Model Linear dan Aljabar Matriks

1. Model Linear dan Aljabar Matriks Pengertian Definisi Matriks adalah Susunan empat persegi panjang atau bujur sangkar dari bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom ditulis diantara dua tanda kurung, yaitu ( ) atau [ ] Aljabar Matriks merupakan Suatu alat atau sarana yang sangat ampuh untuk menyelesaikan model-model linier seperti persamaan tiga atau empat barang.

2. 4.1 Matriks dan Vektor Matriks Bentuk Umum: Elemen matriks : aij Susunan bilangan atau nilai aij {bilangan real atau kompleks} Ukuran matriks : • Jumlah baris : m Jumlah kolom : n • Ordo atau ukuran matriks : m x n • Elemen-elemen diagonal : a11, a22,….,ann

3. VektorsebagaiMatriksKhusus Vektormerupakan Kumpulan data/angka yang terdiriatassatubarisdisebut: VEKTOR BARIS, jikasatulajurdiseburdengan VEKTOR KOLOM. Dengandemikian, dptdisebutbahwamatriksterdiriatasbeberapavektorbarisdanbeberapavektorkolom. Vektor lajur b = 1 u = u1 2 u2 8 … un Vektor baris: a’ = (4, 1, 3, 2) x’ = (x1, x2, … xn)

4. 4.2 OperasiAljabarMatriks Penjumlahan dua matriks A + B = (aij + bij) A – B = (aij – bij) Syarat penjumlahan dua matriks atau pengurangan dua matriks adalah mempunyai ordo yang sama Contoh:

6. Syarat: Setiap baris pada matriks harus dikalikan pada setiap kolom pada matriks kedua. Banyaknya kolom pada matriks pertama harus sama dengan banyaknya baris pada matriks kedua

7. 4.3 OperasiVektor Perkalian Vektor Ketidakbebasan Linear Suatu himpunan vektor v1, . . . , v2 dikatakan tidak bebas secara linear jika salah satu diantaranya dapat dinyatakan sebagai kombinasilinear dari vektor sisanya. Ruang Vektor Keseluruhan vector-vektor yang dihasilkan oleh berbagai kombinasi linear dari 2 vektor bebas u dan v merupakan ruang vector yang berdimansi dua. Konsep jarak antara dua titik vector • Jika u dan v berhimpitan, jaraknya nol (untuk u = v) • Jika kedua titik berbeda, jarak u ke vdan vke u dinyatakan oleh bilangan nyata positif yang sama. • Jarak antara u dan v tidak pernah lebih dari jarak u ke w ditambah w ke v. • Jika sebuah ruang vector memenuhi tiga sifat diatas, maka disebut ruang matriks

8. 4.4 HukumKomutatatif, Asosiatif, danDistributif

9. 4.5 MatriksIdentitasdanMatriksNol MatriksNol:Matriksdimanasemuaunsurnilainyanol MatriksIdentitas: Matriksdimanaelemen-elemenpada diagonal utamanya masing-masingadalahsatu,sedangkanelemen-elemen yang lain adalahnol. SifatMatriksIdentitasdanMatriksNol Jika A = matriksberukuran n x n : I . A = A . I = A A + 0 = 0 + A = A A . 0 = 0 . A = 0 Contoh : a11 a12 0 0 a11 a12 A + 0 = a21 a22 + 0 0 = a21 a22

10. Contoh : -4 0 6 1 3 2 -4 6 3 0 1 2 A = , maka AT = 4.6 Transpos dan Invers Transpose AT dari matrik m x n A = [ aik ] adalah matrik n x m yang diperoleh dari pertukaran baris dan kolom [AT] ik = [aik] Sifat – sifat Transpos : ( A’ )’ = A ( A + B )’ = A’ + B’ ( A – B )’ = A’ - B’ ( AB )’ = B’ A’

11. Invers Jika A adalah sebuah matriks persegi dan jika sebuah matriks B yang berukuran sama bisa didapatkan sedemikian sehingga AB = BA = I, maka A disebut bisa dibalik dan B disebut invers dari A. Sifat – Sifat matriks Invers

12. 4.7 Rantai Markov Terbatas Proses markov digunakan untuk mengukur atau mengestimasi pergerakan yang terjadi setiap saat. Proses ini melibatkan penggunaan matriks transisi markov, dimana setiap nilai dalam matriks transisi adalah probabilitas pergerakan dari satu keadaan ( lokasi, pekerjaan, dan sebagainya ) ke keadaan lainnya. Dengan mengulang perkalian vector dengan matriks transisi, kita dapat mengestimasi perubahan keadaan setiap saat.

13. 5.1 Syarat-syarat untuk Nonsigularitas Matriks Syarat Cukup vs Syarat Perlu • p benar hanya jika pernyataan q benar : p → q (dibaca : “p hanya jika q”) • p dapat dikatakan benar meskipun q tidak benar : p ← q (dibaca : “p jika q” atau dapat juga dibaca “Jika q, maka p”) • q adalah kedua-duanyauntuk terjadinya p: p ↔ q (dibaca: “p jika dan hanya jika q”) Syarat untuk Nonsingularitas Jika syarat tersebut, yakni bentuk kuadrat dan bebas secara linear diambil bersama sama, hal itu merupakan syarat yang diperlukan dan cukup untuk terjadinya non singular (nonsingular ↔ bentuk kuadrat dan bebas secara linier) Rank (Peringkat) Matriks Berikut tiga jenis operasi baris dasar pada sebuah matriks ; • Pertukaran dari dua baris di dalam matriks • Perkalian (atau pembagian) dari sebuah baris dengan skalar apa pun k 0 • Penambahan dari ‘k dikali dengan baris manapun” kepada baris yang lain

