Teorema de Rice

1. Teorema de Rice Mestrado em Ciência da Computação Profa. Sandra de Amo

2. 1. Os inputs de P são códigos de máquina de Turing <M> Problema P Seja P um problema satisfazendo as seguintes condições: 2. Existe um input <M1> tal que P responde positivamente a <M1> <M1> Problema P YES ! Existe um input <M2> tal que P responde negativamente a <M2> <M2> Problema P NO ! 3. Se L(M1) = L(M2) então <M1> ϵ P  <M2> ϵ P (isto é, a resposta do problema só depende do que a máquina faz e não do seu código) Então P é indecidível

3. O Teorema de Rice = “template geral” para provar que certos problemas são indecidíveis • Qualquer problema que se encaixa nas hipóteses do teorema de Rice é indecidível. • Assim: - para provar que um certo problema P é indecidível: 1. “inventar” uma prova particular de indecidibilidade algum problema indecidivel se reduz a P ? OU 2. verificar que o problema satisfaz as hipóteses do Teorema de Rice.

4. Prova: • Considere a máquina M2 tal que L(M2) = ø (M2 não aceita nenhum string). Caso 1: Suponhamos que <M2>  P (isto é, P responde negativamente a <M2>) • Pela condição (2) sabemos que existe uma máquina <M1> tal que <M1> ϵ P. • Mostremos que A ≤ P TM < M,w > < M’ > • M’ = No input x faça • Execute M em w. • Se M pára em qr, M’ pára em qr. • Se M pára em qa, executa M1 em x • Se M1 pára em qa, M’ pára em qa • Se M1 pára em qr, M’ pára em qr Se M não aceita w então M’ não aceita nenhum input x. Isto é: L(M’) = ø = L(M2) . Logo <M’> é instância negativa de P Se M aceita w então M’ atua exatamente como M1. Isto é: L(M’) = L(M1). Logo <M’> é instância positiva de P

5. A P P TM Caso 2: Suponhamos que <M2> ϵP (isto é, P responde positivamente a <M2>) Consideramos o problema P <M2> P Usando o mesmo argumento do Caso 1, mostramos que ≤ Logo é indecidível Logo P é indecidível

6. Exemplo de Aplicação do Teorema de Rice Reg = {<M> : L(M) é regular} Mostrar que Reg é indecidível. Prova: Reg satisfaz as 3 condições do Teorema de Rice: • Seus inputs são códigos de MT • Existe uma MT M1 tal que L(M1) não é regular (basta considerar a MT tal que L(M1) = palindromos Existe uma MT M2 tal que L(M2) é regular (basta considera a MT tal que L(M2) = 0*1* ) • Se M e M’ são duas MT tais que L(M) = L(M’) então • ou ambas estão em Reg (no caso de L(M) = L(M’) ser regular ) • ou ambas não estão em Reg (no caso de L(M) = L(M’) não ser regular.

7. Alguns problemas indecidíveis não verificam as condições do T. Rice: P = {<M> | M pára em algum string w} Mostre que a condição 3 do Teorema de Rice não é verificada para o problema P. Logo, não podemos utilizar o T. Rice para mostrar que P é indecidível. Precisamos utilizar a técnica da redução.

8. Realmente: Consideremos as seguintes M.T. • M1 • entra em loop para todo string w ≠ 0, • pára em qr qdo executada em w = 0 É claro que L(M1) =  • M2 • entra em loop para todo string w É claro que L(M2) =  Logo: L(M1) = L(M2) Mas : <M1> ϵ P <M2> ϵ P