Determinan

1. Determinan

2. Determinan Setiap matriks bujur sangkar A yang berukuran (nxn) dapat dikaitkan dengan suatu skalar yang disebut determinan matriks tersebut dan ditulis dengan det(A) atau |A|. Untuk menghitung determinan ordo n terlebih dahulu diberikan cara menghitung determinan ordo 2

3. Menghitung determinan Hitunglah determinan matriks berikut ini: Det(A) = (3) (-2) – (1)(4) = -10 Det(B) = (1)(4) – (2)(2) = 0 Det(C) = tidakdidefinisikan A = B = C =

4. Aturan Sarrus A1 = Det(A1) = (a11.a22) – (a12.a21) A2 = Det(A2) = a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32 – (a13.a22.a31 + a11.a23.a32 + a12.a21.a33) + - a11 a12 a21 a22 a31 a32 + + + - - -

5. AturanSarrus (lanjt) Det(M) = 3.-2 – (1.4) = -10 3 2 1 2 4 4 Det(K) = 3.2.5+2.3.4+2.1.4- (2.2.4 + 3.3.4 + 2.1.5) = 30 + 24 +8 – (16+36+10) = 62 – 62 = 0 + - - + + - • M = • K = • Pertanyaan: Apakah metodediatas dapat diterapkan pada matriks 4x4, 5x5 dst?

6. Menghitungdeterminandengankofaktor Untuk keperluan menghitung ordo n dengan n≥3 perlu lebih dahulu definisikan pengertian minor dan kofaktor sbb : Minor Mij adalah determinan matriks A dihapus baris ke i kolom ke j. Kofaktor C13 adalah (-1)i+j Mij a11 a12…….a1j ……a1n a21 a22 ……a2j…….a2n : : : : ai1 ai2 ……aij…….. ain : : : : an1 an2……anj……. ann A = a11 a12…….a1j ……a1n a21 a22 ……a2j…….a2n : : : : ai1 ai2 ……aij…….. ain : : : : an1 an2……anj……. ann Mij= det Cij =(-1)i+j Mij

7. Definisi determinan matriks dengan kofaktor a11 a12…….a1j ……a1n a21 a22 ……a2j…….a2n : : : : ai1 ai2 ……aij…….. ain : : : : an1 an2……anj……. ann A= Mijdet matriks yang diperoleh dengan menghapus baris ke i kolom ke j matriks A. Cij=(-1)i+jMij Definisi: Determinan matriks A (dengan ekspansi baris ke i, atau ekspansi kolom ke j)adalah : Det(A) = =

8. Contoh: Minor dan kofaktor Minor Mij adalah determinan matriks A dihapus baris ke i kolom ke j. Kofaktor C13 adalah (-1)i+j Mij a21a22 a31a32 A = M13 = det C13 = (-1)1+3M13 a21a22 a31a32 A = M13 = det C13 = (-1)1+3M13 Cij = (-1)i+jMij

9. Contoh: 2 0 4 5 M11= Det = 10 C11= (-1)1+1 10 = 10 3 0 0 1 2 0 4 4 5 1 0 4 5 M12= C12= (-1)1+2 5 = -5 Det = 5 1 2 4 4 M13= Det = -4 C13= (-1)1+3 -4 = -4 + - + - + - + - + C21= ? 0 ? C22= 15 C23= -12 ? ? 0 C31= 0 C32= ? ? C33= 6 • Hitunglahsemua minor dankofaktormatriksberikutini:

10. Menghitungdeterminandenganekspansibaris/kolom A = Det(A) = Det(A) = C12 C11 C13 Det(A) = Ekspansi baris pertama Det(A) = Ekspansi baris kedua

11. Menghitungdeterminandenganekspansibaris/kolom A = ekspansi baris pertama Det(A) = = ekspansi baris kedua ekspansi baris ketiga = = ekspansi kolom pertama = ? ? =

12. Contoh: 3 0 0 1 2 0 4 4 5 ada 9 (= 3x3) kofaktor C11= 10 C31= 0 C21= 0 C12= -5 C32= 0 C22= 15 C23= -12 C13= -4 C33= 6 Determinan A dengan ekspansi baris ketiga: Det(A) = 4x0 + 4x0 + 5x6 = 30 Determinan A dengan ekspansi kolom ketiga: Det(A) = 5x6 = 30

13. Determinan matriks 4x4 dengan kofaktor A= M34= det C34=(-1)3+4M34 Ada berapa banyak kofaktor? Ada 16 kofaktor Cij, i, j = 1, 2, 3, 4 Det(A) = ekspansi baris pertama ekspansi ……… = 8 baris ke tiga Ada ……. cara menghitung determinan A dengan kofaktor

