1 / 20

Determinan

Determinan. Pertemuan 2. Fungsi Determinan. Det(A) = 3(-2) – 1.4 = -10. Det(B) = (45+84+96) – (105+(-48)+(-72)) = 240. Landasan Teori Determinan. Permutasi. Perhatikan himpunan integer { 1, 2, 3, …, n }.

lotte
Download Presentation

Determinan

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Determinan Pertemuan 2

  2. Fungsi Determinan Det(A) = 3(-2)– 1.4 = -10 Det(B) = (45+84+96)– (105+(-48)+(-72)) = 240

  3. LandasanTeoriDeterminan

  4. Permutasi Perhatikan himpunan integer { 1, 2, 3, …, n }. Susunan ke-n integer ini dengan urutan tertentu (tidak ada integer yang dihapus dan tidak ada integer yang diulang) disebut permutasi. Contoh: himpunan S = { 1, 2, 3, 4}; ada 24 permutasi dari S (1, 2, 3, 4) (2, 1, 3, 4) (3, 1, 2, 4) (4, 1, 2, 3) (1, 2, 4, 3) (2, 1, 4, 3) (3, 1, 4, 2) (4, 1, 3, 2) (1, 3, 2, 4) (2, 3, 1, 4) (3, 2, 1, 4) (4, 2, 1, 3) (1, 3, 4, 2) (2, 3, 4, 1) (3, 2, 4, 1) (4, 2, 3, 1) (1, 4, 2, 3) (2, 4, 1, 3) (3, 4, 1, 2) (4, 3, 1, 2) (1, 4, 2, 3) (2, 4, 3, 1) (3, 4, 2, 1) (4, 3, 2, 1)

  5. Pohon Permutasi contoh pohon dengan “akar” integer 1 1 3 4 2 3 4 2 4 2 3 4 3 4 2 3 2

  6. Permutasi himpunan integer {1, 2, 3, …, n}: Susunan elemen-elemen integer ini dengan urutan tertentu; tidak ada integer yang dihapus dan tidak ada integer yang diulang (j1, j2, j3, …, jn) Inversi dalam permutasi (j1, j2, j3, …, jn) terjadi jika integer yang lebih besar mendahului integer yang lebih kecil. Contoh: dalam urutan (4, 2, 1, 3) terdapat 4 inversi: 4 > 2, 4 > 1, 4 > 3, 2 > 1 Suatu inversi disebutgenapjika banyaknya inversidalam urutan genap, dan disebutgasaljika banyaknya inversi dalam urutan adalah gasal. Dalam contoh di atas inversinya adalah genap.

  7. Hasil kali elementer (elementary product): Dalam sebuah matriks A (n x n) yang disebut perkalian elementer a1a2a3 ……………an j1 j2 j3 jn Catatan:indeks baris : selalu urut 1, 2, 3, …, n indeks kolom: urutan permutasi j1, j2, j3, …, jn • Hasil kali elementer bertanda (signed elementary product): • Jika (j1, j2, j3, …, jn) merupakan inversi • genap, maka perkalian elementer adalah positif • gasal, maka perkalian elementer adalah negatif

  8. Definisi (formal) DETERMINAN: Determinan dari matriks bujursangkar A berorde n adalah jumlah dari semua permutasi n (n!) hasil kali bertanda dari elemen-elemen matriks tersebut. Matriks A (n x n). Fungsi determinan, dinotasikan det(A), adalah jumlahsemua hasil kali elementer bertanda. Contoh: A (3 x 3); jumlah semua hasil kali elementer bertanda adalah jumlah dari semua elemen berikut ini: + a11a22a33 – a11a23a32 + a12a23a31 – a12a21a33 + a13a21a32 – a13a22a31

  9. Bandingkan dengan cara perhitungan “non-formal”nya: a11a12a13 a11a12a13 A = a21a22a23 a21a22a23 a31a32a33 a31a32a33 + a11a22a33 (inversi =0)– a11a23a32 (inversi =1) + a12a23a31 (inversi =2)– a12a21a33 (inversi =1) + a13a21a32 (inversi =2)– a13a22a31 (inversi =3)

