1.15k likes | 1.29k Views
Dominók és kombinatorika. Hajnal Péter SZTE, Bolyai Intézet. A szereplők. Dominó. A szereplők. Dominó Tábla. A szereplők. Dominó Tábla Mezők, szomszédság (4-szomszédság). A szereplők. Dominó Tábla Fedés. Lefedhető-e?. ALAPPROBLÉMA: Adott T tábla.
E N D
Dominók és kombinatorika Hajnal Péter SZTE, Bolyai Intézet
A szereplők • Dominó
A szereplők • Dominó • Tábla
A szereplők • Dominó • Tábla • Mezők, szomszédság (4-szomszédság)
A szereplők • Dominó • Tábla • Fedés
Lefedhető-e? • ALAPPROBLÉMA: Adott T tábla. Lefedhető-e?
Lefedhető-e? • 0. Feladat: Lefedhető-e az alábbi tábla dominókkal?
Lefedhető-e? • 0. Feladat: Lefedhető-e az alábbi tábla dominókkal? • NEM • Fedés esetén páros sok mezőnek kell lenni.
Lefedhető-e? • 0.5 Feladat: Lefedhető-e az alábbi tábla dominókkal?
Lefedhető-e? • 0.5 Feladat: Lefedhető-e az alábbi tábla dominókkal? • NEM • A két fekete mezőnek egy szomszédja van.
Lefedhető-e? • 1. Feladat: Egy sakktábla két átellenes sarokmezőjét elhagyjuk. Lefedhető-e a maradék tábla dominókkal?
Lefedhető-e? • 1. Feladat: Egy sakktábla két átellenes sarokmezőjét elhagyjuk. Lefedhető-e a maradék tábla dominókkal?
Lefedhető-e? • 1. Feladat: Egy sakktábla két átellenes sarokmezőjét elhagyjuk. Lefedhető-e a maradék tábla dominókkal? • NEM • Minden dominó egy fehér és egy fekete mezőt fed le. 32 fekete és 30 fehér mezőnk van.
Lefedhető-e? • 1. Feladat: Egy sakktábla két átellenes sarokmezőjét elhagyjuk. Lefedhető-e a maradék tábla dominókkal? • NEM • 32 fekete mezőnknek a szomszédsága 30 fehér mező.
Lefedhető-e? • Tétel:Egy tábla akkor és csak akkor nem fedhető le dominókkal, ha valamelyik színben kijelölhető néhány mező úgy, hogy szomszédainak száma kevesebb legyen mint a kijelölt mezők száma.
Lefedhető-e? • Probléma: Adott tábla lefedhető-e dominókkal? • Válasz: NEM • Bizonyítási séma: Adjunk meg valahány azonos színű mezőt úgy, hogy szomszédaik kevesebben legyenek mint ők maguk. • Tétel:A fenti séma egy teljes séma.
Lefedhető-e? • Adott egy T tábla. Lefedhető-e? IGEN Hány fedés van? NEM Maximum hány dominó rakható le?
Lerakható dominók maximális száma • 2. Feladat: Maximum hány dominó rakható le az alábbi táblára?
Lerakható dominók maximális száma • 16 dominó könnyen larakható:
Lerakható dominók maximális száma • 16 fekete, 24 fehér mező. Minden dominó 1 fekete mezőt fed le. • Maximum 16 dominó rakható le.
Lerakható dominók maximális száma • 3. Feladat: Maximum hány dominó rakható le az alábbi táblára?
Lerakható dominók maximális száma • 7 dominó könnyen lerakható:
Lerakható dominók maximális száma • 8 fekete mezőt, 3 fehér szomszéddal jelöltünk be. • A bejelölt 8 fekete mezőből legfeljebb 3 lehet fedve.
Lerakható dominók maximális száma • 8 fekete mezőt, 3 fehér szomszéddal jelöltünk be. • A bejelölt 8 fekete mezőből legfeljebb 3 lehet fedve. Legalább 5 fekete mező fedetlen.
