1 / 25

KOMBINATORIKA Jana Vojčíková 3.A

KOMBINATORIKA Jana Vojčíková 3.A. Obsah. Pravidlo súčtu Pravidlo súčinu Variácie a faktoriál Permutácie Kombinácie Pascalov trojuholník Binomická veta Príklady. Pravidlo súčtu.

salvador-perkins
Download Presentation

KOMBINATORIKA Jana Vojčíková 3.A

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. KOMBINATORIKA Jana Vojčíková 3.A

  2. Obsah • Pravidlo súčtu • Pravidlo súčinu • Variácie a faktoriál • Permutácie • Kombinácie • Pascalov trojuholník • Binomická veta • Príklady

  3. Pravidlo súčtu • Množinu M rozdeľujeme na disjunktné (M1 ∩ M2 ∩....MK=Ø ) množiny M1M2...MK • Počet prvkov množiny M sa vypočíta ako súčet počtu prvkov množiny M1 , M2 , ....MK

  4. Príklad • V triede je 20 dievčat a 10 chlapcov.Koľko žiakov je v triede? • Počet všetkých žiakov- množina M.Dievčatá |M1|=20 , chlapci |M2|=10. • Disjunktné • |M|=|M1|+|M2| • 30 žiakov Ø

  5. Ak A ∩ B ≠Ø(A , B nie sú disjunktné ), potom |M|=|A|+|B|-|A ∩ B|

  6. Príklad • V triede - 20 anglič., 14 nemč., 7 aj Nem aj Aj. Koľko žiakov je v triede? • Počet všetkých žiakov- množina M. Aj- |A|=20 , Nem- |B|=14. • |M|=|A|+|B|-|A ∩ B| • |M|=20 + 14 – 7 • |M|=27 7

  7. Pravidlo súčinu • Ak prvý predmet môžeme vybrať m spôsobmi a po tomto výbere môžem druhý predmet vybrať n spôsobmi , tak obidva predmety za sebou môžem vybrať m x n spôsobmi.

  8. Príklad • Koľko 2-členných hliadok možno zostaviť z 8 vojakov , ak prvý ma byť veliteľ??? • 8 x 7 =56

  9. Variácie a faktoriál • Variácie s opakovaním • Faktoriál • Variácie bez opakovania

  10. Variácie s opakovaním • Nech M je množina , kt. obsahuje n prvkov.Každá usporiadaná k-tica zostavená z množiny M , v kt. sa prvky môžu opakovať je variácia k-tej triedy z n prvkov s opakovaním. • Počet : V'k(n)=nk

  11. Príklad • Koľko 4-ciferných prirodzených čísel možno napísať pomocou číslic 5 , 6 , 7? • M={5,6,7} • V'4(3)=3 x 3 x 3 x3=81 • (var. 4.triedy z 3 prvkov s opakovaním)

  12. Faktoriál =! • Def : Ak u je prirodzené číslo , tak u! sa vypočíta ako u!=u x (u-1)(u-2).....2 x 1 • 5!=5 x 4 x 3 x 2 x 1=120 • 6!=720 • 0!=1

  13. Variácie bez opakovania • Def: Nech M je množina , kt. obsahuje n prvkov. Každá usporiadaná k-tica zostavená z prvkov tejto množiny , v kt. sa prvky nemôžu opakovať je varácia k-tej triedy z n-prvkov bez opakovania.

  14. Príklad • Koľko rôznych vlajok v tvare trikolóry možno vytvoriť z farieb B , M , Č , Z , Ž bez opakovania? • VK(n)= n ! (n-k)! k=3 , n=5....V3(5)=60

  15. Permutácie • Permutácie bez opakovania • Permutácie s opakovaním

  16. Permutácie bez opakovania • Na pretekoch sa zúčastnili A , B , C , D , E .Koľkými spôsobmi mohli dobehnúť do cieľa??? (5!=120) • Def: Variácie n-tej triedy z n prvkov bez opakovania sú permutácie z n prvkov • Ich počet: Pn(n)=Vn(n) = n ! = n!= P(n)=n! (n-n)! Z ? prvkov možno utvoriť 40 320 permutácii?? P(n)=n!.............n! = 40 320......n=8

  17. Permutácie s opakovaním • Nech M je množina , kt. obsahuje n prvkov , v kt. sa jeden prvok opakuje n1-krát ,2 prvok sa opakuje n2-krát ...k-tý prvok sa opakuje nk-krát ( počty opakovaní sa musí rovnať celému n: n1+n2 + ....+ nk= n).Každá usporiadaná n-tica tejto množiny je permutácia s opakovaním. • Ich počet:

  18. Príklad • V obchode majú 6M , 2B , 4Ž tričiek , ? spôsobmi ich môžu zavesiť na stojan?? • P6,2,4(12)= 12! __ = 13 860 6! 2! 4!

  19. Kombinácie • Def: nech M je množina , kt. obsahuje n prvkov. Každá k-prvková podmnožina je kombinácia k-tej triedy z n prvkov(bez opakovania) • Koľko zápasov (futbal) sa odohrá , ak na turnaji sú 4 družstvá a hrá každý s každým?? • C2(4)= =4!___ = 24 = 6 (4-2)!2! 2 . 2

  20. Pascalov trojuholník

  21. Binomická veta • (a+b)0=1 • (a+b)1=1a+1b • (a+b)2=1a2+2ab+1b2 • (a+b)3=1a3+3a2b+3ab2+1b3 • (a+b)4=1a4+4a3b+6a2b2+4ab3+1b4 • (a+b)5=1a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b5

  22. (x+1)5= x5+ 5x4+ 10x3+ 10x2+ 5x+ 1 Čísla v jednom riadku Pascalovho trojuholníka sú vlastne koeficienty rozvoja (a+b)n pre odpovedajúce n. Napríklad n=3 ......(a+b)3=1a3+3a2b+3ab2+1b3

  23. (a-b)n=(a+(-b) )n • (x-1)5= x5 - 5x4 + 10x3 - 10x2 + 5x - 1

  24. Príklady • 1.V malej knižnici sú 20 prírodných a 14 vedeckých kníh.Z toho sú 5 knihy prírodovedecké.Koľko kníh je v knižnici? (29 kníh) • 2. Koľkými spôsobmi môžeme na poličku uložiť 6 kníh ???(720) • 3. slovo –MANHATTAN..Koľko slov je možno napísať bez opakovania pismen?? • 4.Koľkými spôsobmi môžeme na policu umiestniť 3M , 2B , 3Č hrnčeky tak , aby a) hrnčeky rovnakej farby nemuseli byť pri sebe ? b) hrnčeky rovnakej farby museli byť pri sebe ?

  25. Ďakujem za pozornosť

More Related