14. Menghitungdeterminanmatriks 4x4 dengankofaktor • matriks 4x4berikut: • Ekspansibaris 1:

15. SIFAT - SIFAT DETERMINAN Sifat 1 det(At) = det(A) Contoh : det(A) = 7 det(At) = 7 Sifat 2 Jikamatriks B adalahhasildarimatriks A denganmenukarkanduabarissebarang, maka det(B) = - det(A)

16. Contoh Diberikanmatriks makadet(A) = 6. Jika , makadet(B) = -det(A) = -6.

17. Sifat 3 Jika matriks B diperoleh dari matriks A dengan mengalikan bil.real k dengan satu baris (kolom) dari matriks A, maka det(B) = k.det(A) Contoh: Diberikan matriks dgn det(A) = 6 Jika  det(B) = 2 x det(A) = 2x6 = 12

18. Sifat 4 Jika matriks B diperoleh dari matriks A dgn mengalikan satu baris(kolom) dari A dgn bil.real sebarang kemudian menambahkannya ke baris (kolom) lain, maka det(B) = det(A) Contoh : Diberikan matriks , det(A) = 12. Jika , maka det(B) = det(A) = 12

19. Sifat 5 Jikasuatumatriksterdiridariduabaris (kolom) yang elemen – elemennyasama, makadeterminannyaadalah nol. Contoh Matriksdeterminannya = nol. Sifat 6 Jikasuatumatriksterdiridarisatubaris (kolom) denganelemennol, makadeterminannyaadalah nol.

20. Sifat 7 Jika matriks A=[aij], 1 i  n, 1  j  n, adalah matriks segitiga atas (bawah) maka det(A) = a11.a22. … .ann Contoh : Diberikan matriksmaka det(A) = 1.(-2).2 = -4

21. Sifat 8 Jikamatriks A dan B dapatdikalikan,maka det(AB) = det(A).det(B) Sifat 9 JikamatriksA invertible, maka det(A-1) =

22. Determinan matriks sederhana Matriks diagonal a11 0 …0… 0 0 a22…0 … 0 : : : 0 0 …aij… 0 : : : 0 0… 0 .... ann Det(A) = a11a22a33…ann A= Setiap hasil kali elementer pasti memuat entri dari baris terakhir (yaitu 0), kecuali a11a22a33…ann. Matriks segitiga a11 a12…a1j …a1n 0 a22 …a2j…a2n : : : : 0 0 …aij….ain : : : 0 0… 0 .... ann B= Det(B) = a11a22a33…ann Determinan matriks segitiga sama dengan hasil kali entri diagonal utama.

23. Determinan matriks dengan baris/kolom nol Matriks dengan baris / kolom nol a11 a12…….a1j ……a1n a21 a22 ……a2j…….a2n : : : : ai1 ai2 ……aij…….. ain : : : : 0 0…… 0……. 0 Setiap hasil kali elementer pasti memuat entri dari baris terakhir (yaitu 0). Jadi semua hasil kali elementer adalah nol. A= Det(A) = 0 a11 0…….a1j ……a1n a21 0……a2j…….a2n : : : : ai1 0……aij…….. ain : : : : an1 0……anj……. ann B= Det(B) =0 Pertanyaan: apakah matriks yang tidak mempunyai inverse determinannya no?

24. Contoh : Det(D) =0 Det(B) =0 Det(K) =0 Det(M) =0 Hitunglah dengan cepat nilai determinan matriks berikut ini:

25. Determinan dan operasi baris elementer

26. Pengaruh tukar baris pada nilai determinan R1  R2 Det(A’) = 2 Det(A) = -2 R1  R3 Det(B’) = -45 Det(B) = 45 • menukar dua baris  tanda dari setiap hasil kali elementer bertanda berubah  determinannya (-1) kali determinan semula. X  X’ dengan tukar baris det(X’) = -det(X)

27. Pengaruh perkalian baris dengan skalar pada nilai determinan R2 10 R2 Det(A’) = -20 Det(A) = -2 R3 1/3 R3 Det(B) = 45 Det(B’) = 15 = 1/3 det(B) • satu baris dikalikan dengan konstanta k  setiap hasil kali elementer bertandanya dikalikan k  determinannya adalah k kali determinan matriks semula. X  X’ dengan mengalikan baris dengan k det(X’) = kdet(X)

28. Pengaruh jumlahan baris dengan kelipatan baris lain pada nilai determinan R2 R2 + 2R1 Det(A’) = -2 Det(A) = -2 R2 R2 +1/3 R3 Det(B) = 45 Det(B’) = 45 = det(B) • Penjumlahan baris dengan kelipatan baris yang lain tidak mengubah hasil kali elementer bertanda, jadi nilai determinannya tidak berubah. det(X’) = det(X) X  X’ dengan menjumlahkan brs dengan kelipatan baris lain:

