1 / 33

Metody Matematyczne w Inżynierii Chemicznej

Metody Matematyczne w Inżynierii Chemicznej. Wykład 2. Metody iteracyjne znajdowania pierwiastków równań. x 1. f ( x 1 ) > 0. i. x 2. f ( x 2 ) < 0. x 1. f ( x 1 ) < 0. i. x 2. f ( x 2 ) > 0. Metoda połowienia przedziałów. lub. Metoda połowienia przedziałów. y 2. y 4. x 2. x 3.

rowdy
Download Presentation

Metody Matematyczne w Inżynierii Chemicznej

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Metody Matematyczne w Inżynierii Chemicznej Wykład 2. Metody iteracyjne znajdowania pierwiastków równań

  2. x1 f(x1) > 0 i x2 f(x2) < 0 x1 f(x1) < 0 i x2 f(x2) > 0 Metoda połowienia przedziałów lub

  3. Metoda połowienia przedziałów y2 y4 x2 x3 x4 x1 y3 y1 ?

  4. Metoda połowienia przedziałów y2 y3 x4 x2 x3 x1 y4 y1

  5. y3 y1<0 x2 = x3 x3 x3 x2 x2 Metoda połowienia przedziałów y2 y3 x1 y1

  6. Metoda połowienia przedziałów • Po każdym kroku konieczne jest wybranie jednego punktu z poprzedniego kroku (x1 lub x2), który wraz z obliczonym środkiem przedziału (x3) utworzy nowy przedział • Poprawny wybór musi dać wartości funkcji o przeciwnych znakach: • y1*y3<0 to x2 przyjmuje wartość x3 • y2*y3<0 to x1 przyjmuje wartość x3

  7. Metoda połowienia przedziałów - algorytm • Wprowadzić granice przedziałów x1 i x2 oraz dokładność e • Obliczyć y1 i y2 • Jeżeli y1*y2>0 to drukuj zły przedział i idź do p.1 • Obliczyć x3 = (x1 + x2)/2 • Obliczyć y3 • Jeżeli |x3-x2 |< eto drukuj x3, koniec. • Jeżeli y1*y3 < 0 to x2 = x3 i y2=y3 w przeciwnym wypadku x1= x3 i y1=y3, • Idź do punktu 4 • Koniec.

  8. start Czytaj: x1, x2, e y1, y2 y1*y2>0 Drukuj: zły przedział x3=(x1+x2)/2 y3 |x2-x3|<e y2=y3 Drukuj: x3 y1*y3<0 x2=x3 koniec y1=y3 x1=x3

  9. y1=0 Drukuj: x1 y2=0 Drukuj: x2 x3=(x1+x2)/2 y3 |x2-x3|<e lub y3=0 Drukuj: x3 y1*y3<0 x2=x3 koniec x1=x3

  10. y1 x1 x2 y2 Metoda: reguła falsi x3 x4 y4 y3

  11. y1 x2 x1 y2 Metoda: reguła falsi x3 x4 y4 y3

  12. Ogólny wzór na metodę reguła falsi

  13. Reguła falsi - algorytm • Wprowadzić granice przedziałów x1 i x2 oraz dokładność e • xp=x1 • Obliczyć yp i y2 • Jeżeli yp*y2>0 to drukuj zły przedział i idź do p.1 • Obliczyć • Obliczyć y3 • Jeżeli | xp - x3|  e lub | x2 - x3|  e todrukuj x3, koniec. • Jeżeli yp*y3>0 to xp= x2, yp= y2 • x2= x3, y2= y3 • Powrót do punktu 4 • Koniec.

  14. Metoda siecznych y1 x3 x2 x5 x4 x1 y3 y2

  15. Metoda siecznych algorytm Wprowadzić granice przedziałów x1 i x2 oraz dokładność e Obliczyć y1 i y2 Jeżeli y1*y2>0 to drukuj zły przedział i idź do p.1 Obliczyć Obliczyć y3 Jeżeli |x3- x2|  e todrukuj x3, koniec. x1= x2: x2= x3 :y1= y2: y2= y3 Powrót do punktu 3 Koniec.

  16. Metoda Newtona x3 x1 x2

  17. Metoda Newtona algorytm Wprowadzić punkt startowy x1 oraz dokładność e Obliczyć y1 Obliczyć y'1 Obliczyć Jeżeli |x2- x1 |  e todrukuj x2, koniec. x1= x2 Powrót do punktu 2 Koniec.

  18. Rząd Metody Newtona Aby stwierdzić, czy metoda iteracyjna jest I-go rzędu należy sprawdzićczy pierwsza pochodna przekształconego równania jest w punkcie różna od 0. bo

  19. Rząd Metody Newtona Druga pochodna:

  20. Zbieżność Metody Newtona Aby proces był zbieżny błąd ep punktu startowego musi spełniać warunek Z definicji parametr b2:

  21. Zbieżność Metody Newtona Ostatecznie: Wnioski z powyższej zależności: • Punkt początkowy może być tym bardziej oddalony od rozwiązania (większa wartość ) im: • Funkcja jest bardziej stroma w okolicy przecięcia z osią OX (większa jest jej pierwsza pochodna) • Funkcja jest mniej zakrzywiona (mniejsza jest jej druga pochodna)

  22. Zbieżność Metody Newtona Zaleca się by punkt startowy xp metody Newtona spełniał warunek:

  23. Rozwiązywanie układów równań Metody skończone

  24. Metoda eliminacji Gaussa • Dotyczy układów równań liniowych • Metoda: • Przekształcenie macierzy współczynników do macierzy trójkątnej ze współczynnikami równymi 1 na przekątnej • Wyliczenie x n,n • Wyliczenie kolejnych x n-i,n-i (i=1..n-1)

  25. Metoda eliminacji Gaussa • Algorytm • Wczytać macierz współczynników i wektor wyrazów wolnych • Wybrać wiersz pierwszy • Wszystkie współczynniki i wyraz wolny wybranego wiersza podzielić przez współczynnik w kolumnie wybranego wiersza

  26. Metoda eliminacji Gaussa • Wybrać wiersz eliminowany • Obliczyć mnożnik: stosunek parametru w wierszu eliminowanym do parametru w wierszu wybranym, w kolumnie=wierszowi wybranemu • Odjąć od parametrów wiersza eliminowanego parametry wiersza wybranego pomnożone przez mnożnik • Wybrać kolejny wiersz eliminowany i wrócić do p.5 o ile wiersz kolejny jest <= od ilości równań • Wybrać kolejny wiersz i przejść do p.3 o ile jest on <= od ilości równań

  27. Metoda eliminacji Gaussa • Przyjąć licznik i równy ilości równań • Obliczyć x(i) = b(i) • Przyjąć licznik j większy od i o 1, jeżeli j>n to przejść do 14 • Obliczyć x(i)=x(i)-x(j)*a(i,j) • Zwiększyć j o 1 i przejść do p.12 • Zmniejszyć i o 1 i jeżeli większe od 0 to przejść do p.10 • Wydrukować x

  28. Rozwiązywanie układów równań Metody iteracyjne (nieskończone)

  29. Metoda • Założenie początkowego rozwiązania układu równań • Przekształcenie układu równań do postaci

  30. Metoda Ritza • Dominujące elementy leżą na przekątnej • Każdy wiersz dzielony przez współczynnik leżący na przekątnej (ai,i) • Metoda Gaussa-Siedla • Przyspieszenie obliczeń przez użycie tam gdzie to możliwe przybliżeń z kroku r+1

  31. Metoda Ritza dla

  32. Metoda Ritza

  33. Metoda Gaussa-Siedla

More Related