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Transparências de apoio às aulas teóricas Cap. 7 - Parte I Root Locus

CONTROLO 1º semestre – 2011/2012. Transparências de apoio às aulas teóricas Cap. 7 - Parte I Root Locus. Maria Isabel Ribeiro António Pascoal. Todos os direitos reservados

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Transparências de apoio às aulas teóricas Cap. 7 - Parte I Root Locus

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  1. CONTROLO 1º semestre – 2011/2012 Transparências de apoio às aulas teóricas Cap. 7 - Parte I Root Locus Maria Isabel Ribeiro António Pascoal Todos os direitos reservados Estas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que foram elaboradas (leccionação no Instituto Superior Técnico) sem autorização dos autores

  2. Root Locus: O que é? • Root Locus= Lugar das Raízes • Root Locus – método do Lugar Geométrico dasRaízes – diagrama de Evans (Evans – 1948, 1950) • Que raízes? • Do polinómio denominador da função de transferência em cadeia fechada • Como função dos pólos e dos zeros da função de transferência em cadeia aberta. • Sem factorizar o polinómio denominador da função de transferência em cadeia fechada. • O que é? • Representação gráfica da localização dos pólos de um sistema em cadeia fechada como função de um parâmetro do sistema • Usualmente, este parâmetro é um ganho da cadeia aberta • Para que serve ? • Para apoio à síntese de controladores • Suporte à avaliação das características da resposta no tempo do sistema em cadeia fechada como função da variação de parâmetros

  3. Exemplo Motivadorsistema de controlo de temperatura de uma sala + + + _ Exemplo visto a propósito de erros em regime estacionário controlador proporcional integral 1 pólo na origem e 1 zero com controlador I com controlador PI com controlador P • Como dimensionar o valor dos ganhos por forma a satisfazer especificações: • relativas ao erro em regime estacionário • e à resposta no tempo do sistema em cadeia fechada? Qual é a localização dos pólos da f.t.c.f como função do valor dos ganhos? pólos do sistema em c.f

  4. + _ Root Locus: Formulação f.t.cadeia de acção Como variam os pólos do sistema em cadeia fechada como função do ganho K ? f.t.cadeia de retroacção f.t.cadeia aberta (f.t.c.a.) = f.t.cadeia fechada (f.t.c.f.) = resposta • Hipótese 1: Calcular explicitamente a f.t.c.f e factorizar o polinómio denominador • Hipótese 2: a partir do conhecimento da f.t.c.a. usando o Root Locus Dados Root Locus Pólos e zeros da f.t.c.a Pólos da f.t.c.f Sem factorização do polinómio denominador da f.t.c.f E os zeros da f.t.c.f ?

  5. + _ Pólos e Zeros da f.t.c.f não variam com K • variam com K • não podem ser conhecidos imediatamente • O Root Locus é um método gráfico que permite avaliar a localização dos pólos da f.t.c.f. sem factorizar o polinómio denominador dessa f.t.

  6. posição do objecto posição da câmara Motor e camâra amplificador sensores + _ Exemplo CameraMan Presenter Camera System Faz o seguimento automático de objectos Control Systems Engineering Norman Nise pólos da f.t.c.f > K=0 K=0 x K=25 x < > • O root-locus é sempre simétrico relativamente ao eixo real • Como varia a resposta do sistema em c.f. a uma entrada escalão para valores crescente de K, com K>25? >

  7. Comando MATLAB rlocus Princípio subjacente Se s é pólo de T(s) equação característica Root-Locus = conjunto dos valores de s que satisfazem simultaneamente • condição de módulo • condição de argumento

  8. Princípio subjacente • condição de argumento K>0 K<0 A condição de argumento permite determinar os pontos do plano que pertencem ao root-locus

  9. Princípio subjacente • condição de módulo A condição de módulo permite calcular o valor de K correspondente a cada localização particular das raízes sobre o lugar geométrico

  10. Root Locus - exemplo • O ponto s1=–2+j3 pertence ao root-locus? • Se pertencer satisfaz as condições do módulo e de argumento condição de argumento Nunca pode ser um múltiplo impar de 180º • s1=–2+j3 NÃO é pólo do sistema em c.f.

