1 / 42

DISTRIBUSI PROBABILITAS

DISTRIBUSI PROBABILITAS. Pokok Bahasan ke-6. Variabel Random :. adalah suatu fungsi yang menghubungkan sebuah bilangan riil dengan setiap unsur didalam ruang sampel S.

art
Download Presentation

DISTRIBUSI PROBABILITAS

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. DISTRIBUSI PROBABILITAS Pokok Bahasan ke-6

  2. Variabel Random: • adalah suatu fungsi yang menghubungkan sebuah bilangan riil dengan setiap unsur didalam ruang sampel S. • Untuk menyatakan variabel random digunakan sebuah huruf besar, misalkan X. Sedangkan huruf kecilnya, misalkan x, menunjukkan salah satu dari nilainya.

  3. Contoh : • S = {BBB, BBC, BCB, CBB, BCC, CBC, CCB, CCC} dengan B menunjukkan “tanpa cacat (baik)” dan C menunjukkan “cacat”. • Variabel random X yang menyatakan jumlah barang yang cacat pada saat tiga komponen elektronik diuji, maka ditulis X = 0, 1, 2, 3.

  4. Variabel random diskrit: • Jika suatu ruang sampel berisi sejumlah kemungkinan terhingga atau urutan yang tidak terbatas dengan unsur sebanyak bilangan bulat, maka ruang sampel ini disebut Ruang Sampel Diskrit, dan variabel random yang didefinisikan disebutVariabel Random Diskrit.

  5. Variabel random kontinu: • Jika suatu ruang sampel berisi sejumlah kemungkinan tak terhingga yang sama dengan jumlah titik-titik didalam sebuah segmen garis, maka ruang sampel ini disebut Ruang Sampel Kontinu, dan variabel random yang didefinisikan disebut Variabel Random Kontinu.

  6. DistribusiProbabilitas : • Kumpulan pasangan nilai-nilai dari variabel acak X dengan probabilitas nilai-nilai variabel random X, yaitu P(X=x) disebut distribusi probabilitas X (distribusi X)

  7. DistribusiProbabilitasDiskrit X (1) : • Himpunan pasangan tersusun (x, f(x)) adalah sebuah fungsi probabilitas, fungsi padat probabilitas, atau distribusi probabilitas dari suatu variabel random diskrit X bila untuk setiap keluaran x yang mungkin, berlaku : - P(X = x) = f(x) - -

  8. DistribusiProbabilitasDiskrit X (2) : • Distribusi kumulatif F(x) dari suatu variabel random diskrit X dengan distribusi probabilitas f(x), adalah :

  9. DistribusiProbabilitasDiskrit X (3) : • Nilai ekspektasi X adalah nilai tengah (rata-rata) dari variabel random diskrit X. • Dinyatakan dengan E(X), yaitu:

  10. Contoh: • Sebuah pengiriman 8 mikrokomputer yang serupa ke suatu jaringan eceran berisi 3 yang cacat. Bila suatu sekolah melakukan suatu pembelian acak 2 dari mikrokomputer ini, • Carilah distribusi probabilitas untuk jumlah yang cacat. • Carilah distribusi kumulatif untuk jumlah yang cacat. • Dengan menggunakan F(x), buktikan f(2) = 3/28 • Hitung nilai rata-rata X.

  11. Jawab (1): • Ambil X sebagai variabel random yang didefinisikan sebagai banyaknya mikrokomputer yang cacat yang mungkin akan dibeli oleh sekolah tersebut. Maka dapat dituliskan : • X = banyaknya mikrokomputer cacat yang mungkin akan dibeli oleh sekolah = 0, 1, 2 • Sehingga dapat dihitung : Rumusdistribusiprobabilitasadalah • Jadi, distribusiprobabilitasdari X adalah

  12. Jawab (2): • Distribusikumulatif F(x) adalah : F(0) = f(0) = 10/28 F(1) = f(0) + f(1) = 10/28 + 15/28 = 25/28 F(2) = f(0) + f(1) + f(2) = 10/28 + 15/28 + 3/28 = 1 Sehingga : 1 , untuk x < 0 F(x) = 10/28 , untuk 0  x < 1 25/28 , untuk 1  x < 2 1 , untuk x  2