Lerakható dominók maximális száma • 6 fehér mezőt, 2 fekete szomszéddal jelöltünk be. • A bejelölt 6 fehér mezőből legfeljebb 2 lehet fedve. Legalább 4 fehér mező fedetlen.
Lerakható dominók maximális száma • Összesen 12 fekete és 11 fehér mező: • Legfeljebb 12-5=11-4=7 dominó rakható le.
Lerakható dominók maximális száma • Probléma: Adott T tábla. Maximum hány dominó rakható le? • Válasz:k
Lerakható dominók maximális száma • Probléma: Adott T tábla. Maximum hány dominó rakható le? • Válasz:k • I. séma: Mutassunk fel egy M dominó lerakást, amelyben k dominó szerepel. • Legyen d az M által lefedetlen fekete mezők száma.
Lerakható dominók maximális száma • Probléma: Adott T tábla. Maximum hány dominó rakható le? • Válasz:k • I. séma: Mutassunk fel egy M dominó lerakást, amelyben k dominó szerepel. • II. séma: Adjunk meg s+d fekete színű mezőt úgy, hogy s szomszédja legyen.
Lerakható dominók maximális száma • Probléma: Adott T tábla. Maximum hány dominó rakható le? • Válasz: k • I. séma: Mutassunk fel egy M dominó lerakást, amelyben k dominó szerepel. • II. séma: Adjunk meg s+d fekete színű mezőt úgy, hogy s szomszédja legyen. • Tétel:Ez egy teljes séma.
Hányféleképpen fedhető le? • 4. Feladat: Az alábbi tábla hányféleképpen fedhető le dominókkal? • Válasz=V(tábla oszlopainak száma) • V(16)=?
Hányféleképpen fedhető le? • Első fajta indulás: • V(n-1)-féle befejezés.
Hányféleképpen fedhető le? • Első fajta indulás: • V(n-1)-féle befejezés. • Második fajta indulás: • V(n-2)-féle befejezés.
Hányféleképpen fedhető le? • Kaptuk: V(n)=V(n-1)+V(n-2).
Hányféleképpen fedhető le? • Kaptuk: V(n)=V(n-1)+V(n-2). • Egyszerű: V(0)=1, V(1)=1, V(2)=2.
Hányféleképpen fedhető le? • Kaptuk: V(n)=V(n-1)+V(n-2). • Egyszerű: V(0)=1, V(1)=1, V(2)=2. • Teljes indukció: V(n)= Fibonacci-számok.
Hányféleképpen fedhető le? • 5. Feladat: Az alábbi tábla hányféleképpen fedhető le dominókkal? • Válasz=V’(tábla oszlopainak száma) • V’(16)=? • V’(2k+1)=0, V’(2k)=?
Hányféleképpen fedhető le? • Lehetséges kezdések: …
Hányféleképpen fedhető le? • V’(n)=3V’(n-2)+2V’(n-4)+2V’(n-6)+2V’(n-8)+... • V’(n-2)= 3V’(n-4)+2V’(n-6)+2V’(n-8)+… • V’(n)-V’(n-2)=3V’(n-2)-V’(n-4) • V’(n)=4V’(n-2)-V’(n-4) • Könnyen számolható: V’(0)=1,V’(2)=3, V’(4)=11
Hányféleképpen fedhető le? • 6. Feladat Bizonyítsuk be, hogy V’(16) páratlan.
Hányféleképpen fedhető le? • Egy tábla típus:
Hányféleképpen fedhető le? • Azték gyémánt, AGy(n): n
Hányféleképpen fedhető le? • Azték gyémánt, AGy(n): • Kék mezők száma: n =n(n-1)/2 Összes mezők száma: 4 n
Hányféleképpen fedhető le? AGy(2) fedései:
Hányféleképpen fedhető le? Tétel: n AGy(n) fedéseinek száma 2 .
Hányféleképpen fedhető le? • Egy tábla típus: • N(2n)
Hányféleképpen fedhető le? Tétel: N(2n)-nek fedése van.
A fedések összessége • 7. Feladat: Bizonyítsuk be, hogy N(2n) minden fedésében van két szomszédos dominó: