Modelos de crecimiento y metabolismo microbiano

1. Modelos de crecimiento y metabolismo microbiano Gustavo Viniegra González Universidad Autónoma Metropolitana, Iztapalapa, D.F.

2. CICLO DE VIDA DE UN MOHO

3. Macro cinética de A. niger Larralde-Corona et al., (1997) rA= densidad de superficie(mg/cm2) Al inicio: crecimiento exponencial Al final: densidad máxima rAmax Os valores de, rA y rAmax, dependen de laconcentraciónSo

4. Modelo macroscópico • La tasa específica de crecimiento, r, está definida como r = (1/X)dX/dt Se supone que, r, se anula cuando X, se aproxima a, Xmax. Modelo de vonBertanlanffy r = m{1 – (X/Xmax)n} X << Xmax r  m; X  Xmax, r  0

5. Consecuenciasdel modelo • Si n = 1; r, vs. X, es una recta. • Si n > 1; r vs. X, se inhibetardíamente. • Si n < 1; r vs. X, se inhibetempranamente. El caso más simple, n=1, (ecuación logística). Punto de inflexión a lamitaddelcrecimiento

6. ¿Por qué dejan de crecer los hongos filamentosos? • Deficiencias en algún factor de crecimiento y en el balance respiratorio. • Los ciclos celulares tienen puntos de control sobre los factores de crecimiento. • Cuando detectan una faltante, detienen el ciclo celular. • La inflexión de la curva ocurre antes de la transición respiratoria.

7. Respiración de Beauveriabassiana Salvado de trigo o cutícula de grilo. Dos fases respiratorias (Ikasari y Mitchell, 2000) • Crecimiento exponencial b) Autólisis de parte de labiomasa Datos: D. Rodríguez, tesisdoctoralenla UAMI, 2009

8. Modelo de Ikasari y Mitchell • Fase exponencial t tC; dX/dt = mX; X = X0exp(mt) Fase final t >tC; dX/dt = m(e-r(t-tc))X; X = Xcexp[(m/r)(1-e-r(t-tc))] t  ; X  Xce(m/r) = Xmax; (Xc/ Xmax) = e(m/r)

9. Interpretación fisiológica r = (1/X)(dX/dt); tasa específica de crecimiento Condiciones favorables  r= m; constante Condiciones desfavorables  r decrece exponencialmente con el tiempo.

10. Integración del Modelo I-M • (1/X) dX/dt = dln(X)/dt = m(e-r(t-tc)) • Integrando, entre XC y XF;y entre tC y t dln(X) = m (e-r(t-tc))dt ln(XF /XC) = (m/r)(1-e-r(t-tc)) Tomando antilogaritmos (XF /XC) =exp[(m/r)(1-e-r(t-tc))]

11. Modificación a Bertanlanffy • X = Xmax/[1+Cexp(-nm(t-tr))]1/n; t > tr • C = (Xmax/ X0)n -1; condición inicial y final. • Si t ; X = X0 ; supone un retardo para la germinación de las esporas.

12. Comparación de modelos (B vs. I-M) • Parámetros: Xo 0.05; Xmax = 0.882 XC = 0.220 • = 0.02/h; r = 0.144/h n = 1.23, tr = 10. 4 h La inflexión con B, antes que con I-M (problema numérico)

13. Sugerencia para los ajustes • La fase exponencial se puede medir con precisión (biomasa o respiración)  m • El nivel final también se puede medir  Xmax • Con esos datos se calcula el punto de inflexión por ajuste numérico . Para el modelo B (n, tr) Para el modelo I-M (tC, r)

14. Punto de inflexión (modelo B) • dX/dt = m{1 – (X/Xmax)n}X; x = X/Xmax • dx/dt = m{1 – (x)n} x = mx -m(x)n+1 • Inflexión d2x/dt2 = m[1 –(n+1)(x)n] = 0 x = [1/(n+1)] 1/n n = 1, x = ½. Logística. n < 1, x < ½. Inhibicióntemprana. n > 1, x > ½. Inhibicióntardía.