  13. Jawab (3): • Denganmenggunakan F(x), maka f(2) = F(2) – F(1) = 1 – 25/28 = 3/28 • NilaiEkspektasi X adalah E(X) = 0.f(0) + 1.f(1) + 2.F(2) = (0). (10/28) + (1). (15/28) + (2). (3/28) = 21/28

  14. DistribusiProbabilitasKontinu X (1): • Himpunan pasangan tersusun (x, f(x)) adalah sebuah fungsi probabilitas, fungsi padat probabilitas, atau distribusi probabilitas dari suatu variabel random kontinu X bila untuk setiap keluaran x yang mungkin, berlaku :

  15. DistribusiProbabilitasKontinu X (2): • Distribusi kumulatif F(x)dari suatu variabel random diskrit X dengan distribusi probabilitas f(x), adalah :

  16. DistribusiProbabilitasKontinu X (3): • Nilai ekspektasi X adalah nilai tengah (rata-rata) dari variabel random kontinu X. • Dinyatakan dengan E(X), yaitu:

  17. Contoh: • Suatu variabel random X mempunyai fungsi probabilitas f(x) = 1/3 pada interval 1  x  4 • Tunjukkan bahwa luas daerah dibawah kurva f sama dengan 1. • Hitunglah P(1,5 < x < 3) • Hitunglah P( x < 2,5) • Hitunglah P(x  3,0) • Hitug F(x), kemudian gunakan menghitung P( x < 2,5) • Hitung nilai E(X)

  18. Distribusi Binomial (DistribusiProbabilitasDiskrit) • Percobaan Bernoulli : Sifat-sifat sebagai berikut : • Percobaan itu terdiri dari n pengulangan • Tiap pengulangan memberikan hasil yang dapat diidentifikasi sukses atau gagal • Probabilitas sukses dinyatakan dengan p, tetap konstan (tidak berubah) dari satu pengulangan ke pengulangan lainnya, sedangkan probabilitas gagal adalah q = 1- p • Tiap pengulangan dan pengulangan lainnya saling bebas.

  19. Distribusi Binomial • Banyaknya X sukses dalam n pengulangan suatu percobaan bernoulli disebut sebagai variabel random Binomial, sedangkan distribusi probabilitasnya disebut distribusi Binomial dan nilainya dinyatakan sebagai : b(x,n,p)dimana x = 1, 2, …, n

  20. Rata-rata danVariansiDistribusi Binomial : • Rata-rata = • Variansi =

  21. Contoh • Probabilitas bahwa seorang pasien sembuh dari penyakit darah yang langka adalah 0,4. Bila 15 orang diketahui telah terkena penyakit ini, berapakah probabilitas : • Paling sedikit 10 orang yang selamat • Dari 3 sampai 8 orang yang selamat • Tepat 5 orang yang selamat • Hitung rata-rata dan variansinya

  22. Distribusi Poisson(DistribusiProbabilitasDiskrit) • Percobaan Poisson : • Jikasuatupercobaanmenghasilkanvariabel random X yang menyatakanbanyak-nyasuksesdalamdaerahtertentuatauselama interval waktutertentu, percobaanitudisebutpercobaan Poisson.

  23. Distribusi Poisson • Jumlah X dari keluaran yang terjadi selama satu percobaan Poisson disebut Variabel random Poisson, dan distribusi probabilitasnya disebut distribusi Poisson. • Bila x menyatakan banyaknya sukses yang terjadi ,  adalah rata-rata banyaknya sukses yang terjadi dalam interval waktu atau daerah tertentu, dan e = 2,718 , maka rumus distribusi Poisson adalah :

