Io e i Numeri

1. Matematiche elementari da un punto di vista superiore Io e i Numeri Sintesi dei lavori Galimberti Alessandra II anno Scienze della Formazione Università Cattolica del Sacro Cuore, Milano

2. Contenuti • I numeri oggi (spunto didattico) • Richiami e approfondimenti sull’evoluzione dei numeri • I numeri cinesi • La scuola finlandese vincitrice secondo il rapporto OCSE Modalità Lettura del libro Luisa Girelli “Noi e i numeri” Lettura dei rapporti OCSE di PISA e dei relativi articoli Condivisione delle impressioni personali Ricerche di approfondimento su WEB I numeri….. un percorso affascinante verso un mondo forse ancora poco conosciuto………

3. I numeri nella nostra vita (Spunto didattico) Dove sono i numeri oggi?...un semplice esercizio da fare ai bambini per stimolare la loro Osservazione e capacità di classificazione su categorie concettuali. …. Codificare Matricola Conto corrente Targa automobile … Ordinare Numeri civici Calendario Pagine di un libro … Classificare Azioni/effetti Per poi suscitare curiosità Verso la storia e fare lezioni sulla loro storia storia…. Cellulare Telecomando Telefono … Contare Soldi Tempo … Che percorso ha permesso tutto questo? E’ una lunga storia a partire dalla nostra innata capacità di contare...

4. LA NASCITA DEL CONTARE…INNATA Osso di Ishango Scoperto nel 1960 dal belga Jean de Heinzelin de Braucourt durante una campagna esplorazione vicino Ishango vicino al confine tra l'Uganda e il Congo. La popolazione che nel 20.000 a.C. abitava le rive del lago potrebbe essere stata tra le prime a utilizzare i numeri per contare; purtroppo questa società durò poche centinaia di anni perché fu distrutta da un'eruzione vulcanica Colonna centrale inizia con tre tacche (leggendo da destra verso sinistra) e subito 6 tacche (il doppio). Lo stesso per il 4, seguito da 8. Poi inverte il sistema 10 seguito dal 5. Questi numeri, quindi, non sonocasuali, ma suggeriscono una qualche comprensione della moltiplicazione e divisione per 2. L'osso può essere stato utilizzato come uno strumento di "calcolo" per semplici procedure matematiche Le tacche su entrambi i lati della colonna centrale parrebbero indicare una maggiore capacita di "calcolo". Su entrambe le colonne di destra e sinistra sono tutti dispari (9, 11, 13, 17, 19 e 21). nella colonna sinistra sono tutti numeri primi compresi tra 10 e 20 sulla colonna destra sono composti nella maniera 10 + 1, 10 - 1, 20 + 1 e 20 - 1. Se si sommano i numeri presenti sulle colonne esterne possiamo ottenere i totali 60 e 48 nella colonna centrale, entrambi divisibili per 12; si ritrovano ancora i concetti di moltiplicazione e divisione

5. LA NASCITA DEL CONTARE….INNATA Un osso istoriato di tacche trasversali e da incisioni di forma circolare proviene da Abri Lartet, regione di LesEyzies de Tayac sita nel Perigord francese. Questo oggetto, appartenente al Periodo Aurignaziano (30.000 a.C.), presenta serie di incisioni di 29 e 30 segni abbinate a cinque gruppi di tacche. I segni circolari sembrerebbero, anche in questo caso, avere la forma delle varie fasi lunari, riprodotte con la medesima sequenza che appaiono nella realtà. Secondo gli studiosi il conteggio delle lunazioni su questo oggetto venne fatto più volte e rappresenterebbe i giorni contenuti in un mese sinodico. Osso di Lartet

6. I GETTONI DEI SUMERI Le somme e sottrazioni venivano eseguite aggiungendo o togliendo gettoni, la moltiplicazione veniva eseguita come somma ripetuta (per esempio per moltiplicare 27 per 5 si sommava 27 cinque volte) e la divisione si effettuava tramite "spicciolature" successive e suddivisione in mucchietti La numerazione è additiva, cioè i numeri venivano scritti disponendo uno accanto all'altro i simboli fondamentali occorrenti. Come si vede un ruolo speciale spetta, accanto al 10, al numero 60.   le somme e sottrazioni venivano eseguite in modo ovvio e cioè aggiungendo o togliendo gettoni (nel caso della sottrazione poteva essere necessario prima “spicciolare” un gettone di valore maggiore in gettoni di valore minore, come facciamo con le monete); la moltiplicazione veniva eseguita tramite somme ripetute (ad esempio per moltiplicare 123 per 32, si sommava il 123 per 32 volte); ed infine anche la divisione si poteva effettuare, tramite "spicciolature" successive e divisione in mucchietti. Per esempio per fare 60: 3 bisognava “spicciolare” un grosso cono da 60 in 6 bilie da dieci che si potevano dividere in 3 mucchietti uguali, ognuno contenente  2 bilie, da cui si ricavava che 60:3 = 20 .

