Lógica de proposiciones, deducción natural

Lógica de proposiciones, deducción natural Raúl Monroy

Impertinencias con prop • Falta de estructura motiva uso de meta-teoremas • deducción: DPQsii D {P} Q • regla T: • contraposición: • refutación:

Lógica de proposiciones: sistema de demostración • ¿Cómo construir un cálculo para razonar sobre proposiciones? • Queremos un conjunto de reglas de prueba que nos permitan inferir fórmulas de otras fórmulas

Recuerda que: • Una lógica contiene 3 ingredientes: • Un lenguaje formal; • Un sistema de demostración; y • Una semántica del lenguaje

Logica de proposiciones, sintaxis • El alfabeto (de nuestra versión) delalógica proposicional consistede los siguientes caracteres: a,…,z; A,…,Z,0,…,9,(,),{,},[,],,,,, • símbolos no lógicos:constante: • una secuencia de caracteresque inicia con una minúscula o un número • Un solo tipo de constante, constante objeto, que nombra unelemento específico del dominio de discurso

Sintaxis (continúa) • Pes una oración sii: • es una constante objeto, o • es una oración compuesta: P, P1 P2, P1  P2, P1P2,P1P2 donde P1y P22son oraciones • Precedencia de operadores: • , , , ,  • Un operando se asocia con aquel operador que poseeprecedencia superior. En caso de empate, el operador seasocia a la derecha

Deducción natural • 0 axiomas • Conjunto de reglas de inferencia • Una demostración de P es una secuencia de oraciones terminada con P. • Cada oración en la secuencia es o una hipótesis, o un axioma, o puede derivarse a partir de oraciones previas, vía una regla de inferencia. • Nota: Si usamos una hipótesis temporal (cf cajas), ésta sólo puede usarse si ocurre previamente al punto de aplicación y no aparece dentro de una caja que haya sido cerrada

Reglas de inferencia • Para cada conectivo, hay una o más reglas para introducirlo y una o más para eliminarlo • Y lógico,  • Introducción: • Eliminación: PQ i PQ PQ P Q e2 e1 P Q

Ejemplos • Demuestre: • p  q | q  p • (p  q)  r, s  t | q  s

Doble Negación • Introducción: • Eliminación: P i P P e P

Ejemplos • Demuestre: • p, ¬¬(q  r) | ¬¬p  r

Implicación material,  • Eliminación: • Introducción: ? PPQ e Q

Ejemplos • Demuestre: • p  (q  r), p, q | r • ¬p  q, ¬q | p • p  (q  r), p, ¬r | ¬q Nota: en las dos últimas use modus tollens ¬QPQ MT ¬P

Implicación material,  • Introducción: • Ejemplos: • ¬q  ¬p | p  ¬¬q • p | p • | (q  r)  ((¬q  ¬p)  (p  r)) P  Q i PQ

Actividad en colaboración • Demostrar: • p  q  r | p  q  r • p  q  r | p  q  r • p  q | p  r  q  r

O-lógico • Introducción • Eliminación Q P i1 i2 PQ PQ P  R Q  R PQ e R

Ejemplos • Demuestre: • p  q | q  p • q  r | p  q  p  r • (p  q)  r | p  (q  r) • p  (q  r) | (p  q)  (p  r) • Nota: Resolver el último ejercicio requiere el uso de la regla copy

Las reglas para negación,   • Eliminación de  • Eliminación de ¬ • Introducción de ¬  i P P P e  P   ¬i ¬P

Ejemplos • Demostrar: • ¬p  q | p  q • p  q, p  ¬q | ¬p • p  ¬q  r, ¬r, p | q

Reglas auxiliares • Modus tollens • Introducción de doble-negación • Reductio ad absurdum • Tertium non datur (law of the excluded middle)

Lógica de proposiciones: Semántica • Semántica: La semántica de una lógica es una definición de la veracidad de las oraciones en un lenguaje de la lógica en términos de una interpretación

Interpretación • Una interpretación, I, para un lenguaje, L, es una definición de cada uno de los símbolos no lógicos de L en términos de algún dominio, v.gr.: S={b,p,q}; D={⊺, }; I(b)= , I(p)= , I(q)= ⊺

Modelo y consecuencia lógica • Una interpretación, I, para un lenguaje, L, satisface o es modelo de una oración, P, si P es verdadera en I. En símbolos, • Sean P y G una oración y un conjunto de oraciones, P es una consecuencia lógica de G sii cada interpretación que es modelo de todas las oraciones en G también es un modelo de P. En símbolos,

Semántica de la lógica de proposiciones • La semántica de la lógica proposicional es una definición de la veracidad de una oración con respecto a una interpretación: • I(P) = ⊺sii I(P) =  • I(P1  P2) = ⊺sii I(P1) = ⊺y I(P2) = ⊺ • I(P1  P2) = ⊺sii I(P1) = ⊺o I(P2) = ⊺ • I(P1P2) = ⊺sii I(P1) = o I(P2) = ⊺ • I(P1P2) = ⊺sii I(P1) es equivalente a I(P2)

P es universalmente válida, o tautológica, si es verdadera en cualquier interpretacion: • Si por el contrario P es falsa en toda interpretación, decimos que es una contradiccion

Teoría • Una teoría es un conjunto de oraciones el cual está cerrado bajo consecuencia lógica. • Una teoría, G, es completa sii, para cada oración, P, P o bienP es miembro de G • Una teoría, G, es inconsistente sii, para alguna oración P, • y

Enfoque sintáctico versus enfoque semántico • Satisfacción e inferencia están relacionadas por dos propiedades: • Corrección: • Calidad de cobertura: • Corrección y calidad de cobertura no son conceptos cuyo sentido es absoluto en Lógica

Conclusiones • Algunos cálculos son menos estructurados que otros • Cálculos estructurados permiten la construcción de procedimientos de demostración, algunos de los cuales a su vez permiten construir un procedimiento de decisión • Lógica proposicional es decidible

Lógica de proposiciones, deducción natural