1 / 39

Review Aljabar Linear

Review Aljabar Linear. Matrix Operations. Transpose. Review. Inverses & Orthogonality. Eigenvalues & Rank. Idempotent Matrix & Trace. Matrix Operation. Pengertian Matriks.

renate
Download Presentation

Review Aljabar Linear

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Review Aljabar Linear Matrix Operations Transpose Review Inverses & Orthogonality Eigenvalues & Rank Idempotent Matrix & Trace

  2. Matrix Operation

  3. PengertianMatriks • Matriks:kumpulanbilangan, simbol, atauekspresi, berbentukpersegi yang disusunmenurutbarisdankolom • Bilangan-bilangan yang terdapat di suatu matriks disebut  elemen atau anggota matriks • Contoh:

  4. BeberapaOperasiMatriks • Misal X dan Y adalah matriks berdimensi n x k, anggota matriks X dan Y adalah xij dan yij; i= 1,2,..,n; j= 1,2,..,k • X + Y : matriks beranggota xij + yij • X - Y : matriks beranggota xij - yij • cX : matriks beranggota cxij • Misal X dan Y: matriks berdimensi n x k dan k x m, maka perkalian XY:

  5. Sifat-sifatOperasiMatriks • Jika X dan Y: matriks n x k, maka X+Y = Y+X • Jika X dan Y: matriksn x k, maka X+(Y+Z) = (X+Y)+Z • Jika X dan Y conformable, maka X(YZ) = (XY)Z • Jika X matriks n x k, Ydan Zmatriks k x m, maka X(Y+Z) = (XY+XZ) • Jika X matriks n x k, Ydan Zmatriks m x n, maka (Y+Z)X = (YX+ZX) • Jika X(n x k), Y(k x m), dan c angka riil, maka X(cY) = c(XY) • Jika a dan b angka riil, X(n x k), maka (a+b)X = aX + bX • Jika X dan Y: matriks n x k, maka c(X+Y) = cY + cX • Jika X matriks n x k, 0 matriksnol, maka X+0 = 0+X = X • Jika X matriks n x k, Y negatif matriks X, maka X+Y = 0

  6. PartisiMatriks Bila: Maka: XY=?

  7. Transpose

  8. PengertianTranspose • Transposedarisuatumatriksadalahmengubahkomponen-komponendalammatriks, dari yang barismenjadikolom, dan yang kolomdiubahmenjadibaris • Contoh:

  9. Sifat-sifatTranspose • Jika X(n x k), dan c angka riil, maka (cX)T = cXT • Jika X dan Y: matriksn x k, maka (X ± Y)T = XT ± YT • Jika X(n x k), maka (XT) T = X • Jika X matriks n x k, dan Ymatriks k x m, maka (XY)T = YT XT • Jika X suatu matriks simetris jika dan hanya jika XT = X • Contoh:

  10. Inverses & Orthogonality

  11. PengertianInvers(MatriksBalikan) • Matriks B dikatakan sebagai invers dari matriks A apabila: A B = B A = I atau B = A-1 dan A = B-1 • Jika tidak ditemukan matriks B, maka A dapat dikatakan sebagai matriks tunggal (singular) • Contoh:

  12. Sifat-sifatInvers • Jika matriks X nonsingular, maka X-1 juga nonsingular dan (X-1)-1 = X • Jika X dan Y nonsingular (k x k), maka XY juga nonsingular dan (XY)-1 = Y-1X-1 • Jika X nonsingular, maka XT juga nonsingular dan (XT)-1 = (X-1)T

  13. PenghitunganInverssuatuMatriks • Ordo 2x2 • Ordo 3x3

  14. PenghitunganInverssuatuMatriks • Ordo 3x3

  15. PenghitunganDeterminant suatuMatriks • Determinan: suatu fungsi tertentu yang menghubungkan suatu bilangan real dengan suatu matriks bujursangkar • Ordo 2x2

  16. PenghitunganDeterminant suatuMatriks • Ordo 3x3 • Metode Penentuan Determinant: Dengan Minor dan Kofaktor Dengan Ekspansi Kofaktor pada Baris Pertama Dengan Ekspansi Kofaktor pada Kolom Pertama Metode Sarrus Determinant matriks segitiga atas