7. I GETTONI DEI SUMERI Esempio di divisione

8. LA NUMERAZIONE BABILONESE il passaggio successivo fu quello di utilizzare, invece dei gettoni, delle tavolette di argilla su cui venivano disegnate le forme dei gettoni stessi, ottenendo così una delle più antiche forme di "scrittura dei numeri", con la nascita di vere e proprie "cifre" scritte, come simboli numerici. Questo metodo di scrittura cambiò successivamente sotto i Babilonesi, che adottarono invece una più evoluta scrittura cuneiforme, sempre su tavolette d'argilla, nella quale il valore dei simboli è posizionale, come nella nostra scrittura, ma in base 60 (con base ausiliaria 10). La mancanza dello zero portava a rischi di ambiguità.

9. LA NUMERAZIONE GRECA • i numeri da uno a quattro erano rappresentati da trattini verticali ripetuti. Per il numero cinque si adottava un nuovo simbolo: la prima lettera (o ) della parola cinque, pente. • Vi erano poi altri simboli per il dieci e le sue potenze come si vede nel seguente semplice schema riassuntivo sistema erodianico Il più antico Questo sistema di scritture è additivo, in quanto più simboli l'uno accanto all'altro significano la somma dei loro singoli valori, ma anche moltiplicativo, in quanto un simbolo sotto un altro indica il prodotto dei due 45.678 sistemaionico V secolo a.C. (anche se c'è chi ipotizza risalga all'VIII secolo a.C.). Maiuscole Minuscole

10. LA NUMERAZIONE GRECA utilizza sempre le lettere dell'alfabeto: nove per i numeri interi inferiori a 10, nove per i multipli di 10 inferiori a 100, e nove per i multipli di 100 inferiori a 1000. L'alfabeto greco dell'Età classica contiene soltanto ventiquattro lettere; pertanto si dovette far uso di un alfabeto più antico che comprendeva tre lettere arcaiche addizionali, (vau o digamma o stigma), (coppa) e (sampi), in modo da stabilire la seguente associazione di lettere e numeri: sistemaionico I caratteri speciali Per i primi nove multipli di mille, ricorreva alle prime nove lettere dell'alfabeto; ciò rappresentava un uso parziale del principio di posizione. Ma per maggiore chiarezza queste lettere erano fatte precedere da un trattino o apice in basso (o iota): L'uso delle stesse lettere per indicare le migliaia e le unità avrebbe dovuto indurre i greci a fare il passo definitivo verso il principio di posizione dell'aritmetica decimale; non sembra, però, che essi si rendessero conto dei vantaggi offerti da tale innovazione. Questo sistema, rimane a tutti gli effetti un sistema non posizionale

11. LA NOTAZIONE POSIZIONALE IN BASE 10 I primi esempi noti di una scrittura numerica basata sui seguenti elementi: notazione posizionale,  base dieci, presenza dello zero,  nove simboli (cifre) oltre lo zero risalgono al V secolo d.C. (nel trattato indiano di cosmologia Lokavibhaga, 485 d.C.); questo metodo si diffuse piuttosto rapidamente in India e in Indocina, come è confermato dai documenti che testimoniano l'uso di tale cifre per eseguire i conti, già nel secolo successivo.Nel 773, arrivò a Bagdad un'ambasciata indiana con un omaggio per il califfo Mansour ed ai suoi saggi: il calcolo e le cifre. Muhammad ibn Musa al-Khuwârizmi scrisse il primo testo in lingua araba presentando la numerazione indiana posizionale nel IX secolo (dal suo nome deriva la parola "algoritmo"). Nel X secolo, il monaco francese Gerbert d'Aurillacapprese il nuovo metodo dai Mori di Spagna e iniziò a introdurlo in occidente, specialmente dopo esser divenuto Papa nel 999, col nome di Silvestro II.   Le tracce di uso della numerazione indo-araba in Europa sono comunque scarse fino al XIII secolo, quando il matematico pisano Leonardo Fibonacci (che aveva viaggiato molto fra gli arabi) scrisse il LiberAbaci, che illustra il sistema posizionale ed il suo uso, e che fu il testo che più contribuì alla sua introduzione sistematica in Europa Manoscritto indiano del Vi secolo

