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DECIMALES Y POTENCIAS

DECIMALES Y POTENCIAS. TEMA 2. REDONDEO Y ERRORES. TEMA 2.8 * 3º ESO. APROXIMACIONES. A menudo nos encontramos números con una excesiva cantidad de cifras decimales que no tiene sentido conservar.

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DECIMALES Y POTENCIAS

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  1. DECIMALES Y POTENCIAS TEMA 2 Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  2. REDONDEO Y ERRORES TEMA 2.8 * 3º ESO Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  3. APROXIMACIONES • A menudo nos encontramos números con una excesiva cantidad de cifras decimales que no tiene sentido conservar. • Otras veces al ser números irracionales, con infinitas cifras decimales, tenemos que tomar un número limitado de ellas para trabajar. Para cada caso debemos tomar el número de cifras significativas más adecuado. • Entonces redondeamos. Y el resultado son números aproximados. • Hay que fijarse bien en las llamadas cifras significativas: • Ejemplos: • El número 12,475 tiene cinco cifras significativas. • El número 1,0490 tiene cinco cifras significativas. • El número 0,0034 tiene dos cifras significativas. • Por regla general si el número es muy grande (123 457) no tienen mucho sentido los decimales, pero si el número es muy pequeño (0,000123) el número de cifras decimales es grande. • En el resto de los casos, mejor dos o tres decimales, nunca uno solo. • Ejercicio: • ¿Es lo mismo la expresión 2,76 que 2,760? Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  4. REDONDEO • APROXIMACIONES • Sea el número √3 = 1,73205… • 1.- Aproximaciones por defecto: • 1 1,7 1,73 1,732 1,7320 • 2.- Aproximaciones por exceso: • 2 1,8 1,74 1,733 1,7321 • 3.- Aproximaciones por redondeo: • 2 1,7 1,73 1,732 1,7321 • Se elige la aproximación por defecto si la primera cifra suprimida es menor que 5, y la aproximación por exceso si la primera cifra suprimida es mayor o igual que 5 Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  5. APROXIMACIONES • APROXIMACIONES • Sea el número √11 = 3,3166247 • 1.- Aproximaciones por defecto: • 3 3,3 3,31 3,316 3,3166 • 2.- Aproximaciones por exceso: • 4 3,4 3,32 3,317 3,3167 • 3.- Aproximaciones por redondeo: • 3 3,3 3,32 3,317 3,3166 • Por regla general, salvo indicación expresa, se emplea el método de redondeo para aproximaciones, pues es el método que en lo tocante a resultados de operaciones nos da el menor error. Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  6. Error máximo • Sea el número √20 • √ 20 = 4,4721 • Aproximación por DEFECTO: • 42 = 16 4,42 = 19,36 4,472 = 19,9809 • Aproximación por EXCESO: • 52 = 25 4,52 = 30,25 4,482 = 20,0704 • Error máximo cometido: • 25 – 16 = 9 30,25 – 19,36 = 10,89 20,0704 – 19,9809 = 0,0895 Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  7. Error máximo • Sea el número √35 • √ 35 = 5,9160 • Aproximación por DEFECTO: • 52 = 25 5,92 = 34,81 5,912 = 34,9281 • Aproximación por EXCESO: • 62 = 36 62 = 36 5,922 = 35,0464 • Error máximo cometido: • 36 – 25 = 11 36 – 34,81 = 1,19 35,0464 – 34,9281 = 0,1183 Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  8. Error ABSOLUTO • ERROR ABSOLUTO • Se llama error absoluto a la diferencia absoluta (siempre positiva) entre el valor exacto y el aproximado de un número. • Eo = |Vr – Va| • Si el lugar de expresiones decimales trabajamos con fracciones no cometeremos ningún error. • Ejemplo: • Trabajar con 2 / 3 en lugar de con 0,6667 • Eo = |(2/3) – 0,6667| = |(2 – 2,0001)/3| =0,0001 / 3 • Ejemplo: • El error absoluto asociado al sustituir 3,1416 por el valor exacto de PI es menor de 0,000007 (7 millonésimas), muy pequeño. De ahí que sea ese valor de PI el más utilizado en cálculos. Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  9. Error RELATIVO • ERROR RELATIVO • Se llama error relativo de una aproximación al cociente entre el error absoluto y el valor exacto de la magnitud. • Er = Eo / Vr • Con este tipo de error medimos en cuánto nos equivocamos por cada unidad de lo que estamos midiendo. • Se suele expresar en porcentajes (%), tantos por ciento, por lo que se multiplica el resultado por 100. • Ejemplos • No es lo mismo equivocarse en una diferencia de 4 al contar los alumnos de una clase que al contar las personas de una ciudad. • En el primer caso, suponiendo que hay 20 alumnos: • Er = Eo / Vr = 4 / 20 = 0,2 = 20 % , muy elevado. • En el primer caso, suponiendo que hay 20.000 personas en la ciudad: • Er = Eo / Vr = 4 / 20000 = 0,0002 = 0,020 % , insignificante. Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  10. Ejercicios • Ejemplo 1 • Hallar el error absoluto y el error relativo cometido si en lugar de comprar un tablón de madera de 245 cm lo adquirimos de 2,5 m. • Eo = |Vr – Va| = | 245 – 250 | = | - 5| = 5 • Er = Eo / Vr = 5 / 245 = 1 / 49 = 0,0204 = 2,04 % • Ejemplo 2 • Hallar el error absoluto y el error relativo cometido si estimamos que hay 600 alumnos en el IES cuando en realidad son 606. • Eo = |Vr – Va| = |606 – 600| = | 6| = 6 • Er = Eo / Vr = 6 / 606 = 1 / 101= 0,0099 = 0,99 % Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  11. Ejercicios • Ejemplo 3 • Hallar el error absoluto y el error relativo cometido si en lugar de 2/3 empleamos su valor aproximado de 0,667. • 2 667 • Eo = |Vr – Va| = | 2/3 – 0,667| = | --- - --------| = • 3 1000 • 2000 – 2001 - 1 • = | ----------------| = | ------------ | = 1 / 3000 • 3000 3000 • 1 2 3 1 • Er = Eo / Vr = ---------- : ----- = ---------- = --------- • 3000 3 6000 2000 Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  12. Ejercicios • Ejemplo 4 • Un cable eléctrico mide 23,57 m de longitud. Al medirlo cometemos un error del 3%. Hallar la medida efectuada. • RESOLUCIÓN: • Nos dan el error en porcentajes, luego sabemos que es el error relativo: • Er = Eo / Vr  3 % = 0,03 = Eo / Vr • No sabemos el error absoluto, Eo, pero sí el valor real, Vr. • 0,03 = (23,57 – Va) / 23,57 • 23,57.0,03 = (23,57 – Va)  0,7071 = 23,57 – Va  •  Va = 23,57 – 0,7071  Va = 22,8629 m • Pero también: 0,03 = (Va – 23,57) / 23,57 • 23,57.0,03 = (Va – 23,57)  0,7071 = Va – 23,57 •  Va = 23,57 + 0,7071  Va = 24,2771 m Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  13. Ejercicios • Ejemplo 5 • Hallar la medida real de una pieza, sabiendo que hemos calculado que mide 350 cm y el error cometido a sido del 1,5%. • RESOLUCIÓN: • Nos dan el error en porcentajes, luego sabemos que es el error relativo: • Er = Eo / Vr  1,5 % = 0,015 = Eo / Vr • No sabemos ni el error absoluto, Eo, ni el valor real, Vr. • Eo = Vr – Va  Eo = |Vr – 350| • Llevando esta última expresión a la primera, tenemos: • 0,015 = (Vr – 350) / Vr • 0,015.Vr = Vr – 350  350 = Vr – 0,015.Vr = 0,985.Vr • De donde: Vr = 350 / 0,985 = 355,33 cm • Pero también: 0,015 = (350 – Vr) / Vr • 0,015.Vr = 350 – Vr  1,015.Vr = 350  Vr = 350 / 1,015 = 344,83 cm Apuntes de Matemáticas 3º ESO

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