2. VEKTOR

1. 2. VEKTOR 2.1 Vektor Perpindahan Dalam bidang fisika, vektor digunakan untuk menggambarkan perpindahan suatu partikel dari posisi awal ke posisi akhir. B B     A A (b) (a) Gambar 2.1 Vektor Perpindahan

2. Secara simbolis, vektor dapat dinyatakan dengan huruf kecil yang dicetak tebal, seperti k, v, atau x. Cara lain adalah dengan menggabungkan huruf pada simbol awal dan akhir sebuah vektor. Sehingga vektor pada Gambar 2.2 berikut dapat ditulis sebagai, B   atau v  A  Gambar 2.2 Simbol Vektor

3. 2.2 Vektor negatif Jika terdapat vektor v, maka negatif dari vektor v (ditulis –v ) adalah vektor yang besarnya sama dengan vektor v, tapi arahnya berlawanan. v Gambar 2.3 Dua vektor yang sama besar dan arah berlawanan –v

4. 2.3 Vektor dalam Sistem Koordinat Bidang Misal v adalah vektor pada suatu bidang dan v ditempatkan sedemikian rupa sehingga titik awalnya berimpit dengan titik asal koordinat Kartesius. y (v1, v2) Koordinat (v1, v2) dari titik akhir v disebut komponen v, ditulis, v=(v1, v2) v x  O Gambar 2.4 Vektor pada Koordinat Kartesius

5. 2.4 Vektor Posisi Vektor posisi adalah vektor yang mempunyai titik awal berimpit dengan titik asal. Sembarang vektor dapat diubah menjadi vektor posisi dengan cara sebagai berikut. y y (x2, y2) v (x2 –x1, y2 – y1) (x1, y1) w  x x  O O Gambar 2.5 Vektor Posisi

6. Vektor v diubah menjadi vektor posisi w dengan cara: • Titik awal w = (0, 0) • Titik akhir w = (x2 –x1, y2 – y1) • Dua buah vektor posisi v=(v1, v2) dan w=(w1, w2) • dikatakan ekivalen atau sama, jika dan hanya jika • v1 = w1 dan v2 = w2

7. y Gambar 2.6 Kesamaan dua vektor v w x  O Vektor v yang mempunyai koordinat titik awal (xv1,yv1) dan koordinat titik akhir (xv2, yv2) dikatakan ekivalen atau sama dgn vektor w yg mempunyai koordinat titik awal (xw1,yw1) dan koordinat titik akhir (xw2,yw2) jika dan hanya jika (xv2 – xv1) = (xw2 – xw1) dan (yv2 – yv1) = (yw2 – yw1)

8. 2.5 Vektor Satuan Standar Perhatikan vektor-vektor i= (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) Masing-masing vektor tersebut memiliki panjang 1 dan terletak sepanjang sumbu-sumbu koordinat. Vektor-vektor ini disebut vektor satuan standar pd ruang dimensi 3. Setiap vektor v = (v1, v2, v3) pada ruang dimensi 3 dapat dinyatakan dalam bentuk i, j, dan k, karena kita dapat menulis: z k (0, 0, 1) j i (0, 1, 0) y (1, 0, 0) v = (v1, v2, v3) = v1(1, 0, 0) + v2(0, 1, 0) + v3(0, 0, 1) x = v1i + v2j + v3k

9. 2.6 Penjumlahan Vektor Penjumlahan vektor dapat dilakukan dengan metode grafis, dan metode analitik. 2.6.1 Metode Grafis Jika v dan w adalah dua buah vektor, maka jumlah v + w ditentukan sebagai berikut. Letakkan titik awal vektor wpada titik akhir vektor v. Vektor v + w adalah vektor yang ditunjukkan oleh anak panah dari titik awal vektor v hingga titik akhir vektor w.

10. Misal terdapat vektor v dan w. v w Maka v + w didapat dengan cara w v + w v

11. Untuk mendapatkan w + v didapat dengan cara, w + v v w Jumlah vektor v + w dan w + v ekivalen. Artinya, v+ w = w + v

12. w w v + w v + w v v v v w + v w + v w w

13. Jika v dan w adalah dua buah vektor, maka selisih w dari v ditulis v – w atau v + (–w). v w -w v v – w

14. 2.6.2 Metode Analitik Metode penjumlahan vektor dgn metode grafis hanya memungkinkan untuk menjumlahkan vektor sampai dengan ruang dimensi 2. Metode tsb kurang hanya memungkinkan jika penjumlahan dilakukan untuk vektor pada ruang berdimensi 3 atau lebih. Cara lain yang bisa digunakan adalah metode analitik. Langkah-langkah yg perlu dilakukan utk menjumlahkan vektor pada ruang dimensi 2 menggunakan metode analitik adalah: 1. Pastikan vektor-vektor yang akan dijumlahkan sudah dalam bentuk vektor posisi. 2. Uraikan vektor menjadi komponen-komponen vektor 3. Jumlahkan komponen-konponen vektor sesuai dgn arah komponennya.