12. L’ABACO Esemplare di antico Abaco romano, in metallo con palline scorrevoli in scanalature Strumento per "far di conto" che ebbe la vita più lunga nel continente europeo (e anche altrove, con forme diverse) fu l'Abaco. usato prima dai Greci poi dai Romani rimase in uso in Europa fino quasi al 1700 e oltre. • una tavola divisa in sezioni che rappresentano unità, decine, centinaia, ecc. (come le cifre nel nostro sistema posizionale). In tali sezioni si posano dei gettoni con cui eseguire i conteggi; in questo caso i gettoni non hanno un valore assegnato, essi indicano sempre una unità del tipo indicato dalla colonna in cui si trovano. La parola stessa "calcolo" viene dal latino "calculus" = sassolino, nome usato per i gettoni dell'abaco. Versione semplice e Versione modificata

13. LA NUMERAZIONE CINESE Antichità • Gli antichi cinesi avevano sviluppate notazioni basate su corde e nodi, nodi bianchi per i numeri dispari, richiamanti le giornate, nodi neri per i pari, assegnati alle notti. Ci sono poi i cosiddetti "numeri-bacchetta" o "numeri-asta" per il lavoro matematico-scientifico, usati dal II secolo a.C. Venivano usate bacchette rosse e nere che rappresentavano numeri positivi e negativi (e per questo motivo la matematica cinese è stata una delle prime ad elaborare motivi algebrici e forse ad influenzare in questo l'India). Verso il moderno A partire dal III secolo a.C. circa, i Cinesi cominciano a usare 13 segni. 1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-100-1000-10000

14. LA NUMERAZIONE CINESE 79.564 qiwanjiuqianwu bai liùshi sì = (7x10.000)+(9x1000)+(5x100)+(6x10)+4 487.390.629 sì wanwanbaqianwanqi bai wan san shìwanjiuwanliù bai ershìjiu (4x10.000x10.000)+(8x1000x10.000)+ (7x100x10.000)+(3x10x10.000)+(9x10.000)+(6x100)+(2x10)+9 Ho letto dell’esistenza di modi più economici ma anche più ambigui di rappresentazione che non approfondisco

15. LA NOTAZIONE ATTUALE I caratteri normali compaiono nella vita di tutti i giorni, sono quelli insegnati alla scuola elementare. Esistono anche delle versioni dette guanzi(“cifre ufficiali”) usate per atti pubblici di acquisto e vendita, o per scrivere gli importi degli assegni. Sono più elaborate, e sono usate allo scopo di evitare frodi (da questo la descrizione “cifre finanziarie”). In alcune cifre finanziarie vengono riportate 2 versioni: tradizionale (T) e semplificata (S) tale differenza nasce durante la rivoluzione maoista, in cui è stata creata una commissione che semplificasse per quanto possibile i caratteri cinesi Attualmente la versione semplificata è quella usata in Cina, mentre a Taiwan si usa la versione tradizionale Figura 6: Cifre cinesi usate normalmente e in ambito finanziario (T=versione tradizionale, S=versione semplificata)

16. LO ZERO CINESE SunTzuSuanChing (“SunTzu’s ClassicCalculation”) scritto da SunTzu e datato dal V al III secolo a.C. si parla dell’importanza di conoscere le posizioni e la struttura dei numeri. Fino all’VIII secolo d.C., lo zero non era indicato da un simbolo, ma la sua posizione veniva lasciata vuota. Manoscritti Thang delle grotte-tempio di Tunhuang nel rotolo intitolato “Li-ChengSuanChing” vi sono tabelle moltiplicative dove ad esempio il 405 è rappresentato con un 4 e un 5 separati da uno spazio. Il simbolo dello zero appare per la prima volta stampato nel Su ChiuChang di ChinChiu-Shao (1247) si ritiene che possa essere stato usato da un secolo almeno, e l’uso potrebbe essere stato importato dall’India, ma non vi sono prove. Attualmente lo zero viene indicato come (ling) Originariamente indicava le goccioline di pioggia all’esaurirsi della tempesta, o le goccioline che rimangono sugli oggetti in seguito indicò “quello che resta” Nel rappresentare numeri come 105, l’idea era di avere 100, più quello che resta, ovvero altri 5 Lo zero, come cerchio vuoto, somiglia a una gocciolina d’acqua, per cui veniva chiamato ling.

