Sistemas Complexos

1. Sistemas Complexos SistemasComplexos & Mecânica Estatística Criticalidade Auto-Organizada (SOC) Dinâmica de terremotos e modelo OFC Carmen P. C. Prado Instituto de Física da USP Curso de Verão - janeiro /2002

2. Aula 1 - Sistemas Complexos • No dia a dia, chamamos de “ complexo ” um sistema que tem MUITOS COMPONENTES que INTERAGEM entre si e se comportam COLETIVAMENTE de forma NÃO TRIVIAL. • A área de pesquisa que hoje denominamos genericamente “ Sistemas Complexos ” é um novo campo da ciência, de caráter fortemente interdisciplinar, que estuda como as diversas partes de um sistema podem gerar padrões e comportamentos coletivos - chamados emergentes - e como tal sistema afeta ou é afetado pelo meio que o cerca. • Como as iterações locais levam a padrões coletivos. • Como podemos descrever tais sistemas / comportamentos. • Como tais sistemas (redes) se formam.

3. No estudo de sistemas complexos estamos interessados emefeitos indiretos, ou seja, em comportamentos macroscópicos e coletivos (como sincronismo e auto-organização) quenão podem ser inferidos trivialmente das regras de interação entre as partes. • Problemas que são difíceis de resolver são, em geral, difíceis de serem entendidos porque neles causas e efeitos não estão obviamente relacionados. Perturbar um sistema complexo “aqui” geralmente causa um efeito inesperado “lá” porque suas partes são interdependentes de uma forma não trivial.

4. A compreensão de que oconhecimento do funcionamento das partesmuitas vezesnão é suficiente para explicar o comportamento coletivode vários sistemas levou ao desenvolvimento denovos conceitos e metodologiasque afetam todos os ramos da ciência exatas, da engenharia, biologia e mesmo ciências humanas.

5. A pesquisa envolvendo os sistemas complexos busca desenvolver novasferramentas que possibilitem entendê-los e descrevê-los. • Novos conceitos • Ferramentas analíticas • Simulações numéricas • Mecânica Estatística fornece ferramentas importantes para estes estudos

6. Mas o que estuda a Mecânica Estatística? A MECÂNICA ESTATÍSTICA estuda, quantitativamente, sistemas com grande número de elementos (ou graus de liberdade), tais como os átomos ou moléculas de um sólido, líquido ou gás. Conexão entre mundo microscópico e macroscópico Embora as leis que governam a interação entre cada par de elementos desses sistemas possam ser bem compreendidas, o grande número de elementos e a complexidade das iterações que se estabelecem entre eles constitui, em geral, um problema de enorme dificuldade.

7. 1. Problema de um corpo ... Sabemoscomo escrever e integraras equações de movimento! Uma bola caindo sob o efeito da gravidade Esquecendo do movimento da Terra ... m << MT

8. Também sabemos resolver o problema de dois corpos.... No referencial do CM, movimento se dá de forma que o momento e o momento angular do corpo 1, são iguais e opostos aos do corpo 2. Leis de conservação Conservação de momento + conservação de momento angular O problema fica reduzido ao problema de um corpo...

9. A estratégia falha porque não temos mais constantes de movimento ! 3 corpos? Até hoje não existe uma “forma fechada” para o problema de 3 corpos.

10. Probabilidades Mecânica MECÂNICA ESTATÍSTICA E se temos 1023 partículas? Esse número é tão grande que não dá nem para imaginar escrevermos a equação de movimentopara cada partícula. Mesmo que o fizéssemos,Ninguém interpretaria o resultado! • Contribuições de Clausius, Maxwell, Boltzmann, Gibbs, Plank e muitos outros mostraram que éexatamente o número enorme de partículasdesses sistemas que permite grandes simplificações , possibilitando um tratamento estatístico.

11. Termodinâmica Grandezas Microscópicas Grandezas macroscópicas, como pressão, temperatura ou magnetização. ? Médias : precisamos da “função de distribuição” Idade média dos alunos desse auditório (a) somar todas as idades e dividir pelo número total de alunos (complicado se temos muitos alunos). (b) se conhecemos a “distribuição de idades, isso é, quantos alunos tem “x” anos (mais fácil se N é muito grande)

12. Probabilidade de um aluno ter idade k Se soubermos calcular essas probabilidades, podemos calcular as médias!

13. Duas partículas com energia E0 Energia total = 2 E0 Duas partículas, com energias 2E0 e 0 Energia total = 2 E0 HIPÓTESE FUNDAMENTAL DA MECÂNICA ESTATÍSTICA um sistema tem a mesma probabilidade de estar em qualquer uma de suas configurações microscópicas. Em sistemas macroscópicos medimos, por exemplo, a sua energia total. Vamos supor um sistema de 2 partículas, que podem ter 3 energias diferentes, 0, E0e 2E0

