A matematikai logika alapfogalmai

1. A matematikai logika alapfogalmai

2. A: A 2 prím szám. • B: Ma kedd van. • C: Itt most esik az eső. • D: Marinak szép a ruhája. • E: Hány óra van? • M: Nyisd ki az ajtót! • G:Van pénzem mozijegyre. • F: Moziba megyek. • H: A 4 prím szám.

3. Kijelentés • Definíció: Logikai értelemben kijelentésnek nevezzük azt a kijelentő mondatot, amelyről egyértelműen eldönthető, hogy igaz vagy hamis. • Az igaz és a hamis a kijelentés logikai értéke. • Jelölés:

4. H: A 4 prím szám. (h) J: A 4 nem prím szám.( i) A H kijelentés tagadása a J. Jelölés: Logikai értéktábla: Műveletek-Negáció

5. Konjunkció (összekötés, együttállás) • A: Itt most esik az eső. • B: Itt most fúj a szél. • A és B: Itt most esik az eső és fúj a szél. • Jelölés: • Logikai értéktábla:

6. Diszjunkció(elválasztás, szembeállítás) • P:Ma moziba megyek. • Q: Ma biciklizni fogok. • P vagy Q: Ma moziba megyek vagy biciklizni fogok. • Jelölés:pq • Értéktáblázat:

7. Implikáció • p:Itt most esik az eső. • q. Esernyőt viszek magammal. • Ha p akkor q: Ha itt most esik az eső, akkor esernyőt viszek magammal. • Jelölés: pq • p-elegendő feltétele q-nak. • p-nek szükséges feltétele q. • p-előtag vagy premissza • q- utótag vagy konklúzió

8. Példa 1. Igaz-e a következő implikáció: Ha a Hold sajtból van, akkor ez matematika könyv. 2. Írjuk fel a logikai műveletekkel a következő kijelentéseket,ha p: A bajnokságot a Falábúak nyerik q: Megeszem a kalapom. • Ha a bajnokságot a Falábúak nyerik, akkor megeszem a kalapom. • Nem nyernek a Falábúak, vagy megeszem a kalapom. • Ha nem esszem meg a kalapom, akkor nem nyernek a Falábúak. • Nem igaz, hogy nyernek a Falábúak és nem eszem meg a kalapom. Megoldás.2. a. pq, b. ┐pq, c.┐q ┐p d. ┐(p┐q)

9. Ekvivalencia • p: Moziba megyek. • q: Van pénzem mozijegyre. • p akkor és csak akkor, ha q: Moziba megyek akkor és csak akkor, ha van pénzem mozijegyre. • pq

10. Példa • 1.Akövetkező állítást bontsuk fel egyszerű kijelentésekre, és azokból logikai műveletek segítségével írjuk fel az összetett kijelentést! • a. Ha délután tanulok és nem megyek moziba, akkor holnapra felkészülök, és Pistával teniszezek vagy sakkozom. • b. Ha megoldom a matek- házi feladatot, akkor megnézem a televízió esti műsorában a híradót és a filmet.

11. Megoldás a: A: Délután tanulok. B.: Délután moziba megyek. C: Holnapra felkészülök. D: Pistával teniszezem. E: Pistával sakkozom. (A(┐B))(C(DE)) b. A: Megoldom a matek-házit. B: Megnézem a televízió esti műsorában a híradót. C: Megnézem a televízió esti műsorában a filmet. A┐(BC)

12. Példa • Ha egy természetes szám nullára végződik, akkor osztható 5-el. • Fogalmazza meg a fenti állítás megfordítását. A megfordítás igaz vagy hamis?

13. Példa • Mi a tagadása a következő kijelentésnek? • „Minden páros szám nullára végződik” • Van olyan páros szám amelyik nem nullára végződik.

14. Példa • Mi az alábbi állítások tagadása? • a. Ma este moziba megyek vagy olvasok. • b. Minden magyar egyetemistának van nyelvvizsgája vagy autója. • c. Hull a hó, és Micimackó fázik. • d. Van olyan autó, amelyiknek lejárt a zöldkártyája és nincs biztosítása. • Megoldás: • a. Ma este nem megyek moziba és nem olvasok. • b. Van olyan magyar egyetemista akinek nincs nyelvvizsgája és nincs autója. • c. Nem hull a hó vagy Micimackó nem fázik. • d. Minden autónak nem járt le a zöldkártyája vagy van biztosítása.