  17. PenghitunganDeterminant suatuMatriks Dengan Minor dan Kofaktor

  18. PenghitunganDeterminant suatuMatriks Dengan Minor dan Kofaktor

  19. PenghitunganDeterminant suatuMatriks Dengan Ekspansi Kofaktor pada Baris Pertama

  20. PenghitunganDeterminant suatuMatriks Dengan Ekspansi Kofaktor pada Kolom Pertama

  21. PenghitunganDeterminant suatuMatriks Dengan Ekspansi Kofaktor pada Kolom Pertama

  22. PenghitunganDeterminant suatuMatriks Metode Sarrus

  23. PenghitunganDeterminant suatuMatriks Determinant matriks segitiga atas (multi ordo)

  24. Orthogonality Matrix Jika X matriks(k x k) sedemikian bahwa XTX = I, maka matriks A dikatakan orthogonal • Implikasi: Setiap matriks ortogonal adalah square Karena XTX = I, maka X-1 = XT • Vektor x dan y (nx1) ortogonal jika dan hanya jika:

  25. Eigenvalues & Rank

  26. PengertianEigenvalues • Jika A matriks (k x k) dan x vektor nonzero (k x 1) yang memenuhipersamaan Ax = λx, dimanaλadalahskalar. Makaλadalahsuatueigenvaluesdari A yang terkaitdenganeigenvactor x • Penentuan besaran eigenvalues: Ax = λx (A – λI)x = 0 atau X = (A – λI)-10= 0 Karena x nonzero, maka A – λI harus singular dan, determinant harus = 0. Sehingga eigenvalues suatu matriks dapat dihitung dengan rumus:

  27. PengertianEigenvalues • Contoh: mengimplikasikan ada dua eigenvalue : = -6 dan =4

  28. EigenvaluesdanEigenvector Untuk matrix A dengan eigenvalue, maka suatu vektor tidak nol x sedemikian hingga Ax = x , disebut eigenvector (characteristic vector) dari A yang berhubungan dengan .

  29. Eigenvaluesdan Eigenvector Dari contoh sebelumnya: eigenvalues = -6 dan  = 4, eigenvector dari A yang berhubungan dengan  = -6 adalah: Untuk x1=1 maka x2 = –2.

  30. Eigenvalues dan Eigenvector Eigenvectors biasanya dinormalkan sehingga panjangnya 1, yaitu: Untuk contoh sebelumnya diperoleh: Sehingga pemilihan sembarang x1=1 di atas tidak berpengaruh terhadap eigenvector yang berhubungan dengan  = -6.

  31. Eigenvalues dan Eigenvector Untuk eigenvalue  = 4, diperoleh: Dengan sembarang pemilihan x1=1, menghasilkan solusi x2 =1/2.

  32. Eigenvalues and Eigenvectors Normalisasi sehingga panjangnya 1 menghasilkan:

  33. Latihan Tentukan eigenvalues dan eigenvector darimatriksberikut:

  34. PengertianRank • Rank dari matriks X (dinyatakan dengan r(X): banyaknya vektor linier independen terbesar yang dibentuk oleh vektor-vektor kolom dari A. • Sifat: Misal X(n x k) dengan rank k dimana n ≥ k (full rank), maka r(X) = r(X’) = r(X’X) = k Matriks X(k x k) nonsingular jika dan hanya jika r(X) = k Jika matriks X(n x k), matriks P(n x n) dan Q(k x k) nonsingular, maka r(X) = r(PX) = r(XQ) Rank dari suatu diagonal matriks = jumlah kolom nonzero Rank dari XY atau r(XY) ≤ r(X) dan r(XY) ≤ r(Y)

  35. PengertianRank Contoh: Karena a3 = ½ a1 + ½ a2, serta a1 dan a2linear independent maka rank dari A adalah 2 Jika A (nxp) dengan n  p dan rank A = p maka A disebut matriks ber-rank penuh (full rank)

  36. Idempotent Matrix & Trace

  37. PengertianIdempotent Matrix • Matriks A dikatakan idempotent matriks jika A2 = A. • Contoh: Misal X(n x k) matriks full rank. Ingin dibuktikan bahwa matriks H(n x n) = X(X'X)-1X' adalah idempotent matriks H2 = [X(X'X)-1X' ] [X(X'X)-1X' ] = X(X'X)-1(X' X)(X'X)-1X' karena (X'X)(X'X)-1 = 1, maka: H2 = X(X'X)-1X' = H

  38. PengertianTrace • Tracedarimatriks A(kx k), dinyatakansebagaitr(X): jumlahseluruhnilaipada diagonal utama. • Formula: • Contoh:

  39. SifatTrace • Misal c suatu angka riil, maka tr(cX) = ctr(X) tr(X ± Y) = tr(X) ± tr(Y) Jika X(n x p) dan Y(p x n), maka tr(XY) = tr(YX) Contoh (3):

More Related