  24. Rata-rata danVariansiDistribusi Poisson • Mean (rata-rata)dan variansidari distribusi Poisson adalah . Catatan : • Distribusi Poisson sebagai suatu bentuk pembatasan distribusi Binomial pada saat n besar , sedangkan p mendekati 0 , dan np konstan. • Sehingga bila n besar dan p mendekati 0, distribusi Poisson dapat digunakan untuk memperkirakan probabilitas Binomial, dengan

  25. Contoh • Di suatu simpang jalan rata-rata terjadi 6 kecelakaan sebulan, maka hitunglah probabilitas : • Pada suatu bulan tertentu di simpang jalan itu terjadi 7 kecelakaan • Pada suatu bulan tertentu di simpang jalan terjadi minimal 4 kecelakaan • Pada suatu minggu tertentu di simpang jalan itu terjadi 4 kecelakaan

  26. HubunganDistribusi Poisson denganDistribusi Binomial • Distribusi Poisson sebagai suatu bentuk pembatasan distribusi Binomial pada saat n besar , sedangkan p mendekati 0 , dan np konstan. • Sehingga bila n besar dan p mendekati 0, distribusi Poisson dapat digunakan untuk memperkirakan probabilitas Binomial, dengan  = np

  27. Contoh • Dalam suatu proses produksi yang menghasilkan barang dari gelas, terjadi gelembung atau cacat yang menyebabkan barang tersebut sukar dipasarkan. Rata-rata 1 dari 1000 barang yang dihasilkan mempunyai satu atau lebih gelembung. Hitung probablitas dalam sampel random sebesar 8000 barang akan berisi kurang dari 7 yang bergelembung.

  28.   x  Distribusi Normal(DistribusiProbabilitasKontinu) • Kurva Normal danVariabel Random Normal • Distribusi probabilitas kontinu yang terpenting adalah distribusi normal dan grafiknya disebut kurva normal. • Variabel random X yang distribusinya berbentuk seperti lonceng disebut variabel random normal.

  29. Sifat kurva normal, yaitu : • Kurvamencapaimaksimumpada • Kurva setangkup terhadap garis tegak yang melalui • Kurva mempunyai titik belok pada • Sumbu x merupakan asimtot dari kurva normal • Seluruh luas di bawah kurva, di atas sumbu x adalah 1

  30. Distribusi Normal • Variabel random X berdistribusi normal, dengan mean dan variansi mempunyai fungsi densitas

  31. luas daerah di bawah kurva dinyatakan dengan : x  X1 X2

  32. Distribusi Normal Standar (1) • apabila variabel X ditransformasikan dengan • substitusi • maka : ternyata substitusi menyebabkan distribusi normal menjadi , yang disebut distribusi normal standar.

  33. Distribusi Normal Standar (2): • Karena transformasi ini, maka selanjutnya nilai ini dapat dihitung dengan menggunakan tabel distribusi normal standar.

  34. Contoh: • Rata-rata berat 500 mahasiswa STIKOM adalah 55 kg dandeviasistandarnya 3.4 kg. Berapakahbanyaknyamahasiswa yang mempunyaiberat • kurangdari 53 kg • diantara 53 kg dan 57 kg • Bilanilaiujianstatistikamempunyai mean 74 dandeviasistandar 7.9, hitunglah • Nilai lulus terendah, bilamahasiswadengannilai 10% terendahmendapat E. • Nilai B tertinggi, bilaprobabilitasmahasiswadengannilai 5% tertinggi men-dapat A .

  35. Soal 1 • Sebuahpengiriman 7 set televisiberisi 2 set cacat. Sebuah hotel melakukanpembeliansecaraacak 3 set darisemua set televisi yang ada. Bila x adalahjumlah set televisi yang cacat yang dibelioleh hotel tersebut, • Carilahdistribusiprobabilitas X • Carilahdistribusikumulatif F(x) • Denganmenggunakan F(x), hitunglah P(X = 1) dan P(0 < x  2) • Hitungnilai E(X)

