Lógica Matemática

1. Lógica Matemática Introdução

2. A que a palavra Lógica te remete??

3. Lógica Formal • Inúmeras definições; • Essencialmente iguais; • Consenso, “Leis gerais do Pensamento” • Aplicação correta dessas leis na investigação da verdade.

4. Origem • Na Grécia Antiga, 342 a.C, o filósofo Aristóteles sistematizou o conhecimento existente em Lógica, elevando-o à categoria de ciência. • Em sua obra chamada Organum (“ferramenta para o correto pensar”), estabeleceu princípios tão gerais e tão sólidos que até hoje são considerados válidos.

5. Definição • A Lógica tem, por objeto de estudo, as leis gerais do pensamento, e as formas de aplicar essas leis corretamente na investigação da verdade.

6. Proposição • Uma proposição é uma declaração (afirmativa ou negativa) que exprime um pensamento de sentido completo. • Uma proposição pode ser verdadeira, cujo valor lógico é V; • Ou uma proposição pode ser falsa, cujo valor lógico atribuído é F

7. Exemplo 1 • “Sete mais dois é igual a nove” • É uma declaração (afirmativa) • Logo é uma proposição. Valor lógico V

8. Exemplo 2 • Belém não é a capital do Brasil; • É uma declaração negativa • Logo é uma proposição Valor Lógico V

9. Exemplo 3 • O dobro de cinco é 10? • É uma pergunta, não uma declaração • Logo não é proposição • Portanto não podemos atribuir valor lógico V ou F

10. Praticando • Construa em seu caderno: • Um exemplo de proposição com valor lógico V • Um exemplo de proposição com valor lógico F • Um exemplo que não possa ser classificado como uma proposição.

11. Princípios Fundamentais • Princípio da Identidade: Todo objeto é idêntico a si mesmo. • · Princípio da Não Contradição: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. • · Princípio do Terceiro Excluído: Todo proposição ou é verdadeira ou é falsa, ou seja, verifica-se sempre um desses casos, nunca um terceiro.

12. Proposição Simples (Atômica) • Como o próprio nome diz, é uma proposição única, isolada. • Podemos considerá-las como frases formadas por apenas uma oração que exprime apenas um fato. • Representaremos as proposições simples por letras latinas minúsculas (p, q, r, s)

13. Exemplo de Prop. Simples • Tiradentes foi enforcado (p) • eu sou estudioso (q) • 3 + 4 > 12 (r) • O número 25 é um quadrado perfeito (s)

14. Proposição Composta • Uma proposição é dita composta quando for formada por duas ou mais proposições ligadas entre sí por conectivos operacionais. • Podemos considerá-las como um período composto de várias orações. • Indicaremos as proposições compostas por letras latinas maiúsculas

15. Exemplo • Paulo é estudioso e Maria é bonita. P é a composta das proposições simples p: Paulo é estudioso e q: Maria é bonita.

16. Exemplo • Jorge é careca e Pedro é Estudante. • Um número é par ou um número é impar • Se um número é par, então é divisível por 2

17. Praticando • Construa em seu caderno 3 exemplos de: • Proposição Simples • Proposição Composta

18. Exercícios 1) Determine o valor lógico (V ou F) de cada uma das sentenças: • O número 17 é primo. • Fortaleza é capital do Maranhão • TIRADENTES morreu afogado • (3 + 5)2 = 32 + 52 • - 1 < - 7

19. Conectivos Lógicos • Chamamos conectivos ou operadores lógicos a qualquer palavra ou símbolo que se usa para formar novas proposições compostas a partir de outras proposições simples. • São conectivos usuais em lógica matemática e, ou, não, se, então, se e somente se.

20. Operadores Lógicos • O operador nãoé unário e os outros, binários, isto é ligam duas proposições para formar uma proposição composta.

21. Operações Lógicas sobre Proposições • À partir dos conectivos lógicos pode-se definir operações fundamentais entre proposições. Tais operações obedecem às regras do cálculo proposicional.

22. Negação • Chama-se negação de uma proposição p a proposição representada por “não p” , cujo valor lógico é verdadeiro (V) quando p é falsa e falso (F) quando p é verdadeira. Simbolicamente:~p Lê-se: “não p” ~V=F ~F=V

23. Na linguagem comum a negação efetua-se, nos casos mais simples, antepondo o advérbio “não” ao verbo da proposição dada. • p: O Sol é uma estrela • ~p: O Sol não é uma estrela • p:Pedro é mecânico • ~p:Não é verdade que Pedro é mecânico Ou • ~p: É falso que Pedro é mecânico

24. Observe que: • “Todos os homens são elegantes” a negação pode ser: • “Nem todos os homens são elegantes”.

25. “Nenhum homem é elegante” a negação pode ser: • “algum homem é elegante”

26. Conjunção () • Uma proposição que constitui-se de duas proposições ligadas por “e” denomina-se conjunção. • O valor lógico de uma proposição é verdadeiro se as proposições simples p e q que a compõe são verdadeiras. Nos demais casos é falso. • Simbólicamente: “pq” • Lê-se: “p e q”