  10. review: • Menghitung det(A) di mana A matriks (2x2) atau (3x3) cukup mudah. • Menghitung det(A) di mana A matriks (nxn) untuk semua n  2 secara umum dilakukan dengan menjumlahkan semua hasil kali elementer bertanda dari matriks A. • Cara lain untuk menghitung det(A) di mana A(nxn) adalah dengan Reduksi Baris ( Operasi Baris Elementer ). • Matriks A diubah menjadi matriks segi-3 atas (segi-3 bawah), matriks segi-3 ini disebut A’. • Det(A) = det(A’) = hasil kali semua entri diagonal utama matriks A’.

  11. Teorema: • Bila A(n x n) matriks segitiga atas/bawah, maka Det(A) adalah hasil kali dari elemen-elemen diagonal utama. • Contoh: • Bukti: Det(A) = 2(-3) 6 = -36

  12. Secara umum: untuk A(3 x 3) a11a12a13 a11a12a13 A = 0a22a23 0a22a23 0 0a33 00a33 diagonal utama + a11a22a33  0– a11a23a32 + a12a23a31 – a12a21a33 + a13a21a32 – a13a22a31

  13. Teorema • Matriks A (n x n), terhadap A dilakukan OBE • Bila B berasaldarimatriks A yang salahsatubarisnyadikalikandenganskalar k, makadet(B) = k x det(A) • Bila B berasaldarimatriks A denganmenukarduabarisnya, makadet(B) = – det(A) • Bila B berasaldarimatriks A denganmenambahkankelipatansalahsatubaris A padabaris lain, makadet(B) = det(A)

  14. Teorema • Det(A) = Det(AT) • Det(A) = 0 bila • Ada 2 baris / 2 kolom yang sebanding • Adasatubaris-nol / satukolom-nol • Jika A dan B matriksbujursangkarberukuransama, makadet(AB) = det(A) det(B) • Jika A, B, C matriksbujursangkarberukuransama, danbariske-rmatriks C didapatdaripenjumlahanbariske-rmatriks A danbariske-rmatriks B, makadet(C) = det(A) + det(B) • “idem” untukkolom

  15. Terminologi: A matriks (3 x 3) a11a12a13 A = a21a22a23 a31a32a33 Minor (aij) disingkat Mij:determinandari sub-matriks yang tersisa jika baris-i dan kolom-j dihapus dari matriks A Cofactor (aij) disingkat Cij : ( –1 )i+j Mij

  16. Cofactor (aij) disingkat Cij : ( –1 )i+j Mij Adjoint(A) disingkat adj(A): Matriks yang terbentuk dari cofactors A C11 C12 C13 C21 C22 C23 C31C32 C33

  17. METODE EKSPANSI MINOR dan KOFAKTOR • Andaikan ada sebuah determinan dengan orde ke-n maka yang dimaksud dengan MINOR unsur aij adalah determinan yang berasal dari determinan orde ke-n tadi dikurangi dengan baris ke-I dan kolom ke-j. MakaMINORunsur a33 adalah minor baris ke-3 kolom ke-2 Sedangkan yang dimaksuddenganKOFAKTORsuatuunsurdeterminanaijadalah Maka KOFAKTOR unsur

  18. Contoh : Minor Kofaktor

  19. Teorema Laplace • A matriks (nxn). • Det(A)dapatdihitungdenganekspansicofactorsepanjangsalahsatubaris, atausepanjangsalahsatukolomdari A.(“Determinandarisuatumatrikssamadenganjumlahperkalianelemen-elemendarisembarangbarisataukolomdengankofaktor-kofaktornya”.) • Ekspansisepanjangbaris-i: • Det (A) = ai1Ci1 + ai2Ci2 + … + ainCin • Ekspansisepanjangkolom-j: • Det (A) = a1jC1j + a2jC2j + … + anjCnj

  20. Contoh

More Related