  11. pertence ao root-locus Root Locus - exemplo + - K > 0 • O ponto s1=-1 pertence ao root-locus? • arg(KG(s1))=(2k+1)p ? x j2 x x s1 -2 o -3 -5 x -j2 Soma = zero 0º 180º 0º • Qual é o valor do ganho K para o qual o sistema em c.f. tem um pólo em -1? Para s = -1 a condição de módulo tem que ser verificada

  12. Root Locus - exemplo + - K > 0 condição de módulo aplicada em s = -1 x j2 x x s1 -2 o -3 -5 x -j2

  13. Regras para a construção REGRA 1 – Número de ramos grau de N(s) = m grau de D(s) = n assume-se n  m Ramo = lugar geométrico definido por um pólo do sistema em c.f. quando K varia Nº de Ramos = n = número de pólos do sistema em cadeia fechada • REGRA 2 – Simetria • Os pólos de sistemas realizáveis (sistemas físicos) são, • Reais, ou • Complexos – ocorrendo aos pares complexos conjugados O root-locus é simétrico relativamente ao eixo real

  14. Regras para a construção REGRA 3 – Troços sobre o eixo real K>0 São troços do root-locus os pontos do eixo real que tenham à sua direita um número ímpar de pólos e/ou zeros da f.t.c.a. condição de argumento K>0 180º 0º -zi -zi para pólos é idêntico 180º 0º x x -pi -pi para pólos é idêntico

  15. Regras para a construção continuação • REGRA 3 – Troços sobre o eixo real • Pólos e zeros (f.t.c.a.) à esquerda de s1 contribuem com 0º • Pólos e zeros (f.t.c.a.) à direita de s1 contribuem com 180º • A contribuição de um par de pólos e ou de zeros complexos conjugados é nula Exemplos troços do eixo real x x só estão indicados os troços do eixo real x x x x só estão indicados os troços do eixo real Não tem troços no eixo real

  16. grau(NG(s)NH(s))=m grau(DG(s)DH(s)+KNG(s)NH(s))=n m Regras para a construção • REGRA 4 – Ponto de partida dos ramos • onde se inicia cada ramo do root-locus (K=0) ? f.t.c.a. f.t.c.f. pólos da f.t.c.a. os pontos de partida (K=0) dos ramos do root-locus coincidem com os pólos da f.t.c.a.

  17. Regras para a construção • REGRA 5 – Ponto de chegada dos ramos • n ramos • onde termina cada ramo do root-locus (K=) ? para ser satisfeita a condição • mzeros • mramos do root-locus tendem para os zeros da f.t.c.a. n-m ramos do root-locus tendem para infinito • m ramos tendem para os zeros da f.t.c.a. • n-m ramos tendem para infinito Estes n-m ramos tendem para infinito segundo assímptotas Regra 8 – ângulo que as assímptotas fazem com o eixo real

  18. Regras para a construção Exemplos num=[0 0 0 1]; den=[1 3 2 0]; sys=tf(num,den); rlocus(sys) • Algumas conclusões: • Para o sistema em cadeia fechada tem todos os seus pólos reais • Qual é o valor de K1? • Para o sistema em cadeia fechada é estável • Para K=K2 o sistema é marginalmente estável • Qual é o valor de K2 ? • Para K>K1 o sistema apresenta uma sobreelevação na resposta ao escalão. • Qual é o valor aproximado de K que conduz a uma sobreelevação de 20% ? Regra – pontos de entrada e saída do eixo real • Usar o root-locus • Usar o critério de Routh-Hurwitz

  19. Regras para a construção Exemplos x x x • seja s2 o ponto de cruzamento com o eixo imaginário • s2 pertence ao root-locus • a condição de argumento é satisfeita para s2 • a condição de módulo é satisfeita para s2

