La forma trigonometrica de los numeros complejos y el teorema de moivre

1. La forma trigonometrica de los numeros complejos y el teorema de moivre Capítulo 7 – Sec. 7.5 y 7.6

2. El Plano Complejo • Se puede utilizar un plano de coordenadas para representar números complejos. • Si cada número complejo es asignado a un punto del plano de coordenadas entonces este plano se conoce como un plano complejo. • El eje-x es el eje real • El eje-y es el eje imaginario. • De esta forma, cada número complejo a + bi determina un único par ordenado (a, b). • Un punto en el plano de coordenadas, P(a, b), corresponde a un numero complejo único, a+ bi

3. El Plano Complejo- ejemplos Noten que para obtener el punto correspondiente al conjugado, a – bi, de cualquier número complejo, se refleja a + bi sobre el eje real:

4. Valor absoluto de un númerocomplejo • Una forma natural de definir el valor absoluto de un número complejo es: • la distancia entre el origen de un plano complejo y el punto (a, b) que corresponde al número complejo a + bi Si z = a + bi es un número complejo, entonces su valor absoluto, denotado , es

5. Valor absoluto de un númerocomplejo • Ejemplo: Determinar = = = • Ejemplo: Determinar = = =

6. Forma trigonométrica Si consideramos un número complejo distinto de cero, z = a + bi, y su representación geométrica, P (a, b), observamos que Por lo que, a = r cosθ y b = r sin θ b a

7. Forma trigonométrica • Estaexpresiónse conocecomo la formatrigonométricao la forma polardel númerocomplejoa + bi. • El valor absoluto de z, , se conocetambiéncomo el módulo de z. • Elánguloθ,asociado a z,se conocecomo elargumento de z

8. Ejemplo: Expresaren su forma trigonométrica con 0 ≤ θ < 2π: Primero calculamos el módulo del número = = = Luego, calculamos el argumento del número = = = La forma trigonométrica de -4 + 4i = (cos + isin) = cis

9. Ejemplo: Expresaren su forma trigonométrica con 0 ≤ θ < 2π: Primero calculamos el módulo del número = = Luego, calculamos el argumento del número. Como no es un ángulo conocido, lo dejamos expresado La forma trigonométrica de 2 + 7i = (cos ( )+ isin ( ) =cis ( )

10. Multiplicación de númeroscomplejos Sean z1 yz2 , dos números complejos tal que z1 = (cos + isin) y z2=(cos+ isin), entonces el producto de z1 con z2 tiene • un móduloigual al productodel módulo de cadanúmero • un argumentoigual a la sumade los argumentos.

11. Multiplicación de númeroscomplejos Ejemplo:Si z1 = y z2 = use formastrigonométricasparadeterminarz1z2. Solución: La representacióngeométricade los númerosse muestra en la figura. Revise el cálculo del módulo, r, y del argumento, θ, en cada caso.

12. Solución(cont) • Usando r1 = 4 y θ1= –π/6, entoncesz1, en la forma trigonométricaes: • Usandor2= 2 y θ2= 2π/3, entoncesz2, en la forma trigonométricaes:

13. Solución(cont.)

14. División de númeroscomplejos Sean z1 yz2 , dos números complejos tal que z1 = (cos + isin) y z2=(cos+ isin), entonces el cociente de z1 con z2 tiene • un móduloigual al cocientedel módulo de cadanúmero • un argumentoigual a la diferenciade los argumentos.

15. División de númeroscomplejos Ejemplo:Si z1 = y z2 = use formastrigonométricasparadeterminar. Solución: Habíamosdeterminado la forma trigonométrica de los números en el ejemplo anterior.

16. Solución(cont.) • Aplicando la parte (2) del teoremaparadivisón de númeroscomplejos en forma trigonométricatenemos: Note quese puedeobtener la notación a + bi

17. El Teorema de DeMoivre El teorema de DeMoivredescribe un fórmulaparadeterminarpotencias de un númerocomplejo. Un número complejo, en la forma trigonométrica elevado a un entero positivo, n , se puede expresar

18. Ejemplo Use el teorema de DeMoivreparadeterminar y expresar en la forma a + bi Solución Según el teorema de DeMoivre, En el caso que tenemos, r = 1, θ = y n=3. Aplicando el teorema, =

19. Ejemplo Use el teorema de DeMoivre’sparacambiar(1 + i)6a la forma a + bi, dondea ybson númerosreales Solución Primerodebemosdeterminar la forma trigonométricapara1 + i. Revise el cálculo del módulo, r, y del argumento, θ.

20. Solución(cont.) Ahoraaplicando el teorema de DeMoivre:

21. Teorema de raícesenésimas • Podemosutilizar el teorema de DeMoivreparadesarrollarunafórmulaparadeterminarraícespositivasde un númerocomplejo : • Si z = r (cosθ+ isin θ) es un númerocomplejodiferente de cero y sines un enteropositivo, entoncesztieneexactamentenraícesdiferentesque se puedenexpresar en radianes o en grados donde k = 0, 1, 2, …, n -1

22. Ejemplo Aproxime, a dos lugaresdecimales, las dos raíces cuadradas de −5+ 12i • SoluciónDeterminemos la forma trigonométrica del número El número complejo -5 + 12i está en el segundo cuadrante, de modo que Entonces, -5 + 12i =

23. Solución cont. Entonces, -5 + 12i = y (−5+12j)1/2 = para k = 0: = 2 + 3i k = 1: = -2 – 3i

24. Ejemplo • Determinar de forma exacta • Solución • Determinamos la forma trigonométrica de Como θestá en tercer cuadrante, θ =

25. Solución(cont) • Usando el teoremasobreraícesenésimas, con n = 4, y , la fórmula general quenos da lasraíceses parak= 0, 1, 2, 3.

26. Solución(cont.) La ecuación anterior se puedesimplificar: Sustituyendo0, 1, 2, and 3 paraknos da :

27. Solución(cont.) • Todas lasraíces se encuentran en un círculo de radio

28. Ejemplo • Determinar lassolucionesexactas de • SoluciónDespejando la ecuaciónpara x tenemos Debemos hallar las raíces cúbicas de -8i. Escribir -8i en forma trigonométrica. . Como la parte imaginaria del númeroesnegativa, θ =

29. Solución(cont) • Usando el teoremasobreraícesenésimas, con n = 3, y , la fórmula general quenos da lasraíceses parak= 0, 1, 2

30. Solución(cont) • Usando • Sustituyendo 0, 1, 2, and 3 paraknos da :