BRYŁY POLA POWIERZCHNI OBJĘTOŚCI BRYŁ

1. AKADEMIA PEDAGOGICZNA im. Komisji Edukacji Narodowej w Krakowie BRYŁY POLA POWIERZCHNI OBJĘTOŚCI BRYŁ Halina Tischner

2. Tytułem wstępu Kilka słów o Euklidesie Twierdzenie Eulera Zastosowane oznaczenia Graniastosłupy Graniastosłupy proste i prawidłowe Ostrosłupy Ostrosłup ścięty Bryły obrotowe Przekrój osiowy Przekrój poprzeczny Przykłady brył obrotowych Wielościany foremne Istnieje pięć wielościanów foremnych Kąty w bryłach Zamiast zakończenia... Spis treści

3. Tytułem wstępu... Geometria jest działem matematyki, którego przedmiotem jest badanie figur geometrycznych i zależności między nimi. Geometria powstała w starożytności, w związku z konkretnymi zadaniami praktycznymi dotyczącymi budownictwa i miernictwa.

4. Kilka słów o Euklidesie Kompilacją poznanych do III wieku p.n.e. faktów matematycznych jest dzieło Euklidesa Elementy(ok. 300 p.n.e.). Obejmuje ono teorię proporcji, arytmetykę oraz geometrię. „W matematyce nie ma drogi specjalnie dla królów” /Euklides/ Jednym z mniej oczywistych aksjomatów sformułowanych przez Euklidesa jest piąty (ostatni) aksjomat o równoległych, zwany często aksjomatem lub pewnikiem (również postulatem) Euklidesa. Jest on równoważny m.in. następującemu twierdzeniu: suma miar kątów wewnętrznych trójkąta jest równa mierze kąta półpełnego.

5. Twierdzenie Eulera Leonhard Euler (1707-1783) Wielościan jest to bryła ograniczona wielokątami ułożonymi w taki sposób, że każdy bok wielokąta jest wspólnym bokiem dwóch wielokątów. Wielokąty te nazywamy ścianami wielościanu, boki wielokątów - krawędziami, a wierzchołki - wierzchołkami wielościanu. Tw.Eulera: W wielościanie wypukłym liczba wierzchołkóww, liczba krawędzi k oraz liczba ścian s spełniają równość : w – k + s = 2 .

6.  stała matematyczna 3,141592653... r, R promienie h wysokość l tworząca Pp pole podstawy Pb pole powierzchni bocznej Pc pole powierzchni całkowitej V objętość Zastosowane oznaczenia

7. Graniastosłupy h Graniastosłupem nazywamy wielościan, którego dwie ściany (zwane podstawami), są przystającymi wielokątami leżącymi w płaszczyznach równoległych, a pozostałe ściany (zwane ścianami bocznymi) są równoległobokami, których wszystkie wierzchołki są jednocześnie wierzchołkami podstaw. 

8. h h Graniastosłupy proste i prawidłowe Graniastosłup prawidłowy (to graniastosłup prosty w którym podstawy są wielokątami foremnymi) Graniastosłup prosty (krawędzie boczne są prostopadłe do podstaw)

9. h Ostrosłupy Ostrosłupem nazywamy wielościan, którego jedna ściana (zwana podstawą), jest dowolnym wielokątem, a pozostałe ściany, zwane bocznymi, są trójkątami o wspólnym wierzchołku.

10. h Ostrosłup ścięty Ostrosłup ścięty jestto część ostrosłupa zawarta między jego podstawą i przekrojem płaszczyzną równoległą do podstawy. Ściany boczne są trapezami, a podstawy są wielokątami podobnymi. • pola podstaw • ostrosłupa ściętego

11. f k Bryły obrotowe Jeżeli figura f i prosta k zawarte są w jednej płaszczyźnie, to figurę otrzymaną przez obrót figury f wokół prostej k nazywamy figurąobrotową. Prosta k to oś obrotu tej figury.

12. k Przekrój osiowy Przekrojem osiowym bryły obrotowej nazywamy część wspólną tej bryły z płaszczyzną zawierającą oś obrotu.

13. k Przekrój poprzeczny Przekrojem poprzecznym bryły obrotowej nazywamy część wspólną tej bryły z płaszczyzną prostopadłą do osi obrotu.

14. Przykłady brył obrotowych • walec • stożek (zobacz również • stożek ścięty – następny slajd) • kula i sfera

15. h r k Walec Walcem nazywamy bryłę powstałą przez obrót prostokąta dookoła prostej zawierającej jeden z boków prostokąta.

16. h l r k Stożek Stożkiem nazywamy bryłę powstałą przez obrót trójkąta prostokątnego dookoła prostej zawierającej jedną z przyprostokątnych

17. r l h R Stożek ścięty Stożek ścięty jest to część stożka zawarta między jego podstawą i przekrojem poprzecznym wraz z nim.

18. r k Kula i sfera Kula jest bryłą obrotową powstałą przez obrót półkola dookoła prostej zawierającej średnicę tego pólkola. Sfera jest bryłą obrotową powstałą przez obrót półkokręgu dookoła prostej, w której zawarta jest średnica tego półokręgu.

19. Wielościany foremne Wielościanem foremnym nazywamy wielościan wypukły, którego wszystkie ściany są przystającymi wielokątami foremnymi i każdy jego wierzchołek jest końcem tej samej liczby krawędzi wielościanu. Wielościany foremne zwane są także czasami bryłami platońskimi, gdyż Platon jako pierwszy człowiek odnotował fakt istnienia ściśle określonej liczby tych brył.

20. Istnieje pięć wielościanów foremnych • czworościan foremny • sześcian • ośmiościan foremny • dwunastościan foremny • dwudziestościan foremny

21. Czworościan foremny Czworościan foremny (łac. tetraedr) to wielościan foremny o czterech ścianach w kształcie identycznych trójkątów równobocznych

22. Sześcian Sześcian (łac. heksaedr) to wielościan foremny o ścianach w kształcie kwadratów

23. Ośmiościan foremny Ośmiościan foremny (łac. oktaedr) to wielościan foremny o ośmiu ścianach w kształcie identycznych trójkątów równobocznych

24. Dwunastościan foremny Dwunastościan foremny (łac. dodekaedr) to wielościan foremny o ścianach w kształcie pięciokątów foremnych

25. Dwudziestościan foremny Dwudziestościan foremny (łac. ikosaedr) to wielościan foremny o ścianach w kształcie trójkątów równobocznych

26. Kąty w bryłachPROSTOPADŁOŚCIAN Kąt pomiędzy przekątną prostopadłościanu a przekątną podstawy Kąt pomiędzy przekątną ściany bocznej a krawędzią podstawy

27. h Kąty w bryłachOSTROSŁUP Kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy ostrosłupa Kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy ostrosłupa

28. h l r Kąty w bryłachSTOŻEK Kąt rozwarcia stożka, to kąt między ramionami trójkąta równoramiennego będącego przekrojem osiowym stożka Kąt pomiędzy tworzącą stożka a promieniem

29. Zamiast zakończenia... Literatura, z której korzystałam : • Encyklopedia Szkolna (wyd.WSiP Warszawa 1992 r.) • Tablice Matematyczne (wyd.Podkowa Gdańsk 2003 r.) Polecam również strony www : • http://www.wikipedia.pl/ • http://www.wiw.pl/ • http://www.matma.bermudy.org/ Dziękuję za wytrwałość