Equations de la mécanique des fluides

1. Cours de Mécanique des fluides Equations de lamécanique des fluides Olivier LOUISNARD

2. Poids : -pn dS rg dV Déjà spécifiées pour l’hydrostatique S V Pression : Forces extérieures Mais dans un fluide en mouvement, il y a aussi des frottements visqueux • frottement fluide / fluide • adhérence fluide aux parois solides • dissipent de l’énergie • origine microscopique : mouvement thermique + interactions dans les liquides

3. y U0 t2 > t1 t1 0 t   v v h x Constatations expérimentales : • u = U0 sur la plaque supérieure • u = 0 sur la plaque inférieure • profil linéaire de uau bout d’un temps assez grand v • avec S surface mouillée Viscosité : expérience de Couette Le coefficient de proportionnalité ne dépend que du fluide = viscosité dynamique 

4. Viscosité • hhomogène à kg.m-1.s-1 = Pa.s = Pl (Poiseuille) • on utilise le Poise (Po) et surtout le Centipoise (cPo) • Eau à 20°C : 10-3 Pa.s = 1 cPo • Air à 20°C : 1.85 10-5 Pa.s • h augmente avec T pour un gaz • indépendant de p pour un gaz • diminue avec T pour un liquide (cf. huile dans une poêle) • augmente avec p pour un liquide

5. S dFv= sv dS dFp= -pn dS n dS V n sp=force de pression/u. de surface dS sv=force visqueuse/u. de surface y syx Oui sous forme tensorielle sv ex sxx sv= = . n x szx Pour les fluides dits « newtonien » On montrera (Cours 7) : z Contrainte visqueuse (Rappel MMC) : Contraintes =dF/dS Contrainte de pressionsp = -pn Exprimée facilement en fonction den Question : peut-on exprimersven fonction den ?

6. -pndS+ rgdV + S S V rvdV rvdV V V dFp = rgdV Variation de QDM du fluide dans le volume V QDM transportée par le fluide rentrant - sortant Poids Pression = - = - rv(v.n)dS + rv(v.n)dS S S Bilan de quantité de mouvement dFv=sv.ndS S Maintenant qu’on connaît toutes les forces extérieures, on peut écrire le bilan de QDM : dFp= -pndS n dS V n dV dS sv.ndS Frottement visqueux A RETENIR

7. Le calcul de inclut les puissances de toutes les forces extérieures • Forces de pression :dFp =-pn dS dv = ( svn).vdS dg =rg.vdV d p =-pn.v dS • Forces visqueuses :dFv =svndS dFp=rgdV • Poids :dFg=rg dV dFv=svndS dFp= -pn dS v v Bilan d’énergie S n dS V n dV dS

8. = - rg.v dV + r (u + v2/2)(v.n)dS S S S V r (u + v2/2)dV Energie totale transportée par le fluide rentrante - sortante Variation d’énergie totaledu fluide dans le volume V V -pvn dS+ (sv .n) v dS + + Puissance du poids Puissance des forces de pression Puissance des frottements visqueux Puissance calorifique Bilan d’énergie

9. théorèmes analyse vectorielle Equations locales Objectif :remplacer le bilan sur un volume V par des relations différentielles valables en chaque point du fluide Moyens mathématiques : • puis passage à la limite V 0 • Intérêt : • calcul analytique • calcul numérique

10. ==> Vrai quel que soit V donc : Un exemple Conservation de la masse :

11. masse volumique pression énergie interne QDM vitesse Energie 1 inconnue vectorielle 3 inconnues scalaires Système complet ? 1 équation vectorielle 2 équations scalaires + 2 équations scalaires + 1 inconnue scalaire Il manque une équation d’état : Equations locales de la mécadef Masse

12. Gaz parfait : (compresseurs, turbines à gaz) (rare) GP isotherme : (acoustique, ondes de chocs, écoulements gazeux en général) GP isentropique : (explosions sous-marines, écoulements liquides supersoniques, rare) Liquide compressible : (hydraulique, presque tous les écoulements liquide + écoulements gaz faible Mach) Fluide incompressible : Quelques équations d’état BAROTROPES Equation de l’énergie découplée de M et QDM

13. s’écrit aussi ou encore = a accélération du fluide Autres écritures QDM

14. Des modèles pour simplifier Ces équations sont des EDP très complexes On cherche donc des approximations à l’aide d’hypothèses supplémentaires • Modèle de fluide incompressible : masse volumique constante • Modèle de fluide parfait : frottement visqueux négligés Dans les TD à suivre, on utilisera en général les deux On parlera ensuite de la validité ...