  36. Soal 2 • Jumlah jam total, yang diukurdalamsatuan 100 jam, bahwasuatufungsikeluargamenggunakanpengisapdebupadaperiodesatutahunmerupakansuatuvariabel random kontinu X yang mempunyaifungsiprobabilitas : f(x) = x , untuk 0 < x < 1, f(x) = 2 – x , untuk 1  x < 2, dan f(x) = 0, untuk x lainnya • Tunjukkanbahwa P(0 < x < 2) = 1 • Carilahprobabilitasbahwapadaperiodesatutahun, sebuahkeluargamenggunakanpengisapdebumerekakurangdari 120 jam • Carilahprobabilitasbahwapadaperiodesatutahun, sebuahkeluargamenggunakanpengisapdebumerekaantara 50 sampai 100 jam. • Carilahprobabilitasbahwapadaperiodesatutahun, sebuahkeluargamenggunakanpengisapdebumerekalebihdari 150 jam. • Hitungnilaiharapan X.

  37. Soal 3 • Sebuah industri yang menghasilkan sabun mandi telah mengambil sampel 3 buah sabun mandi dengan aroma melati dan 7 aroma mawar. Semua sabun mempunyai bentuk dan ukuran sama. Semua sampel dimasukkan dalam kotak dan kemudian diambil 4 sabun. Didefinisikan variabel random X adalah banyaknya sabun mandi beraroma melati yang terambil, tentukan: • Nilai dari variabel random X • Distribusi probabilitas variabel random X • Distribusi kumulatif F(x) kemudian hitung P(X=2) • Hitung rata-rata dan variansinya

  38. Soal 4 • Proporsi orang yang menjawab suatu tawaran lewat pos berbetuk varaibel random kontinu X yang mempunyai fungsi padat probabilitas untuk 0 < x < 1 dan f(x) = 0 untuk nilai x lainnya. • Buktikan bahwa f(X) merupakan fungsi padat probabilitas. • Hitung P( ½ < x < ¼) • Tentukan distribusi kumulatif F(x) kemudian hitung P( ½ < x < ¼)

  39. Soal 5 • Probabilitasmenghasilkanprodukcacatdari PT Idaman, sebuahperusahaan yang menghasilkanlemaries, adalah 0,2. Dalamrangkauntukmengendalikankualitaslemaries, makabagianpengendalikualitasbermaksudmelakukanpenelitiantentangprobilitaskerusakanlemaries. Sebagailangkahawaldiambillahsampelsebanyak 8 lemaries. Dari 8 lemariestersebutberapakahprobabilitasdiperoleh : • Dualemariesrusak • Tigalemariesbaik • Paling banyak 7 lemariesbaik • Antara 3 sampai 5 lemariesrusak • Paling sedikit 2 lemariesbaik • Paling banyak 2 lemariesrusak

  40. Soal 6 • Disket yang diproduksioleh PT Akbar ternyatasangatberkualitas. Hal initerbuktidari 100 buahdisketternyatahanyaada 2 disket yang tidakberfungsi. Apabiladiambil 150 buahdisket, makaprobabilitas: • Tigadiantaranyatidakberfungsi • Maksimum 5 tidakberfungsi • Antara 3 sampai 6 tidakberfungsi • Minimum 145 berfungsi

  41. Soal 7 • Rata-rata banyaknyamakanankaleng yang adadigudangtelahkadaluarsaadalah 5. Diambilsampel random sebanyak 10 buahmakanankalengdigudang, hitungprobabilitas: • Lima diantaranyakadaluarsa • Maksimum 4 telahkadaluarsa • Antara 5 sampai 8 telahkadaluarsa • Minimum 186 masihbisadimakan

  42. Soal 8 • Tes IQ 600 calonmahasiswamempunyai mean 115 dandeviasistandarnya 12. Mahasiswadikatakan lulus tes, bilamempunyai IQ paling rendah 95, berapakahmahasiswa yang dinyatakantidak lulus ? • Gajipegawaisuatuperusahaan rata-rata Rp.525,- per jam dengandeviasistandar Rp.60,-. • Berapapersenkaryawan yang bergaji Rp.575,- dan Rp.600,- per jam ? • Di atasberaparupiahkah 5% gaji per jam tertinggi ?

More Related