FI- 1 4 Termika a termodynamika I I

1. FI-14 Termika a termodynamika II

2. Hlavní body • Ideální plyn a jeho vlastnosti • Stavová rovnice ideálního plynu • Kinetická teorie ideálního plynu • Střední kvadratická rychlost a střední kinetická energie • Tlak a celková vnitřní energie • Ekvipartiční theorém • Avogadrův zákon a Daltonův zákon • Boltzmanův zákon • Maxwellovo rozdělení rychlostí

3. Ideální plyn a jeho vlastnosti I • V mechanice jsme vycházeli z abstraktního pojmu hmotnéhobodu, na němž jsme ukázali jisté veličiny a vztahy mezi nimi. Potom jsme postupovali přes složitější pojmy blíže k realitě. • Obdobnoufunkci má v termice a termodynamice ideálníplyn. Také na něm lze ukázat řadu obecných veličin a jejich vlastností a zavedením určitých korekcí můžeme přejít k reálnějším systémům, které mohou mít principiálně novévlastnosti.

4. Ideální plyn a jeho vlastnosti I • Ideální plyn je soubor částic (molekul), které : • jsou nekonečněmalé • mají určitou hmotnost • mají kulový tvar a hladký povrch • na sebe nepůsobí žádnými dalekodosahovýmisilami! • chaoticky se pohybují a pružně se sráží navzájem a se stěnami nádoby • jejich celkováenergie je tedy rovná součtu jednotlivých kinetickýchenergií a je-li systém tepelně izolován a uzavřen, zůstává energie při určité teplotěkonstantní

5. Stavová rovnice i.p. I • Pro ideální plyn platí přesně Gay-Lussacův zákon pro děje izobarický : • i izochorický :

6. Stavová rovnice i.p. II • Uvažujme systém ve stavu p1, V1, T1 • přejděme izochoricky do stavu p2, V1, T • a z nějizobaricky do stavu p2, V2, T2

7. Stavová rovnice i. p. III • Spojením a přeskupením dostáváme stavovou rovnici ideálního plynu : • Pro konkrétní množství n molů ideálního plynu platí :

8. Stavová rovnice i. p. IV • R = 8.314 J mol-1 K-1 je tzv. univerzálníplynová konstanta. • n = /M je množství v molech, celková hmotnost, Mmolární hmotnost (hmotnost NA částic) • Avogadrovo číslo NA = (6.022141990.00000047).1023 • Z rovnice je například patrné, že při izotermické změně platí : • Tomuto vztahu se říká Boyle-Marriottův zákon a je znám již od roku 1660, tedy o mnoho déle než zákon Gay Lussacův!

9. Stavová rovnice i. p. V • Ze stavové rovnice plyne, že zetří stavových veličin p, V , T jsou jen dvěnezávislé. • Můžeme například chápat teplotu T(p,V) jako povrch zvláštního ‘kopce’, který stojí v rovině p,V. • Pracujeme-li s konkrétním množstvím plynu, musíme se vždy pohybovat na tomto povrchu. • Pokud navíc změna probíhá nějakým speciálnímzpůsobem, např. izotermicky, znamená to speciálnícestu na tomto povrchu, např. po vrstenici. • Na jinýpovrch se dostaneme jen změníme-li množství.

10. Základy kinetické teorie i.p. I • Předchozí dosti zajímavé a obecné závěry byly odvozeny bez jakýchkoli předpokladů o mikrostruktuře ideálního plynu. • Jistě ale bude zajímavé zjistit, jak souvisí makroskopicképarametry ideálního plynu s dalšími vlastnostmi, které u něj předpokádáme. • Ukazuje se, že makroskopické parametry jsou jisté středníhodnoty veličin mikroskopických.