15. Contoh 2.1 Diketahui vektor u dan v seperti pada gambar berikut. y (5, 6) (3, 4) u v (1, 4) (6, 1) x  O Tentukan u + v Penyelesian Misal u + v= w Vektor posisi u = ((5 – 1), (6 – 4 )) = (4, 2) Vektor posisi v = ((3 – 6), (4 – 1 )) = (–3, 3)

16. y y wx= ux + vx= 4 +(–3) = 1 wy= uy+ vy= 2 + 3 = 5 w= (wx, wy) = (1, 5) vx = –3 ux = 4 (1, 5) (4, 2) w (4, 2) (–3, 3) v (–3, 3) v x u u O x uy = 2 O vy = 3

17. 2.7 Perkalian Vektor 2.7.1 Perkalian Vektor dengan Skalar Misal k adalah skalar dan v adalah vektor, maka hasil kali kv didefinisiklan sebagai vektor yang panjangnya |k| kali panjang v dan arahnya = arah vjika k > 0 dan berlawanan dengan v jika k < 0 v 1/2v –v 2v –1/3 v

18. 2.7.2 Perkalian titik Misal u dan v adalah dua vektor pada bidang atau ruang yang mempunyai titik awal yang berimpit. Sudut yang diapit oleh u dan v adalah sudut  yang memenuhi 0     u u    v u v v Sudut  antara u dan v yang memenuhi 0     v  u

19. Definisi Jika u dan v adalah vektor-vektor pada bidang (dimensi 2) atau pada ruang (dimensi 3), dan  adalah sudut antara udan v, maka hasil kali titik (dot product) atau hasil kali dalam Euclidean (Euclidean inner product) u.vdidefinisikan oleh, Contoh 2.2 Sudut antara u = (0, 0, 1) dan v = (0, 2, 2) adalah  = 450, tentukan hasil kali titik u.v Penyelesaian

20. Hasil kali titik berbentuk komponen vektor Jika terdapat vektor u dan v pada bidang atau ruang, maka hasil kali titik dalam bentuk komponen vektor adalah, u . v = u1v1 + u2v2 (vektor bidang) u . v = u1v1 + u2v2 + u3v3 (vektor ruang)

21. Sudut antara dua vektor Jika terdapat vektor u dan v pada bidang atau ruang, maka Sudut antara dua vektor tersebut adalah, • Misal u dan v adalah vektor-vektor pada ruang dimensi 2 atau dimensi 3. Kita dapat menyimpulkan bahwa: • adalah sudut lancip jika dan hanya jika u.v > 0 • adalah sudut tumpul jika dan hanya jika u.v < 0 • = /2 jika dan hanya jika u.v = 0

22. Contoh 2.3 Jika u = (2, –1, 1) dan v = (1, 1, 2), tentukan, u.v dan sudut  antara u dan v. Penyelesaian u . v = u1v1 + u2v2 + u3v3 = (2)(1) + (–1)(1) + (1)(2) = 3  adalah sudut tumpul karena u.v > 0

23. Latihan Diketahui u = (1, –2, 2), v = (–2, 4, 4), dan w= (3, 6, 2) Tentukan, a) u.v dan sudut  antara u dan v b) v.w dan sudut  antara v dan w c) w.u dan sudut  antara w dan u

24. 2.7.2 Hasil Kali Silang Jika u = (u1, u2, u3) dan v = (v1, v2, v3) adalah vektor-vektor pada ruang dimensi 3, maka hasil kali silang (cross product) u x v adalah vektor yang didefinisikan sebagai, (u2v3 – u3v2, u3v1 – u1v3, u1v2 – u2v1) Ingat! Hasil kali silang hanya dapat diterapkan pada ruang (dimensi 3) Untuk mendapatkan rumus diatas, lakukan langkah-langkah sebagai berikut. Bentuk matriks 2 baris 3 kolom. Baris pertama terdiri dari komponen vektor u. Sedangkan baris kedua berasal dari vektor v.

25. 2. Untuk menghitung komponen pertama, hilangkan kolom pertama dari matriks dan hitung determinannya 3. Untuk menghitung komponen kedua, hilangkan kolom kedua dari matriks dan hitung determinannya. 4. Untuk menghitung komponen ketiga, hilangkan kolom ketiga dari matriks dan hitung determinannya. Contoh 2.4 Tentukan u x v jika u = (1, 2, –2) dan v = (3, 0, 1) Penyelesaian uxv

26. Hasil kali silang vektor satuan Telah diketahui bahwa: i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) Didapat: ixj j x i ixi

27. Hasil perkalian silang dua vektor yang searah jarum jam adalah vektor berikutnya. Hasil perkalian silang dua vektor yang berlawanan jarum jam adalah negatif vektor berikutnya. Hasil perkalian silang dua buah venktor yang sama adalah nol. j i Hasil perkalian silang lainnya dapat dilihat pada diagram berikut. k i x k = –j k x i = j j x k = i k x j = –i j x j = 0 k x k = 0

28. Bentuk Determinan dari Hasil Kali Silang uxv Contoh 5.10 Jika u = (1, 2, –2) dan v = (3, 0, 1) uxv

29. Hubungan antara Hasil Kali Silang dan Hasil Kali Titik Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor pada ruang dimensi 3, maka berlaku: u . (u x v) = 0 (u x v adalah ortogonal terhadap u) v . (u x v) = 0 (u x v adalah ortogonal terhadap v) ||u x v||2 = ||u||2||v||2 – (u . v)2(identitas Lagrange) u x (vxw) = (u.w) v – (u.v) w (hubungan antara hasil kali titik dan hasil kali silang) e) (u x v)xw = (u.w) v – (v.w) u (hubungan antara hasil kali titik dan hasil kali silang)

30. Definisi Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor pada ruang berdimensi 3, maka u . ( vxw ) disebut sebagai hasil kali tripel skalar (scalar triple product) Dikatahui bahwa u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3), w = (w1, w2, w3) Hasil kali tripel skalar u . ( vxw ) didapat,

31. Latihan Misal u = (3, 2, –1), v = (0, 2, –3) , w = (2, 6, 7) Tentukan a) v x w b) u x (v x w) c) u x (v –2w) d) (u x v) x (v x w) 2. Tentukan hasil kali triple skalar u.(v x w) dari vektor-vektor: a) u = (–1, 2, 4), v = (3, 4, –2), w = (–1, 2, 5) b) u = (3, –1, 6), v = (2, 4, 3), w = (5, –1, 2)

32. selesai