MATEMATIKAI PARADOXONOK

1. MATEMATIKAI PARADOXONOK KPSZTI 2011. NOV. 11.

2. A PARADOXON ÉRTELMEZÉSE • Önellentmondás: • hétköznapi: „Most hazudok.” (még jobb: „Most őszinte voltál?” – bár ez nem ellentmondás, csak eldönthetetlen) • halmazelméleti: katona borbély • Mérő László: „Eben a mondatban harom hiba van.” • Meghökkentő eredmény • Logikai: Minden krétai hazudik – mondja egy krétai. • Infinitezimális: nyílvessző és a céltábla • Statisztikai/valószínűségi: ezekről lesz szó

3. 10 paradoxon • Születésnap • Simpson • Szerencsejátékok • Monty Hall • Választási • Jákob és Lábán • Bertrand • Titkárnő-házasodási • Kockázási

4. 9 paradoxon – 9 matekóra • Egyszerűek: alap matek • Meglepőek • Célközönség: mérnökpalánták

5. TITKÁRNŐ-PARADOXON (1966)

6. A feladat titkárnői álláshirdetésre sok a jelentkező nincs idő mindegyiket meghallgatni Hány jelöltet elég behívni interjúra, hogy a lehető legjobbat vegye föl a cég?

7. Konkrét feladat 10 jelentkező 5 jelöltet már elutasítottunk megállapodás: a következőt felvesszük, aki jobb minden korábbinál Mekkora a valószínűsége, hogy lesz ilyen?

8. DOLLY Ő a legjobb Baj lehet: korán döntünk (ál Dolly) pl. a 7. jobb, mint az első 5, de Dolly – aki még jobb – csak a 8. lesz A korai döntést ki kell zárni

9. Hányadik Dolly?

10. összesen 37% annak a valószínűsége, hogy a felét elutasítva és a következő legjobbat választva az összes közül a legjobbra találunk.

11. A feladat módosítása és általánosítása Ha az első 2 titkárnő elutasítása után döntünk: Ha n jelölt közül az első k elutasítása után döntünk:

12. Hány jelöltet utasítsunk el?

13. A p(k,10) grafikon

14. Van-e maximuma a p(k,n) függvénynek? Van (emelt szintű matek):

15. A megoldás 100 jelentkező közül az első 37-et kell elutasítani, majd ezt követően az első olyat felvenni, aki jobb az első 37-nél VAGY ha nincs ilyen, akkor a 100.-at

16. Gyakorlati alkalmazhatóság • Nyilván nem így választunk titkárnőt (nem hívunk be mindenkit, nem mondunk rögtön nemet, önéletrajz stb.) • Matterhorn esete

17. Házasodási probléma (1984) A feladat átfogalmazása: az első valahány kérő után igent mondunk (magyar szakirodalom: Szindbád-probléma) Baj: nem tudjuk előre a kérők számát

18. Udvarló-idő függvény Feltételezett görbe esetén: görbe alatti terület 37 % - ánál kell most is dönteni

19. SIMPSON-PARADOXON (1951)

20. 1. Diszkriminációs probléma Egy nagyvállalatot diszkriminációval vádolnak feminista szervezetek, miszerint kisebb százalékban vettek fel nőt, mint férfit. Védekezésképpen a cég nyilvánosságra hozza két áruházuk kimutatását, melyben az áll, hogy több nőt vettek fel, mint férfit.