15. ¿Por qué ajusta la logística (n = 1)? Retardo, tr, despreciable. Punto de inflexión a la mitad de la curva (x = ½). R2 = 0.999 R2 = 0.952 Datos de E. Ortega (2012)

16. Metabolismo vs. Crecimiento • dx/dt = m(1-x)x; x = X/Xmax; s = S/S0 • -dS/dt = Xmax[(m/Y)(1-x)x+mx] • -dS/dx = Xmax{(1/Y) +m/[m(1-x)]} • -dS =(Xmax/Y)dx + (mXmax/m)dx/(1-x) • - DS  (Xmax/Y)Dx + (mXmax/m)ln[1/(1-x)] • Cuando, (m/m) << 1; - DS  (1/Y)DX

17. Correlación empírica (S vs X) • Cuando X/Xmax < ½ • - DS  (1/Y)DX • Y = (1/3.45) = 0.29 Es un rendimiento razonable para A. niger Datos de E. Ortega (2012)

18. Correlación de Pirt • 1/Y = 1/Yo + m/m Si: Y0 = 0.5; Y = 0.29; ¿m? m/m = 1/Y - 1/Yo= 3.45 – 2.00 = 1.45 Según Ortega (2012), m = 0.124/h  m = 1.45m = 0.19 gS/(gX*h)

19. Cómo se ajustan los datos • Se tiene un modelo matemático integrado. X = Xmax/[1+(Xmax/Xo – 1)exp(-mt)] • Se cuentan con suficientes datos (>2xNo. parámetros). • Para cada valor de, t, se calcula, X • Se estima S = (Xcalc – Xobs)2 • Se minimiza, S, variando los parámetros (Xmax, Xo, m) con la función Solver de Excel.

20. Conclusiones • El modelo general de Bertanlanffy puede seguir al modelo integrado de Ikasari y Mitchell. • Es razonable suponer que hay dos fases del crecimiento (exponencial y decaimiento) • El modelo logístico ajusta bien muchos datos empíricos. • Es fácil correlacionar el metabolismo con el crecimiento, usando el modelo de Pirt.

21. Problema 1 Un moho se cultiva sobre granos de almidón. Su tasa respiratoria se duplica cada 2.5 h durante el inicio del cultivo. Al final del cultivo se encuentra que Xmax = 0.5g/gS0. El inóculo tenia 4x106 esporas por g de S0. Las esporas tenían 85% de humedad y su diámetro era d = 2x10-4 cm. La transición respiratoria se observó a las 12 h. Construya la curva integrada de crecimiento (X vs. t), según el modelo I-M. Sugerencia: Calcule, r, suponiendo que XF = Xmax.

22. Problema 2 • Un cultivo de Pleurotusostreatus, crece conforme a la ecuación logística. Al principio, del cultivo se duplica cada 6h. Se inocula con 10 mg por g de materia seca en una fábrica que maneja 10 toneladas de paja (base seca) por tanda. • Calcule el tiempo necesario para que se produzca una tonelada de hongos (base seca).

23. Problema 3 • Thermoascusarianticus tiene un rendimiento Yx/O2 = 0.18 gX/gO2 y m = 0.013 gO2/(gX*h)‡. • Construya la ecuación de consumo de O2 según el modelo de Pirt y la ecuación logística. • Calcule el consumo de O2 (g/h) cuando se tienen dos toneladas de biomasa y el hongo se duplica cada 20 h. Suponga que el hongo se encuentra con la máxima tasa específica de crecimiento. ‡Datos de: dos Santos et al. Biotechnol. Let. 25: 23-26, 2003

24. Problema 4 • Estime, X0, Xmax y m, usando los datos anexos. • Construya las curvas, X, vs t; dX/dt vs. t. • Compare los datos empíricos con las curvas obtenidas. • Estime R2 (calculado vs. observado) Datos de E. Ortega (2012)