15. M = r0dV = r0V Constante V S = Se + Ss Se Ss v n dS V n v veSe=vsSs Vs Ve V = vS débit volumique (noté aussi Q) v.n dS = 0 S Fluide incompressible r(x,y,z,t) = r0 Conservation de la masse : Général Tube de courant Ce qui rentre = Ce qui sort Accumulation de masse impossible Equation locale

16. c vitesse du son dans le fluide déduite de l’équation d’état Exemple pour un gaz parfait: = 340 m/s à 298 K Validité fluide incompressible Ma nombre de Mach Correct si : • Validité indépendante du caractère gazeux ou liquide • Inutilisable si Ma > 0,3 • Inutilisable pour rendre compte de certains phénomènes (acoustique, chocs) • En pratique presque toujours valable dans les liquides

17. Modèle de fluide parfait Permet de négliger les frottements visqueux • mouvement non dissipatif • conservation de l’énergie mécanique • pas d’adhérence aux parois solides : le fluide « glisse » • ouvre de nombreuses simplifications mathématiques Limitations évidentes. Ne rend pas compte : • du freinage visqueux d’un corps ou d’un fluide (voiture économique !) • de l’amortissement des ondes (vagues, acoustiques, ...) • de la nécessité de pomper un fluide Validité ?

18. Validité fluide parfait Nombre de Reynolds • Ecoulements externes : Si Re >> 1, valable à l’extérieur de la couche limite (qui est petite) (cf. cours 9) Si Re << 1, totalement invalide, à traiter par théorie écoulements rampants. (cf. cours 7, 8) • Ecoulements en conduite : Fluide parfait applicable (Bernoulli) ... avec correction pour pertes de charges (cf. cours 6)

19. -pn dS rg dV + S V rvdV V QDM transportée par le fluide rentrant - sortant Variation de QDM du fluide dans le volume V Poids Pression = - rv(v.n)dS + S Conservation QDM en fluide parfait Forme globale Forme locale Equations d’Euler

20. Incompressible Parfait Fluide parfait incompressible Equations locales : Masse QDM Une grande simplification est possible : Loi de Bernoulli

21. dM // v => (rotv v) . dM = (v dM) . rotv = 0 v 2 v M 1 dM v v On suppose régime permanent=> r0v12/2 + p1 + r0gz1 = r0v22/2 + p2+ r0gz2 Loi de Bernoulli : démonstration On suit une ligne de courant : On projette la conservation QDM sur la ligne de courant r0 ( gradv2/2 +rotv v) . dM = (r0g - grad p) . dM De plus, on peut écrireg = grad (-gz) si z orienté vers le haut grad(r0v2/2 + p + r0gz) . dM = 0

22. Il existe une version en compressible Peut être généralisé en instationnaire dans quelques cas rares (cf. TD) Energie potentielle de pression Energie cinétique Energie potentielle de pesanteur Loi de Bernoulli : énoncé • Sous les hypothèses : • Fluide parfait • Fluide incompressible • Régime permanent La quantitép + rv2/2 + rgzest constante le long d’une ligne de courant Traduit la conservation de l’énergie mécanique

23. Fluide parfait incompressible : Formule de Bernoulli : p + rv2/2 + rgz = Cte le long d’une ligne de courant Ecoulements unidirectionnels (démontré ultérieurement) Dans la direction transverse à un écoulement unidirectionnel,la pression varie de façon hydrostatique. Conditions aux limites en pression : Aux points de contact entre un écoulement et l’atmosphère, la pression vaut patm. A retenir pour les TDsfluide parfait.