21. Győr-soproni nők és férfiak

22. Mitől paradoxon? Külön-külön: nők > férfiak („elnőiesedik a szakma”) Együtt: férfiak > nők (feminista érv) Mikor léphet föl? Ha egy csoportot kétféleképpen is felbontunk (Győr-Sopron, ill. férfiak-nők) két vagy akár több részre Leírás: Simpson (1951) Valóság: Berkeley-egyetem (70-es évek) női egyenjogúsági kérdés

23. Mi az oka? Most: egyenetlen volt a jelentkezés Győr: 250 hely, 600 jelentkező 2,4-szeres túljelentkezés A jelentkezők 17%-a nő Sopron: 20 hely, 220 jelentkező 11-szeres túljelentkezés A jelentkezők 45%-a nő: „bátrabbak” voltak a soproni nők

24. 2. H1N1-probléma

25. Mitől paradoxon? Nyilván nem reprezentatív a minta: férfi (500) > nő (120), aki nem oltatta be magát beoltott (620) > nem beoltott (200) Férfinak és nőnek egyaránt megéri, de „embernek” nem! (Orosz Gyula)

26. Példagyár

27. Mekkora lehet n? Ahonnan 400 < n < 580 adódik.

28. Koordináta-rendszer Meredekség: felvételi arány

29. SZÜLETÉSNAP-PARADOXON

30. Alapfeladat: Hány fős társaság esetén lesz valószínűbb az, hogy a társaságból két embernek ugyanazon a napon van a születésnapja? Tippelj!

31. 1. segédfeladat: Hány fő esetén lesz biztos, hogy lesz két olyan ember, akinek egy napon van a születésnapja? (Számoljunk 365 nappal!) Skatulyaelv alapján nyilván: 366 fő esetén

32. 2. segédfeladat: Egyszerűsítsük le a feladatot egyhétre: Hány fő esetén lesz biztos, hogy a hét ugyanazon napjára (hétfő, kedd stb.) esik két ember születésnapja? Hasonlóan, nyilván: 8 fő esetén

33. 3. segédfeladat Mi a valószínűsége annak, hogy 6 fő közül 2-nek ugyanarra a napra (a hét ugyanazon napjára) esik a születésnapja? Értelmezés: legalább 2-nek

34. Megoldás kedvező eset: összes – rossz

35. Táblázat a p(n) függvényhez

36. A p(n) grafikon

37. 4. segédfeladat Vissza az eredeti éves feladathoz: Hány fős társaság esetén lesz 96% a valószínűsége annak, hogy a társaságból két embernek ugyanazon a napon van a születésnapja? (Számoljunk 365 nappal!)

38. Összes – rossz

39. Ábrázolás helyett táblázat

40. Próbálgatás

41. Megoldás éves feladat: 48 fő esetén lesz 96 % a valószínűsége annak, hogy ketten ugyanazon a napon születtek hetes feladat: 6 fő esetén lesz 96 % ez a valószínűség

42. A p(n) grafikon

43. Mitől paradoxon? Nagy n-re: p(n) közelítőleg konstans • p = 100%: n = 366 esetén • p = 99%: n = 57 esetén (84%-kal kisebb!) Kis n-re: p(n) függvény nagyon meredek • Az eredeti feladat (p > 50%) megoldása is meglepő: 23 fő (ellenőrizhető egy osztályban vagy egy konferencián)

44. VÁLASZTÁSI PARADOXONOK

45. 1. Családi kirándulás Az apának van kedve kirándulni, de ideje nincs, a gyereknek fordítva, az anyának kedve és ideje is van. Hogyan döntsenek „demokratikusan”?

46. Kiértékelés

47. Bíró-paradoxon • kollektív döntések meghozatala esetén • probléma: mi szerint összegezzünk? • premisszák (kedv, idő) • konklúziók (voks)

48. 2. Elnökválasztás 3 jelölt (A, B, C) közül választunk 7 szavazó 4 ABC, 3 BCA szavazat Kérdés: lehetséges-e, hogy bizonyos pontozásnál • A nyer, • B nyer, • C nyer, • A és B holtversenyben nyer?

49. Megoldás

50. Mitől paradoxon? • majdnem tetszőleges sorrend előállítható • utólag befolyásolhatjuk a választás eredményét, ha nem tisztázzuk előre a pontozást • megnyugtató: C nem nyerhet