29. Pengaruh operasi baris elementer pada nilai determinan • Kesimpulan: • menukarduabaristandadarisetiaphasil kali elementerbertandaberubahdeterminannya (-1) kali determinansemula. • satubarisdikalikandengankonstanta k setiaphasil kali elementerbertandanyadikalikan k determinannyaadlah k kali determinanmatrikssemula. • Penjumlahanbarisdengankelipatanbaris yang lain tidakmengubahhasil kali elementerbertanda, jadinilaideterminannyatidakberubah.

30. Menghitung determinan dengan operasi baris elementer (OBE) A mempunyai inverse Bentuk ebt A A I r kali tukar baris s kali perkalian baris dengan skalar (k1, k2, k3, …, ks), t kali jumlahkan baris dengan kelipatan baris lain Det(A) Det(I) = 1 Det(I) = (-1)r k1 k2 k3 … ks det(A) A mempunyai inverse maka det(A) ≠ 0 1 = (-1)r k1 k2 k3 … ks det(A) Det(A) = (-1)r / (k1 k2 k3 … ks)

31. 0 0 … 0 Menghitung determinan dengan operasi baris elementer Bentuk ebt A Mempunyai baris nol A TIDAK mempunyai inverse A r kali tukar baris s kali perkalian baris dengan skalar (k1, k2, k3, …, ks), t kali jumlahkan baris dengan kelipatan baris lain Det(A) Det(A’) = 0 Det(A’) = (-1)r k1 k2 k3 … ks det(A) 0 = (-1)r k1 k2 k3 … ks det(A) A TIDAK mempunyai inverse Det(A) = 0

32. Contoh: menghitung determinan dengan operasi baris elementer 1 0 0 0 4 0 0 0 1 0 4 0 1 0 0 0 0 1 0 4 0 0 0 1 1 0 0 B2 = R2 R3 R1 R2 R2 ¼ * R2 • B2 direduksi menjadi matriks identitas dengan • 2 kali tukar baris, • sekali mengalikan dengan konstanta ¼ • Det(B2) = (-1) 2 1/( ¼ ) • = (+1) . 1/(1/4) = 1/( ¼ ) = 4 1 0 0 0 1 0 0 0 1 I

33. Aplikasi determinan: Aturan Cramer Aplikasi determinan untuk menyelesaiakan Sistem Persamaan Linier

34. x1 x2 : xn b1 b2 : bn a11 a12 a13 … a1n a21 a22a23 … a2n : an1 an2an3 … ann Penyajian SPL dengan persamaan matriks a11x1 + a12x2 + a13x3 +… + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 +…+ a2nxn = b2 : an1x1 + an2x2 + an3x3 + …+ annxn = bn SPL matriks koefisien A = x = b = Ax = b

35. x1 x2 : xn b1 b2 : bn a11 a12 …a1j … a1n a21 a22 … a2j … a2n : an1 an2 … anj … ann b1 a12 … a1j … a1n b2 a22 … a2j … a2n : bn an2 … anj … ann a11 a12 … b1 … a1n a21 a22 … b2 … a2n : an1 an2 … bn … ann Aturan Cramer A = x = b = A1 = Penyelesaian SPL: xj = det(Aj)/ det(A) Det(Aj) = j = 1, 2, …, n

36. Contoh: SPL A 1 1 -3 1 1 2 2 -1 -1 1 -1 2 x y z = SPL dalam persamaan matriks Det(A) = 10 1 1 1 2 -1 1 1 -1 -3 1 1 2 1 -1 -1 -3 -1 2 1 1 2 2 1 -1 1 -3 2 A2= A1= A3= Det(A1) = -10 Det(A3) = 10 Det(A2) = -20 X = det(A1)/det(A) =-10/(-10) = 1 y = det(A2)/det(A) =-20/(-10) = 2 z = det(A3)/det(A) = 10/(-10) = -1

37. Kapan Aturan Cramer bisa diterapkan SPL: Ax = b Dengan Aturan Cramer, penyelesaian dapat diperoleh dengan rumus berikut ini j = 1, 2, …, n xj = det(Aj)/ det(A) KapanAturan Cramer bisaditerapkan? Karenamenggunakandeterminanmatrikskoefisiensebagaipembagi, makaAturan Cramer dapatditerapkanjikamatrikskoefisiennyapersegidandeterminannyatidaknol (ataumatrikskoefisienmempunyai inverse.