  20. Regras para a construção Exemplos num=[1 7 12]; den=[1 3 2]; rlocus(num,den); axis([-5 1 -1.5 1.5]); o x o x K1=? K2=? x x o x x

  21. Regras para a construção • REGRA 6 – Pontos de entrada e de saída do eixo real Ponto de entrada no eixo real = break-in point Ponto de saída do eixo real = breakaway point x o o x x o x x x breakaway point break-in point • O ponto de saída do eixo real ocorre para um máximo relativo do ganho • O ponto de entrada no eixo real ocorre para um mínimo relativo do ganho maior valor de K que ainda conduz a pólos reais menor valor de K que já conduz a pólos reais

  22. Regras para a construção • REGRA 6 – Pontos de entrada e de saída do eixo real > x x > > -1 > todos os do root-locus satisfazem cálculo do máximo relativo breakaway point valor do ganho correspondente ao breakaway point • equidistante dos dois pólos da f.t.c.a. • analogia com um sistema de cargas eléctricas • repulsão pelos pólos • atracção pelos zeros

  23. Regras para a construção • REGRA 6 – Pontos de entrada e de saída do eixo real equação característica cáculo de máximos e mínimos relativos condição necessária mas não suficiente • todos os pontos de saída/entrada no eixo real satisfazem esta relação • nem todas as soluções desta equação são sempre pontos de saída ou de entrada no eixo real • é preciso confirmar se as soluções encontradas estão sobre troços que pertencem ao root-locus • Valores (do eixo real) dos pontos do root-locus que são breakaway e break-in points • Os valores correspondentes de K

  24. Regras para a construção • REGRA 6 – Pontos de entrada e de saída do eixo real Exemplos o x x o break-in point breakaway point

  25. Regras para a construção • REGRA 7 – Ângulos de partida e de chegada ao eixo real • O ângulo entre dois ramos adjacentes que se aproximam (ou que se afastam) do mesmo ponto do eixo real é dado por: • O ângulo entre dois ramos adjacentes, um chegando e outro partindo do mesmo ponto do eixo real é dado por: a = nº de ramos que se cruzam num ponto do eixo real Exemplos x o o x x o x x x

  26. Regras para a construção • REGRA 7 – Ângulos de partida e de chegada ao eixo real Exemplos x > > > > > x x > > > x

  27. Regras para a construção • REGRA 8 – Comportamento assimptótico ângulo das assímptotas com o eixo real centro assimptótico • Quando n-m ramos tendem para infinito ao longo de assímptotas n-m assímptotas • As assímptotas cruzam-se num ponto do eixo real (centro assimptótico) • O ângulo das assímptotas com o eixo real é dado por

  28. Regras para a construção • REGRA 8 – Comportamento assimptótico ângulo das assímptotas com o eixo real - demonstração • O ângulo das assímptotas com o eixo real é dado por Demonstração: Para referência. Leitura opcional Como s pertence ao Root-Locus condição de módulo condição de argumento Para K>0 e K1>0

  29. Regras para a construção • REGRA 8 – Comportamento assimptótico ângulo das assímptotas com o eixo real centro assimptótico Exemplos • 3 ramos, todos a terminar em infinito • 3 assímptotas • ângulos das assímptotas com o eixo real • centro assímptótico 60º x x x

  30. Root-Locus - Exemplo • 3 ramos • 2 ramos a terminar no infinito = 2 assímptotas • Ângulo das assímptotas com o eixo real= 90º, -90º • Centro assimptótico ? ? x o x x • Ponto de saída do eixo real

  31. Root-Locus – Exemplo (cont) • Ponto de saída do eixo real Não pertencem ao root-locus Não podem ser pontos de saída de ramos do eixo real breakaway point Calcule o ganho correspondente • Ponto de cruzamento com o eixo imaginário e ganho correspondente • Método 1 – critério de Routh-Hurwitz • Método 2 – Root-Locus • Ponto de cruzamento - Condição de ângulo • Ganho correspondente – Condição de módulo eq.característica linha de zeros

  32. Root-Locus – Exemplo (cont) • Ponto de cruzamento com o eixo imaginário e ganho correspondente • Método 1 – critério de Routh-Hurwitz • Método 2 – Root-Locus • Ponto de cruzamento - Condição de ângulo • Ganho correspondente – Condição de módulo o x x x condição de argumento condição de módulo E para este valor de K qual é o pólo real em cadeia fechada?