27. Simbolicamente: p^q

28. Exemplos p: A neve é branca (V) q: 2<5 (V) p^q= A neve é branca e 2<5 (V) p: O enxofre é verde (F) q: 7 é um número primo (V) p^q=O enxofre é verde e 7 é um número primo (V)

29. p: CANTOR nasceu na Rússia (V) q: FERMAT era médico (F) p^q= CANTOR nasceu na Rússia e FERMAT era médico (F) p:  > 4 (F) q: sen  /3 = 0 (F) p^q=  > 4 e sen  /3 = 0 (F)

30. Exercícios • Sejam as proposições p: Está frio e q:Está chovendo. Faça a tradução para a linguagem corrente das seguintes proposições: • ~p • p^q • ~p^q • p^~q • ~p^~q

31. 2) Sejam as proposições p: Cláudio fala inglês e q:Cláudio fala alemão.Faça a tradução para a linguagem corrente das seguintes proposições: • ~p • p^q • ~p^q • p^~q • ~p^~q

32. 3) Sejam as proposições p: Marcos é alto q: Marcos é elegante . Faça a tradução para a linguagem simbólica das seguintes proposições: • Marcos é alto e elegante • Marcos é alto, mas não é elegante • Marcos não é alto nem elegante

33. Disjunção () • Chama-se disjunção uma proposição composta por duas proposições p e q. O valor lógico de uma disjunção é verdadeiro se ao menos uma das proposições simples p e q que a compõe é verdadeiro, e falso se ambas as proposições são falsas. • Simbólicamente: “pq” • Lê-se: “p ou q”

34. Simbolicamente: pq

35. Exemplos p:Paris é a capital da França (V) q: 9 – 4 =5 (V) pq= Paris é a capital da França ou 9-4=5 (V) p:CAMÕES escreveu Lusíadas (V) q:  = 3 (F) pq= CAMÕES escreveu os Lusíadas ou =3 (V)

36. p:Roma é a capital da Rússia (F) q: 5/7 é uma fração própria (V) pq= Roma é capital d Rússia ou 5/7 é uma fração própria (V) p:Lula é governador do Paraná (F) q: (-2)2= -4 (F) pq= Lula é governador o Paraná ou (-2)2=4 (F)

37. Disjunção Exclusiva () • Chama-se disjunção exclusiva de duas proposições p e q a proposição representada simbolicamente por p V q, que se lê: "ou p ou q" ou "p ou q, mas não ambos", cujo valor lógico é a verdade (V) somente quando p é verdadeira ou q é verdadeira, mas não quando p e q são verdadeiras simultaneamente, e a falsidade (F) quando p e q são simultaneamente falsas.

38. Disjunção Inclusiva ou Disjunção Exclusiva • P: Carlos é médico ou professor • Q: Mário é alagoano ou paranaense OBSERVE: Na proposição P pelo menos uma das proposições “Carlos é médico” ou “Carlos é professor” é verdadeira, podendo ser as duas verdadeiras.

39. Já na proposição Q, somente uma delas será verdadeira, “Mario é alagoano” ou “Mário é paranaense”. • Dizemos que a proposição P é inclusiva enquanto que a proposição Q é exclusiva.

40. Simbolicamente: pq

41. Condicional () • Chama condicional uma proposição representada por “se p então q”, cujo valor lógico é a falsidade (F) no caso em que p é verdadeira e q é falsa, e a verdade(V) nos demais caso.

42. Bicondicional () • Chama-se bicondicional uma proposição representada por “p se e somente se q”, cujo valor lógico é a verdade (V) quando p e q são ambas verdadeiras ou falsas, e a falsidade (F) nos demais casos. • LÊ-SE: • (i) p é condição necessária e suficiente para q • (ii) q é condição necessária e suficiente para p

43. Simbolicamente: pq

44. Exemplos p:Roma fica na Europa (V) q: A neve é branca (V) pq= Roma fica na Europa se e somente se a neve é branca (V) p:Lisboa é capital de Portugal (V) q:  = 3 (F) pq= Lisboa é capital de Portugal se e somente se =3 (F)

45. Exemplos p:VASCO DA GAMA descobriu o Brasil (F) q: TIRADENTES foi enforcado (V) pq= VASCO DA GAMA descobriu o Brasil se e somente se TIRADENTES foi enforcado (F) p: A terra é plana (F) q: o Canário é um mamífero (F) pq= A terra é plana se e somente se o Canário é um mamífero(V)

46. Exercícios • Seja p a proposição “ os meninos jogam” e q a proposição “o cão ladra”. Traduzir para a linguagem corrente as seguintes proposições: • ~p • ~q • p^q • p^~q • pq • pq • ~p~q

47. 2) Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições. • Os preços não sobem. • Pedro não é justo. • Os preços sobem e Pedro é justo. • Os preços sobem ou Carlos é asseado. • Carlos não é asseado ou Pedro é justo. • Se os preços sobem , então a oferta cai. • Se Pedro não é justo, então os preços sobem. • A oferta não cai e Pedro é justo se e somente se os preços sobem. • Se os preços sobem e a oferta cai, então Carlos é asseado ou Pedro é justo.