14. Situação A - uma configuração Situação B - duas configurações (distinguíveis)

15. A teoria e as ferramentas matemáticas desenvolvidas através da Mecânica Estatística, para estudo de sistemas tipicamente “físicos” (sólidos, gases, etc) • tem sido importantes para o estudo dos chamados sistemas complexos • Modelagem e simulação numérica: Autômatos celulares, monte carlo, algoritmos genéticos • Análise de séries temporais • Fractais • Teoria da percolação, caminhadas aleatórias • Fenômenos críticos É mais do que um conjunto de técnicas. É uma maneira de olhar para o problema, típica da física.

16. Alguns Exemplos • Neurônios no cérebro; • Problemas de tráfico; • Estratégia de busca e escolha; • Funcionamento do sistema imunológico; • Robótica e inteligência artificial; • Economia e mercado financeiro • Sincronização de vaga-lumes • Dinâmica de Terremotos • Avalanches • Teoria da evolução / envelhecimento • Crescimento urbano • Abertura dos estomatos • Proteínas • Opiniões/ crenças / decisões • etc...

17. Só vale a pena ir se não estiver muito cheio... Como saber com antecedência? Como cada um decide? “El Farol” “El Farol” é o nome de um bar que toda quinta-feira toca musica irlandesa. A questão é: ir ou não ao bar? • Melhor horário para voltar de um feriado prolongado... • Que ações comprar ou vender...

18. O problema não é trivial porque a melhor decisão não pode ser deduzida logicamente das informações (série temporal), e depende da decisão dos outros . Se todos tem uma estratégia de decisão perfeita” ela falha !!! O que esperar do comportamento coletivo dos possíveis “fregueses”? Sempre os mesmos vão? O bar hora está cheio, hora está vazio? De que modo isso depende das estratégias de escolha individuais? Flutua em torno da média (50)? Você tem que evoluir sempre e ser criativo para continuar no jogo !!! Indução em vez de dedução

19. Cada pessoa decide baseada em informações sobre o que ocorreu nas semanas anteriores: 44, 78, 56, 15, 23, 67, 84, 34, 45, 76, 40, 56, 23, 35 .... MODELO Público possível = 100 pessoas Lotação máxima = 60 pessoas • Estratégias de escolha: • mesmo da última semana (= 35) • média das últimas 4 semanas (= 39) • reflexão especular em torno de 50 ( = 65) • mesmo que há duas semanas ( = 23) Todos atualizam suas estratégias de escolha, mantendo a que mais funcionou

20. Resultados Desde que as regras não sejam todas iguais (ou muito óbvias)... • O sistema se auto-ajusta, de forma que existe uma flutuação limite em torno do número máximo de pessoas (60, no caso). • A flutuação é “caótica”.

21. O processo de mutação / seleção natural “seleciona” o envelhecimento como uma característica boa para a espécie Existem seres vivos que não envelhecem (menos evoluídos) Associado às (melhores) estratégias de sobrevivência Porque envelhecemos? Problemas nas células, defeitos etc... Teorias evolucionárias

22. Taxa de mortalidade: M(x) fração de indivíduos que morrem entre a idade x e x+1 Tabelas Atuariais Taxa de sobrevivência S(x) % de indivíduos na idade x Se a população envelhece, a taxa de mortalidade varia com a idade. Tabela de vida da população brasileira, 1998 Fonte: IBGE Como quantificar o envelhecimento?

23. Curvas de mortalidade Brasil e Estados Unidos

24. curva de sobrevivência sem envelhecimento com envelhecimento Modelos de simulação numérica mostraram que o fator decisivo para o envelhecimentoé adiminuição do efeito de seleção naturalcom a idade,que é conseqüência da idade do início (e fim) da reprodução.

25. Movimento Browniano e caminhadas aleatórias Problemas de difusão Estratégias de Busca

26. Se dou 25 passos, em média me afasto 5 passos do ponto de partida. Para dobrar a distância (10), tenho que quadruplicar o número de passos (100) Caminhada aleatória não é um processo muito eficiente de se afastar de um ponto !

27. Vôo de Levy Random walk Vôos de Levy Caminhada aleatória onde os passos variam de tamanho

28. muitos animais em sua estratégia de busca por comida Usam vôos de Levy Esta estratégia parece otimizar diversos fatores (tempo, energia gasta, etc...) Como buscar alvos distribuidos aleatóriamente ? Outras aplicações: Crescimento urbano Estratégias de busca em geral ...