  33. pólo da f.t.c.a. Regras para a construção • REGRA 9 – Soma dos pólos grau N(s) = m grau D(s) = n Se n-m  2 Soma dos pólos em cadeia aberta = Soma dos pólos em cadeia fechada Se n-m  2 Demonstração: Para referência. Leitura Opcional cadeia aberta cadeia fechada pólo da f.t.c.f. Se n-m  2

  34. x Regras para a construção • REGRA 9 – Soma dos pólos Exemplos ? x o x x Para K=7.5 onde está o outro pólo da f.t.c.f ?

  35. Regras para a construção REGRA 10 – Ângulo de partida de um pólo e de chegada a um zero Exemplos só troços do eixo real x x o x x centro assimptótico ângulos das assimptotas com o eixo real = 60º, 180º,-60º Como saem os ramos dos pólos complexos conjugados? usar a condição de argumento

  36. Regras para a construção REGRA 10 – Ângulo de partida de um pólo e de chegada a um zero Exemplos s1 – que se admite pertencente ao root-locus só troços do eixo real Circunferência de raio e e  0 x x o x x incógnita

  37. Regras para a construção REGRA 10 – Ângulo de partida de um pólo e de chegada a um zero Exemplos -18.5º

  38. INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO- Controlo – 2006/2007 Root-Locus – Exemplo 1 centro assimptótico ângulo das assímptotas com o eixo real breakaway points x > breakaway point > > > x x > > x

  39. Root-Locus – Exemplo 1 breakaway points K=4 K=? K=4 breakaway point

  40. Root-Locus – Exemplo 2 centro assimptótico ângulo das assímptotas com o eixo real breakaway points < < < < < <

  41. Root-Locus – Exemplo 2 breakaway points breakaway point breakaway point break-in point

  42. Root-Locus – Exemplo 3 centro assimptótico ângulo das assímptotas com o eixo real estabilidade K2 K1 o x x x x x o

  43. Root-Locus vs qualquer parâmetro + - + + Pergunta: Para K fixo, como é que os pólos da f.t.c.f. variam com k2 ? Pergunta: Pode usar-se o Root-Locus ? Root-locus como função de k2 x o x

  44. + _ Root-Locus para Ganhos Negativos Equação característica Condição de módulo é independente do sinal de K Condição de argumento Apenas são alteradas as regras nas quais intervém a condição de argumento • Regras que são alteradas • troços do eixo real pertencem ao root-locus se tiverem à direita um número par de pólos e/ou zeros da f.t.c.a. • ângulo das assímptotas com eixo real= • os ângulos de partida e chegada satisfazem a nova condição de argumento e diferem, portanto, de 180º dos calculados para K positivo.

  45. Root-Locus para K negativo Exemplo + _ retroacção negativa • Root-locus • retroacção negativa • K>0 • Root-locus • retroacção positiva • K<0 K<0 K>0 > x > > x > > x >

  46. H(s) tem um zero igual a um pólo de G(s) Cancelamento pólo-zero no Root-Locus + - + + Root-Locus como função de K G(s) + - H(s) Pode cancelar-se ? Se houver cancelamento Root-Locus tem um único ramo o x

  47. H(s) tem um zero igual a um pólo de G(s) x x Cancelamento pólo-zero no Root-Locus f.t.c.a. f.t.c.f. Pólo fixo independente de K não é zero da f.t.c.f o o x x -2 Pólo da f.t.c.f. independente de K Pólo da f.t.c.f. NÃO Pode cancelar-se ?

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