Statique des fluides

1. Statique des fluides J.M. Perrier-Cornet 2ème année d’ingénieur Filière AgroAlimentaire AgroSup Dijon

2. Généralités : fluides • Définition des fluides Milieu continu, déformable, pouvant s’écouler, isotrope, mobile, doué de viscosité Fluide = gaz et liquide Cas limites : poudres, bitume, … • Différence gaz-liquide Gaz : forte compressibilité, faible densité, occupe tout le volume. Cas limites : fluides supercritiques

3. Généralités : Forces • Forces internes Forces d’attraction répulsion moléculaires et atomiques • Forces externes • Forces concentrées : inapplicables au fluides • Forces réparties : forces volumiques (champ), forces surfaciques (pression)

4. Équation générale Pression = Tension normale à la surface dirigée vers l’intérieur de la masse de fluide (normale à la surface pour un fluide parfait) dS dF

5. Équation générale • Équation fondamentale de la statique des fluides • A l'équilibre, pour un volume de liquide : Avec résultante des forces de volume par unité de masse Conséquences : • si fluide incompressible alors équipotentielles = isobares = égale densité = isotherme

6. Équation fondamentale de l'hydrostatique Si la pesanteur est la seule force de champ et liquide incompressible. P +  g z = constante Conséquences : • les surfaces isobares = horizontaux • la surface de séparation de 2 fluides = plan horizontal (surface libre _ vases communicants) • différence de P = poids de la colonne d’eau

7. Équation fondamentale de l'hydrostatique • Applications • Liquides superposés • Baromètre à mercure • Manomètre en U • Manomètre à 2 liquides

8. Pression (unités - échelle) Pascal (Pa) = N/m2 Pression absolue et pression relative. Pression et vide

9. Pression (Pa) (puissance décimale) Explosion nucléaire 22 20 18 2 Millions de bars 16 14 Limite de la pression atteinte en laboratoire 1 TPa 12 10 1 GPa 8 Synthèse du diamant Découpe jet d’eau Agroalimentaire 6 Industrie pétrolière 0,1 MPa Patm Polyéthylène 4 Micro-organismes Cellule à enclume diamant Mammifères 2 1 Pa 0 -2 -4 Technologie du vide -6 industrie -8 -10 Laboratoire Vide interstellaire -12 Les échelles de pression dans l’univers Pression au centre des naines blanches Pression au centre du soleil Pression au centre de Jupiter Pression au centre de la terre Pression au centre de la lune Pression au fond de la fosse des Mariannes

10. Influence de la compressibilité • L’intégration de la loi fondamentale dans le champ de pesanteur , en connaissant r(z,P) et g(z) : Loi usuelles : avec  compressibilité (eau =5.10-10Pa), et R rayon de la terre, z0 altitude de référence

11. Forces de pression sur une surface • Force sur une surface élémentaire dF = r g (zSL –z) dS Rq : Projection verticale : r g (zSL –z) dS sinapoids du liquide surmontant Projection horizontale : r g (zSL –z) dS cosaaction sur la surface projetée SL (Patm,zSL)

12. Forces de pression sur une surface • Force sur une surface plane Intensité de la résultante : Somme vectorielle des forces appliquées F = r g S (zSL - zG)

13. Forces de pression sur une surface • Centre de poussée Centre de poussée CP (XCP, ZCP): barycentre des forces XCP symétrie horizontale => xCP = ½ BC où IG moment d’inertie de la paroi / hle passant par G o Exemples : • - pour une paroi rectangulaire de hauteur a, IG = (a3b)/12, zCP = 1/3 a • - pour un cercle de diamètre D, IG= ( D4)/64, zCP = 3/8 D

14. Forces de pression sur une surface Force sur une surface quelconque FH force de pression en G sur la surface projetée FV poids de la colonne d’eau au-dessus de la surface F² = FV² + FH²

15. Forces de pression sur une surfacecas particuliers • eau en dessous de la paroi • résultante des forces sur une surface fermée = poids d’eau contenu

16. Forces de pression sur une surfacecas particuliers • importance de la pression : Tonneau de pascal.

17. Forces de pression sur une surfacecas particuliers • importance de la pression : Tonneau de pascal. • si la pression est constante, la résultante sur une surface fermée est nulle (conduites) • étude des discontinuités = importante

18. Équilibre de corps flottant. Théorème d’Archimède • Les forces exercées sur un solide complètement immergé admettent une résultante égale et de sens opposé au poids du fluide déplacé et le centre d’application (CP) est le centre de gravité du fluide déplacé. • Le solide est en équilibre stable si le centre de gravité G est au-dessous du centre de poussée CP.(NB : si confondu = équilibre indifférent). • Pour les corps partiellement immergés (ex : bateau), le centre de poussée de la partie immergée appelé « centre de carène » est généralement au-dessous du centre de gravité. L’équilibre de l’ensemble s’articule autour d’un métacentre M qui doit être au-dessus du centre de gravité.

19. Équilibre d’un fluide dans un autre champ de force • Accélération constante On remplace g par j=g-a  Surface isobare perpendiculaire à j

20. Équilibre d’un fluide dans un autre champ de force • Rotation uniforme d’un récipient

21. Équilibre d’un fluide dans un autre champ de force • Application : Centrifugation cas d’une particule (V, ) dans un fluide (L) o Projection l’axe vertical : la pesanteur s’oppose à la poussée d’ArchimèdeF = V g (L-) oProjection sur l’axe horizontal : l’inertie s’oppose à une force pseudo-archimèdienneF = V 2 r (L-)