11. Základy kinetické teorie i.p. II • V kulové nádobě o poloměru r mějme Nstejných částic ideálního plynu o hmotnosti m . N=nNA,kde n je množství v molech a NAAvogadrovočíslo, tedy počet částic v jednom molu. • Definujme číselnou hustotu částicN0 a pomocí ní hustotujako :

12. Základy kinetické teorie i.p. III • Částice se chaoticky pohybují, pružně při tom narážejí nasebea na vnitřní stěny nádoby. • Každá elementární ploška kulové plochy, na které dochází k nárazu, je kolmá k radiále. Proto při nárazu dochází pouze ke změně radiální složky hybnosti. • Kulová nádoba má ale plošky všechsměrů, takže mluvíme-li o rozdělení radiálních rychlostí mluvíme současně o rozdělení všech rychlostí.

13. Základy kinetické teorie i.p. IV • Při nárazu i-té částice s radiálnísložkou rychlosti vi, trvajícím todevzdává částice stěně impuls síly Fi : • Vzhledem ke své rychlosti narazí tato částice ve stejném směru (na druhé straně) za dobu t :

14. Základy kinetické teorie i.p. V • Za tuto dobu je střední síla, kterou působí tato částice na stěnu nádoby a které musí nádoba odolat: • Rychlosti jednotlivých částic jsou různé. Můžeme však zavést střední kvadratickou rychlostc (RMS) :

15. Základy kinetické teorie i.p. VI • Průměrná síla, kterou způsobí nárazy jedné částice bude : • A celkový tlakvšech částic na celou nádobu :

16. Základy kinetické teorie i.p. VII • S použitím hustot zavedených dříve platí : • Porovnejme tento výsledek se stavovourovnicí pro 1 mol plynu, kde mN = mNa = M :

17. Základy kinetické teorie i.p. VIII • Je zřejmé, že středníkvadratickárychlost je přímoúměrná absolutní teplotě a nepřímoúměrnáhmotnosti částic : • k= 1.38 10-23 J K-1 je v přírodě velice důležitá Boltzmanovakonstanta

18. Základy kinetické teorie i.p. IX • Pouze na teplotě závisí střední kinetickáenergie jedné částice a dokonce i energie celková, protože v ideálním plynu neexistuje energie potencialní.

19. Základy kinetické teorie i.p. X • Srovnáním se stavovou rovnicí také platí : Pro jeden mol je totiž : NA/VM = N0 • Číselná hustota částic tedy závisí pouze na termodynamických podmínkách, ale ne na vlastnostech částic. To je empiricky známo jako Avogadrův zákon :

20. Základy kinetické teorie i.p. XI • Protože středníkinetickáenergie nezávisí na hmotnosti částice, bude v případě směsi více druhů neinteragujících částic pro každý druh stejná. • Ze skutečnosti, že celková číselná hustota musí být tzv. aditivní, čili je součtem číselných hustot jednotlivých druhů čátic, dostáváme po rozšíření 2u/3Daltonův zákon pro parciální tlaky :

21. Základy kinetické teorie i.p. XII • Částice ideálního plynu, která je vlastně hmotným bodem, má třistupněvolnosti. Uvážíme-li její střední energii, je možné přiřadit jednomu stupni volnosti střední energii : • Předpoklad, že se střední energie rovnoměrně rozdělí mezi stupně volnosti se nazývá ekvipartiční theorém. Jeho platnost je podpořena vlastnostmi plynů, jejichž molekuly mají více stupňů volnosti.

22. Základy kinetické teorie i.p. XII • Došli jsme tedy k důležitým závěrům pro i.p.: • Tlak plynu je vyvoláván nárazy částic na stěny. Je přímo úměrný druhé mocnině rychlosti částic a také teplotě. • Střední kvadratická rychlost u směsi závisí na typu částice, ale kinetickáenergie je mezi částice rozdělenarovnoměrně. • vnitřní energie je skryta v kinetické energii chaotického pohybu částic a je přímo úměrná teplotě a množství. • vnitřní energii lze uvažovat jako součin střední energie na jeden stupeň volnosti a počtu stupňů volnosti