MATEMATIKA I MATRIX DAN DETERMINAN

1. MATEMATIKA IMATRIX DAN DETERMINAN RETNO ANGGRAINI

2. Definisi Matrix • Matrix adalah kumpulan angka yang disusun berdasarkan baris dan kolom 1 3 5 2 4 6 • Ordo Matrix adalah ukuran matrix yang menunjukkan jumlah baris dan jumlah kolom Contoh : {A} dgn ordo 2x3 = memiliki 2 baris dan 3 kolom } {

3. OPERASIONAL MATRIX • PENJUMLAHAN MATRIX : {A} +{B} yaitu penjumlahan antar dua atau lebih matrix dgn ordo matrix yg sama • PENGURANGAN MATRIX : {A}-{B} yaitu penguranan antar dua atau lebih matrix dgn ordo matrix yg sama • PERKALIAN MATRIX 1. Dengan skalar : n.{A} 2. Antar Matrix : {A}.{B}

4. Membentuk matrix • Contoh dlm Sistem Persamaan linear 20 x1 + 3 x2 = 3 10 x1 - 5 x2 = 5 maka dapat dibentuk matrix 20 3 x1 3 10 -5 x2 5 { } { } { } =

5. ILMU HITUNG MATRIX • Penjumlahan Matrix {A}+{B} = {C} • Pengurangan Matrix {A} – {B} = {C} • Perkalian Matrix dengan skalar n.{A} = {nA)} • Perkalian antar matrix {A}x{B} = {C}

6. SIFAT PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN MATRIX • {A} + {B} = {B} + {A} • {A} + ({B}+{C}) = ([A}+{B}) + {C} • {A} + 0 = {A} • {A} + {-A} = 0 • {A} – {B} ≠ {B} – {A} • {A} - ({B}-{C}) ≠ ([A}-{B}) - {C} • {A} - 0 = {A}

7. MATRIX KHUSUS • Matrix segitiga a. Segitiga Atas b. Segitiga Bawah • Matrix Diagonal • Matrix Identitas { } • 2 3 • 0 1 4 • 0 0 5 { } • 0 0 • 1 0 • 2 0 { } • 0 0 • 0 5 0 • 0 0 4 } { • 0 0 • 0 1 0 • 0 0 1

8. PERKALIAN SKALAR c({A}+{B}) = c{A} + c{B} (c+k) {A} = c{A} + k{A} c(k{A}) = (ck) {A} {I} {A} = {A} PERKALIAN MATRIX (k{A}){B} = k (AB) = A (kB) A(BC) = (AB) C (A+B) C = AC + BC C (A+B) = CA + CB AB ≠ BA AB = 0 bukan berarti A atau B atau keduanya = 0 SIFAT PERKALIAN MATRIX

9. TRANSPOSE MATRIX • Tranpose matrix adalah penukaran posisi pada matrix. Baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris {A} bxk : {A}T = {A} kxb Contoh : { } { } • 2 3 • 4 6 • 5 7 • 2 3 • 4 5 • 6 7 { A }T {A} = =

10. SIFAT TRANSPOSE MATRIX • (A+B)T = AT + BT • (AT)T = A • l (A)T = (lA)T • (AB)T =BT AT

11. INVERS MATRIX • Invers matrix adalah kebalikan dari suatu matrix • Disimbolkan {A}-1 = • Dimana {A}-1 = {adjoin} 1 A 1 Det

12. Determinan merupakan besaran skalar yang berhubungan dengan matrix Disimbolkan det{A) atau IAI Matrix ordo 2x2 {A} = { } det{A} = ad – bc Matrix ordo 3x3 {A} = { } det{A} = I I dgn ke kanan + kekiri - DETERMINAN a b c d a b c d e f g h i a b c d e f g h i a b d e g h

13. CONTOH DETERMINAN

14. METODE PERHITUNGAN DETERMINAN • MATRIX ORDO 2X2 ad - bc • MATRIX ORDO 3X3 aturan sarrus : perkalian menyilang. Dgn pemberian tanda arah kekanan (+) arah kekiri (-) • MATRIX ORDO NXN - Ekspansi Baris - Ekspansi Kolom

15. Ekspansi Baris • Mereduksi salah satu baris untuk memperkecil ordo matrix, guna menentukan matrix minor dan menghitung determinan dari matrix • Contoh reduksi baris Mereduksi baris pertama Untuk kemudian dijadikan Pivot untuk perhitungan determinan { } { } • 3 4 • 5 6 • 6 8 • 5 6 • 6 8 { } Mereduksi baris kedua Untuk kemudian dijadikan Pivot untuk perhitungan determinan { } • 3 4 • 5 6 • 6 8 • 2 3 4 • 6 8

16. Determinan dgn Metode Ekspansi Kolom { } a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 • Jika suatu matrix {A} = • Maka Determinan dari matrix {A} dengan reduksi kolom pertama adalah : IAI = ∑ aji.(-1)i+j Aji dimana : aji nilai matrix pada posisi ij yang direduksi Aji matrix yang telah terduksi

17. Contoh

18. Ekspansi Kolom • Mereduksi salah satu kolom untuk memperkecil ordo matrix, guna menentukan matrix minor dan menghitung determinan dari matrix • Contoh reduksi kolom } Mereduksi kolom ketiga Untuk kemudian dijadikan Pivot untuk perhitungan determinan { { } • 3 • 5 • 6 • 3 4 • 5 6 • 6 8 { } Mereduksi kolom pertama Untuk kemudian dijadikan Pivot untuk perhitungan determinan • 4 • 6 • 8 { } • 3 4 • 5 6 • 6 8

19. Determinan dgn Metode Ekspansi Baris { } a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 • Jika suatu matrix {A} = • Maka Determinan dari matrix {A} dengan reduksi baris pertama adalah : IAI = ∑ aij.(-1)i+j Aij dimana : aij nilai matrix pada posisi ij yang direduksi Aij matrix yang telah terduksi { A } =

20. Contoh

21. SIFAT SIFAT DETERMINAN • Harga determinan akan tetap walaupun posisi matrix berubah baris menjadi kolom atau kolom menjadi baris (Transpose matrix) • Jika dua baris atau kolom di tukarkan tempatnya maka nilainya menjadi (-) • Jika ada dua baris/kolom yang identik maka harga determinannya akan = 0 • Jika elemen salah satu baris atau kolom semua dikalikan dengan faktor yang sama maka nilai determinanya pun akan dikalikan dgn faktor yang sama pula • Jika elemen salah satu baris/kolom ditambah/dikurangi dgn kelipatan elemen baris atau kolom lain maka nilai determinannya akan tetap

22. ADJOIN MATRIX BUJUR SANGKAR • Matrix yang berkenaan dengan perhitungan invers matrix • Langkah pembentukan adjoint matrix 1.Membentuk matrix Kofaktor {C} 2. Mentranspose matrix kofaktor {C}T { } A11 A12 A13 A21 A22 A32 A31 A32 A33 {C} = { } A11 A21 A31 A12 A22 A32 A13 A23 A33 {C}T =

23. Contoh

24. INVERS MATRIX • Merupakan kebalikan dari matrix Invers Matrix = {A}-1 = • Pembentukan Invers Matrix 1. Hitung determinan A = IAI 2. Bentuk matrix C yg elemenya adalah kofaktor elemen IAI 3. Bentuk Transpose matrix C = {C}T 4. Membagi dgn determinan A = IAI 5. Akan terbentuk invers matrix 1 det {adjoin}

25. Contoh