14. 5.2 PengujianNonsigularitasdenganmenggunakandeterminan Lambang determinan matrik A adalah det(A) atau A Det(A3x3) = a11 a22 a33 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31 MenghitungdeterminanOrde-n denganEkspansi Laplace Nilaideterminan |A| dariorde-n dapatdicaridenganekspansi Laplace untukbarisataukolommanapunsebagaiberikut : |A| = ij|Cij| [ekspansidenganbariske-i] = ij|Cij| [ekspansidengankolomke-j] Matriks Berordo 3 x 3

15. 5.3 Sifat – Sifat Dasar Determinan • det(AB)=det(A)det(B) • det(A’)=det(A) • Jika Anxn, maka det(kA)=kndet(A) • det(A-1)=1/det(A) • Jika A memuat baris nol atau kolom nol, maka det(A)=0 • Jika A memuat dua baris yang saling berkelipatan atau dua kolom yang saling berkelipatan, maka det(A)=0 • Terhadap operasi baris elementer, determinan mempunyai sifat, sebagai berikut: • Jika A’ diperoleh dari A dengan cara mengalikan satu baris dari A dengan konstanta k0, maka det(A’)=k det(A) • Jika A’ diperoleh dari A dengan menukar dua baris, maka det(A’) = - det(A) • Jika A’ diperoleh dari A dengan cara menjumlahkan kelipatan satu baris dengan baris yang lain, maka det(A’)=det(A)

16. Kriteria Determinan untuk Nonsingularitas Jika diketahui sistem persamaan linear Ax d, dimana A adalah matriks koofisien n x n, |A| ≠ 0 ↔ ada kebebasan baris (kolom) dalam matriks A ↔ A nonsingular ↔ ada A-1 ↔ ada satu jawaban tunggal x* = A-1 d Rank Dari suatu Matriks Didefinisikan Kembali Rank dari matriks manapun adalah bilangan tunggal. Rank paling tinggi adalah m atau n, yang mana yang terkecil, karena suatu determinan hanya ditentukan untuk matriks kudarat, dan dari matriks berdimensi. Dalam simbol hal ini dapat ditulis sebagai berikut : r(A) min {m, n} (dibaca : “Rank A lebih kecil atau sama dengan minimum dari himpunan dua bilangan m dan n”)

17. 1. Ekspansi/Perluasan determinan dengan Kofaktor yang Berbeda ij|Ci’j|= 0 (i ) [ekspansi dengan baris ke-I dan kofaktor dengan baris ke-i’] ij|Cij’|= 0 (j j’) [ekspansi dengan kolom ke-j dan kofaktor dengan kolom ke-j’] 2. Pembalikan Matriks Cara untuk membalik matriks A/mencari A-1: • Cari |A|, syarat : |A| 0 • Hitung kofaktor semua elemen A dan susun sebegai matriks C = [|Cij|] • Gunakan tranpos C untuk menemukan adjoint A • Bagi adjoint A dengan determinan |A| Kesimpulan : A-1 = adj A 5.4 Mencari Matriks Invers

18. Derivasi aturan Cramer Menurut Rumus Invers : x* = A-1d = (adj A)d Menurut Aturan Cramer : x*j = 5.6 Penerapan Pada Model Pasar dan Pendapatan Nasional Model Pasar P1* = = c2ɤ0 – c0 ɤ2 P2* = = c0ɤ1 – c1 ɤ0 c1ɤ2 – c2ɤ1 c1ɤ2 – c2ɤ1 Model Pendapatan Nasional Y* = 1 I0 + G0 + a C* 1 – b b(I0 + G0) + a 5.5 Aturan Cramer

19. 5.7 Model Input-Output Leontief Matriks Leontief adalah sebagai berikut : I – A = 1. Susunan Model Input-Output output Input I II III … N 2.Model terbuka Agar permintaan akhir dan input ada, kita harus memasukkan dalam model suatu sector terbuka diluar jaringan n industry. Secara simbolis fakta ini dapat dinyatakan dengan : ij < 1 (j = 1, 2 , …, n) 3. Pengertian Ekonomi dari Kondisi Hawkins-Simon Kondisi Hawkins-Simon, |B2| > 0, mensyaratkan bahwa : (1 – a11) > 0 atau a11 < 1 Bagian lain dari kondisi |B2|> 0 mensyaratkan bahwa : (1 – a11)(1 – a22) – a12a21 > 0 atau secara ekuivalen a11 + a12a21 + (1 – a11)a22 < 1

20. 4. Model tertutup Dalam model tertutup, tidak ada lagi input primer, jadi jumlah setiap kolom dalam matriks koofisien input A sekarang harus benar-enar sama dengan 1; yaitu a0j + aij + a2j + a3j = 1, atau : A0j = 1 – a1j – a2j – a3j Tipe analisis statis gagal memperhitungkan dua permasalahan penting. Pertama karena proses penyesuaian memerlukan waktu lama untuk penyelesaiannya maka keadaan ekuilibrium seperti yang telah ditentukan dalam kerangka analisis statis tertentu dapat hilang relevansinya, bahkan sebelum keadaan ekuilbrium tercapai, bila kekuatan eksogen dalam model waktu itu mengalami perubahan. Kedua, meskipun proses penyesuaian memperkenankan menempuh jalannya sendiri, keadaan ekuilibrium yang digambarkan dalam analisis statis mungkin seluruhnya tak dapat dicapai. Sehingga menyebabkan kasus yang disebut ekuilibirum tak stabil. Masing-masing secara jelas mengisi perbedsaam yang nyata dalam analisis statis sehingga penting sekali untuk menyelidiki ke dalam daerah analisis tersebut. 5.8 Keterbatasan Analisis Statis