suficientepara convergencia Sila magnitud detodoslos valores propiosde la Matriz de iteración T es menor que 1 entonces la iteración es convergente Los valores propiossonmas fácil de calcular que la normadeuna matriz

23. Convergenciade la iteración de Jacobi T=D-1(L+U)

24. Convergenciade la iteración de Jacobi Evaluar la norma infinita (suma máximafila) deT Matriz Diagonal estrictamenteDominante Si Aes una matriz con diagonal estrictamente dominante, entonces la iteración de Jacobi converge para cualquier valor inicial

25. Criterios de Parada • Ax=b • En cualquier iteración k, el término residual es rk=b-Axk • Verificar la norma del término residual ||b-Axk|| • Si esto es menor que la cota del valor de parada

26. Ejemplo 1 (Iteración de Jacobi) Matriz Diagonal estrictamente dominante

27. Ejemplo 1 continuación... Matrizes diagonal estrictamente dominante, las iteraciones de Jacobi son convergentes.

28. Ejemplo 2 La matrizno es diagonal estrictamente dominante

29. Ejemplo 2 continuación... El término del residual aumenta en cada iteración, de tal forma que las iteraciones divergen. Note que la matriz no es diagonalmente estrictamente dominante Cuando la matriz no tiene diagonal estrictamente dominante, puede converger como no.

30. Convergenciade la iteración deGauss-Seidel • Iteración GS convergeparacualquier vector inicial si A es una matriz diagonal estrictamente dominante • Iteración GS convergeparacualquier vector inicial si A esunamatriz simétricay definida positiva– La matriz A es definida positiva si xTAx>0 para cualquier vector x no nulo.

31. İteración de Jacobi Ejemplo1 (Iteración de Gauss-Seidel) Matriz Diagonal estrictamente dominante

32. Iteración deJacobi Ejemplo 1 continuación... Cuando ambos métodos de Jacobi y Gauss-Seidel convergen, Gauss-Seidel converge más rápido.

33. Convergenciadel método SOR • Si 0<<2, métodoSOR converge para cualquier valor inicial si A es una matriz simétrica y definida positiva. • Si>2, método SOR diverge • Si 0<<1, SOR método converge pera la velocidad de convergencia es mas lenta que el método de Gauss-Seidel.

34. Conteo deoperaciones • El # de operaciones para la Eliminación gaussiana o la descomposición LU es de 0 (n3), orden de n3 • Para los métodos iterativos, el número de multiplicaciones escalares es 0 (n2) en cada iteración. • Si el número total de las iteraciones requeridas para la convergencia es mucho menos que n, entonces los métodos iterativos son más eficiente que métodos directos. • Los Métodos iterativos también se satisfacen bien para las matrices esparcidas.

35. Formas Matriciales. Resumen La solución del sistema A x = b se obtiene mediante la siguiente expresión recursiva: x ( k ) = Tx ( k-1 ) + c A= D - L - U T c Método D-1 (L+U) D-1 b Jacobi ( D -L)-1 b Gauss-Seidel ( D -L)-1 U SOR (D-w L)-1[(1-w) D + w U ] w(D-w L)-1 b

36. Problema 1 Resolver el siguiente sistema por el método SOR, considere ω=1.25. Aplicamos el metodo de SOR:

37. Problema 1

38. Problema 1

39. Problema 2 Sea el sistema A x = b : • Para k=-1, es la matriz A definida positiva? • Para que valores de k el sistema converge, al usar el método de Gauss-Seidel? • Hacer 03 iteraciones de Gauss-Seidel para k=-3

40. Problema 2 A es definida positiva si: Observese que también satisface el criterio de Silvester

41. Problema 2

42. Problema 2