PROBABILITAS DAN DISTRIBUSI

1. PROBABILITAS DAN DISTRIBUSI

2. Percobaan Random Seringkalipadasebuahpercobaan, hasilnyatidakdapatdiprediksikansecarapasti, tetapihimpunandarisemuahasil yang mungkinterjadidapatdiketahui. Jikapercobaaninidapatdiulangdibawahkondisi yang sama, makapercobaaninidisebutpercobaan random.

3. RuangSampel Himpunandarisemuahasil yang mungkindaripercobaan random disebutruangsampel Titiksampel adalah : elemendariruangsampel

4. Contoh: -Pelemparansuatumatauang. Jikapelemparaninidilakukanberulang-ulangdibawahkondisi yang sama, makapercobaaniniadalahcontohdaripercobaan random, denganruangsampelnyaadalah {M,B} atauC = {M,B} - Percobaan yang dilakukanahlipertanianuntukmengetahuiefekdaripupuktertentuterhadaphasilpanenpadivaritastertentu.

5. Kejadian • MisalkanC menyatakansebuahruangsampel, dan C menyatakansubset dariC atau C C . Himpunan C disebutkejadian. Jadikejadianadalah subset dariruangsampelatau subset dariC. Kejadian C disebutterjadiapabilahasildaripercobaanrandom adadiC.

6. Contoh : Pelemparansebuahdadu C ={muka1,muka2,…,muka6} Misalkan C ={muka1,muka3,muka5} Kapankejadian C disebutterjadi? Jikapadasaatmelempardadumunculmuka 5, makakejadian C disebutterjadi. Demikianseterusnyaapabiladalampelemparanberikutnya yang munculadalah muka1,atau muka3 atau muka5, makakejadian C disebutterjadi.

7. ProbabilitasdariSuatuKejadian C atau P(C) • Misalkanterdapat N pengulangandalamsuatupercobaan random. Dalamhalinidapatdihitungberapa kali kejadian C terjadi, misalkan n kali. Rasio n/N disebutfrekuensirelatifdarikejadian C didalam N pengulangandarisuatupercobaan random. Jika N bertambahbesar, makaberdasarkanpengalaman, rasio n/N cenderungstabilataumendekatisuatunilaitertentu, misalnya p. Bilangan p ini yang nantinyamenjadiprobabilitasdarisuatukejadian C atau P(C), yang nilainyaberadadi interval [0,1].

8. Tujuanutamadariadanyateori stat mat adalahmenyediakan/membuat model matematikadaripercobaan random. Denganadanya model tersebutmakastatisticiandapatmengambilkesimpulanmengenaipercobaan random yang dilakukannya. Pembuatan model inimembutuhkanteoritentangprobabilitas yang didasarkanpadakonsep-konsephimpunandanfungsihimpunan.

9. TeoriHimpunan • Himpunan • Subset • HimpunanKosong • Union (Gabungan) Himpunan • Intersection (Irisan) Himpunan • Space • Komplemen • FungsiTitik • FungsiHimpunan

10. FungsiHimpunanProbabilitas • MisalkanCmenyatakanruangsampel. Berikutakandidefinisikanfungsihimpunan P sedemikianhinggajika C adalah subset dariC maka P(C) menyatakanprobabilitasbahwahasildarisuatupercobaanberadadi C. Sehinggafungsihimpunan P didefinisikansbb: P : PC[0,1] C P( C )

11. Apabilafungsi P diatasmemenuhisifat-sifatberikut : 1. P( C ) ≥ 0. 2. P(C1 U C2 ....) = P(C1) + P(C2) +… dimana CiCj = Ø, i≠j 3. P(C ) = 1 maka P disebutfungsihimpunanprobabilitas.

12. Suatufungsihimpunanprobabilitasdapatmenunjukkanbagaimanaprobabilitasdidistribusikanatas subset-subset C dariruangsampelC danuntukselanjutnyadisebutdistribusiprobabilitas.

13. Teorema 1 Untuksetiap C subset dariC , P(C) = 1 – P(C*) Bukti : MisalkanC = C C*dan C C* = Ø. Berdasarkansifat 1 dan 2 darifhp, maka : P(C )= P(C C*) 1 = P(C ) + P(C*) atau P(C ) = 1 - P(C*)

14. Teorema 2 Probabilitasdarihimpunankosongadalahnolatau P(Ø) = 0. Bukti: Dari teorema 1, ambil C = Ø maka C* = C Jadi P(Ø) = 1 – P(C ) = 1 – 1 = 0

15. Teorema 3 Jika C1 dan C2 adalah subset-subset dariC sedemikianhingga C1 C2, maka P(C1) ≤ P(C2). Bukti: C2 = C1 (C1* C2) dan C1 (C1* C2) = Ø Berdasarkansifat 2 darifhp,diperoleh: P(C2 ) = P(C1 (C1* C2) ) P(C2 ) = P(C1 ) + P (C1* C2) , P (C1* C2) 0 Jadi, P(C1 ) P(C2 ).

16. Teorema 4 Setiap C subset dariC, 0 ≤ P( C ) ≤ 1. Bukti: Karena Ø C C,makadariteorema 3 diperoleh : P(Ø ) ≤ P(C ) ≤ P(C ) 0 ≤ P( C ) ≤ 1

17. Teorema 5 Jika C1 dan C2 adalah subset-subset dariC maka P(C1 U C2) = P(C1)+P(C2) – P(C1 C2) Bukti: C1 C2dan C2dapatdinyatakansbb: C1 C2 = C1 (C1* C2) dan C2 = (C1 C2 ) (C1* C2) Karena C1 (C1* C2) = Ø dan (C1 C2 ) (C1* C2 )=Ø

18. makaberdasarkansifat 2 darifhp, diperoleh: • P ( C1 C2) = P (C1 (C1* C2 )) • P ( C1 C2) = P (C1 ) + P (C1* C2 ) (1) dan • P (C2 ) = P((C1 C2 ) (C1* C2)) • P (C2 ) = P(C1 C2 ) + P (C1* C2) (2) Denganmengurangkan (2) dari (1), didapat: P ( C1 C2) - P (C2 ) = P (C1 ) - P(C1 C2 ) Jadi P ( C1 C2) = P (C1 ) +P (C2 ) - P(C1 C2 )

19. Contoh: MisalkanC adalahruangsampeldimanaelemen-elemennyamerupakanhasilpelemparan 2 buahdadu. C = {(1,1),…,(1,6),(2,1),…,(2,6),…,(6,1),…,(6,6)} Misalmasing-masingelementersebutatau C1 = {(1,1)}, C2={(1,2)},…, C36 = {(6,6)} probabilitasnyaatau P(C1 )= dst. Misal D1 = {(1,1),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1)} dan D2 = {(1,2),(2,2),(3,2)} maka P(D1 )= ,P(D2 )= P (D1 D2 )= 0

20. P(D1 D2 ) = P(D1 ) + P(D2 ) - P (D1 D2 ) = + - 0 =

21. Mutually Exclusive Events, Mutually Exclusive Events and Exhaustive, Equally Likely • MisalkanC adalahruangsampeldanmisal C1, C2,… adalah subset-subset dariC. ApabilaC1, C2,… tidaksalingberirisanmaka C1, C2,… disebutmutuallly disjoint sets. Karena C1, C2,… adalahkejadianmaka C1, C2,… disebutjugamutually exclusive setsataumutually exclusive events. • ApabilaC = C1 C2 … dan C1, C2,… adalahmutually exclusive events makamenurutsifat 2 fhp, diperoleh P(C )=P(C1 )+P(C2) + … atauP(C1 )+P(C2) + … = 1. Kalauberlakudemikianmaka C1, C2,… disebutmutually exclusive events and exhaustive. • MisalkanC = C1 C2 … Ckdimana C1, C2,…Ckmutually exclusive events and exhaustive. Misalkan P(Ci) = 1/k,i = 1,2..,k Apabila C1, C2,…Ckmemenuhisifat-sifattersebutmaka C1, C2,…Ckdisebutequally likely.