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Números Complexos. Profª .: Juliana Santos. Aula 1: Números complexos: uma abordagem histórica Introdução aos números complexos Forma algébrica dos números complexos Aula 2: Os números complexos e sua representação geométrica Conjugado do número complexo Divisão de números complexos
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Números Complexos Profª.: Juliana Santos
Aula 1: • Números complexos: uma abordagem histórica • Introdução aos números complexos • Forma algébrica dos números complexos • Aula 2: • Os números complexos e sua representação geométrica • Conjugado do número complexo • Divisão de números complexos • Aula 3: • Módulo de um número complexo • Forma trigonométrica dos números complexos • Aula 4: • Multiplicação e divisão de números complexos na forma trigonométrica • Aula 5: • Potenciação e radiciação de complexos na forma trigonométrica Conteúdo Programático
AULA 1 • Números Complexos – Uma Abordagem Histórica Aos números complexos é atribuído grande esforço e “tortura mental” (como disse GirolamoCardano) dos maiores matemáticos da história. A primeira vez que alguém se deparou com problemas que envolviam números complexos foi por volta do século I d.C.. Desde então, matemáticos como Cardano (1501-1576), Tartaglia (1499/1500-1575), Del Ferro (1465-1526), Bombelli (1526-1572), Euler (1707-1783), Gauss (1777-1855), dentre outros, aperfeiçoaram bastante o conceito e o estudo em torno dos complexos. E, no entanto, até hoje, existem ainda muitas questões em aberto.
Introdução aos Números Complexos Vamos tratar inicialmente um número complexo como sendo um par ordenado (a,b). A partir daí, podemos utilizar as seguintes propriedades: • IGUALDADE: (a,b) = (c,d) a=b e c=d • ADIÇÃO: (a,b) + (c,d) (a+c , b+d) • MULTIPLICAÇÃO: (a,b)(c,d) (ac – bd , bc + ad) Exemplos: • (x, -2) = (1, y) x = 1 e y = -2 • (3, -8) + (-1, 7) (3-1 , -8+7) (2, -1) • (0, 5)(3, -2) [ 0.5 – 5.(-2) , 5.3 + 0.(-2) ] (-10, 15)
Forma Trigonométrica dos Números Complexos Existem muitas maneiras de definir o conjunto ℭ (o conjunto dos números complexos), onde estão definidas operações de adição e de multiplicação. Além disso, é importante saber que os números reais também estão incluídos em ℭ, e: • Existe um número complexo i com i2 = -1. • Todo número complexo pode ser escrito de uma maneira única na forma a + bi, onde a e b são reais (a é chamado parte reale b é chamado parte imagináriado complexo a + bi). Assim: z = a + bi
Usando as propriedades que vimos anteriormente, podemos operar com complexos de maneira análoga à que operamos com reais, com o cuidado de tomar i2 = -1. Exemplos: • (5 + 3i) + (8 + 5i) = 5 + 8 + (3 + 5)i = 13 + 8i • (7 + 2i)(4 – 3i) = 7(4 – 3i) + 2i(4 – 3i) = 28 – 21i + 8 – 6i2 = 28 + 6 + (-21 + 8)i = 34 – 13i • (6 + 7i) – (4 + 2i) + (1 – 10i) = 6 – 4 + (7 – 2)i + (1 – 10i) = (2 + 5i) + (1 – 10i) = 2 + 1 + (5 – 10)i = 3 – 5i • (5 + 4i)(1 – i) + (2 + i)i = 5(1 – i) + 4i(1 – i) + (2.i + i.i) = (5 – 5i + 4i – 4i2) + (2i + i2) = (9 – i) + (-1 + 2i) = 9 – 1 + (-1 + 2)i = 8 + i
Uma observação importante! Já sabemos que i² = -1. Dessa forma, temos que: i¹ = i i² = -1 i³ = i².i = (-1).i = -i i4 = (i²)² = (-1)² = 1 i5 = i4.i = 1.i = i ... Logo, para potências maiores do que i², como a 4ª potência, os resultados começam a se repetir, então dividimos o valor da potência por 4 e elevamos i ao resto da divisão. Exemplo: i74 = i² = -1 74 4 34 18 2
AULA 2 • Os Números Complexos e sua Representação Geométrica Da definição adotada, ocorre que podemos pensar no número complexo z = a + bi como o ponto (a, b) no plano cartesiano cujas coordenadas a e b são exatamente como as coordenadas x e y do plano. Exemplo: z = 1 + 2i Onde a corresponde a x e b corresponde a y.
Conjugado de um Número Complexo Seja o número complexo z = a + bi. Temos que o seu conjugado é dado por . Ou, na forma de par ordenado: se z = (a, bi), então Exemplos: z = a – bi z = (a, –bi) . z = a – bi = (a, –bi) z = a – bi z = (a, –bi)
O conjugado de z também pode ser representado geometricamente no plano. Exemplos: Seja z = 1 + 2i. Logo, z = 1 – 2i
Divisão de Números Complexos A partir do estudo do conjugado de z, agora é possível efetuar divisões entre dois números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di, tal que z2 ≠ 0. Isto é, para calcular basta multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Exemplo: Dados os complexos z1 = 1 + i e z2 = 1 – i , efetuar : • Solução:
AULA 3 • Módulo de um Número Complexo Dado um número complexo z = a + bi, chama-se módulo de z(|z|) ao número real não negativo: Geometricamente, |z| mede a distância de 0 a z, ou seja, mede o módulo do vetor que representa o complexo z.
Forma Trigonométrica dos Números Complexos Vimos que um número complexo pode ser pensado como um ponto do plano de coordenadas (a, b) ou como um vetor , de origem O e extremidade (a, b). A representação z = a + bi dá ênfase às coordenadas do ponto z. Uma representação que dá ênfase aos elementos geométricos do vetor é obtida do seguinte modo: Indiquemos por o comprimento de que suporemos diferente de zero e por θ o ângulo positivo xOz, que também é chamado argumento de z (arg(z)).
Então temos e Como r = |z| , vem: e Isto é, z = a + bi = r . cosθ + r . senθ . i ou z = |z| . (cos θ + i . sen θ) que é chamada forma trigonométrica dos números complexos.
Uma observação importante! Os números complexos na sua forma trigonométrica também têm sua representação geométrica no plano. Exemplo: √3 1
AULA 4 • Multiplicação e Divisão de Complexos na Forma Trigonométrica Se z1 = |z1|.(cosθ1 + i.senθ1) e z2 = |z2|.(cosθ2 + i.senθ2) são as formas trigonométricas dos complexos z1 e z2, então:
AULA 5 • Potenciação e Radiciação de Complexos na Forma Trigonométrica Se z = |z|.(cosθ + i.senθ) é a forma trigonométrica do número complexo z e n € , então: Exemplo: Calcular z³ , sendo • Solução:
Se z = |z|.(cosθ + i.senθ) é a forma trigonométrica do número complexo z, então existem n raízes enésimas de z que são da forma: Exemplos: Calcular as raízes cúbicas de 8. • Solução: Temos que z = 8 , então |z| = 8 e θ = 0 . Pela fórmula dada, vem: , então k= 0, 1 e 2