17. CONCLUSIONI • La rappresentazione dei numeri cinese ha una storia, plurimillenaria • Alcuni elementi caratterizzanti sono rimasti costanti nel tempo, come : • la base decimale • il sistema posizionale. • Nella civiltà cinese sono emerse parecchie idee interessanti in maniera in • alcuni casi sicuramente indipendente, in altri, come nell’introduzione dello zero, • non del tutto indipendente, ma comunque lo spirito matematico di tale civiltà è • stato ben presente fin dalle origini.

18. LA SCUOLA IN FINLANDIA. MOTIVI DI SUCCESSO Secondo il rapporto OCSE di Pisa 2006, la Finlandia si pone al primo posto sui test che dovevano riscontrare le conoscenze dei ragazzi e la loro capacità di comprensione La ricerca compiuta ha messo in luce come il successo sia l’esito di uno sforzo organizzativo globale che ha saputo portare ottimi benefici sui diversi aspetti (finanziamenti, struttura, formazione docenza, programmi ecc ) del mondo scuola e incentivare l’interesse dei ragazzi. Nella pagine seguenti sintetizziamo : i motivi emersi valutando un poco il sistema scolastico finlandese Alcune testimonianze trovate su blog web di docenti e alunni Attenzione… Come sempre le cose da lontano sembrano più belle…. Certo, alcune cose sono da prendere come esempio, ma molte sono già presenti anche da noi. Basta con il vederci sempre in negativo…..

19. LA SCUOLA IN FINLANDIA. MOTIVI DI UN SUCCESSO

20. LA SCUOLA IN FINLANDIA. MOTIVI DI UN SUCCESSO

21. LA SCUOLA IN FINLANDIA. Testimonianze dei docenti SannaPakkanen, laureata in fisica e insegnante di matematica e scienze “ Imparare è fare ” e anche per capire l’algebra o la fisica bisogna usare il cervello, gli occhi, le orecchie e le mani ”. HiekkiLauttasaaren • “ La forza della nostra scuola è che è gratuita, paritaria, flessibile….e inflessibile ”

22. LA SCUOLA IN FINLANDIA. Testimonianze degli alunni << Non so se i finlandesi sono i migliori del OCSE – Pisa, ma diciamo che non sarebbe una sorpresa… Specialmente dopo il mio anno in Italia, ho iniziato a apprezzare la nostra sistema di scuola molto di più…Io penso che il problema in Italia è che le persone devono studiare a casa e poi vengono a scuola a fare l’interrogazione in cui devono proprio ricordare tutto a memoria parola a parola e poi se gli chiedi “perché?”, non sanno rispondere perché non hanno davvero capito quello che hanno studiato… in Finlandia invece io a volte non studiavo niente a casa e prendevo otto o nove dal compito soltanto perché avevo capito le cose durante le lezioni… e in Finlandia nel liceo i professori non guardano se io ho fatto i compiti a casa, lì loro pensano che siamo assai adulti per decidere le nostre cose e cmnq fa male a noi se non studiamo perché è la nostra vita. E questo fatto ci dava la possibilità di studiare di più quella materia che per noi era difficile e meno quella che era facile. E ci sono anche altre cose che non mi piacevano nella scuola italiana, per esempio l’ingelse… Io non ho mai nella mia vita studiato per esempio shakespeare qui in Finlandia, qui è importante che io so parlare inglese, invece in Italia voi studiate 2-3 anni la grammatica e poi iniziate a studiare shakespeare il quale scriveva inglese che nemmeno Samantha, che parla ingelse come la lingua materna, capiva totalmente… quindi come le persone possono imparare a parlare inglese, se studiano quel modo della lingua che è morto cento anni fa…questi sono i miei pensieri “

23. Livelli di competenza OCSE PISA – Matematica Livello 6 Concettualizzazione, generalizzazione e uso di informazioni basate su situazioni e problemi complessi. Collegamento fra diverse fonti di informazioni e forme di rappresentazione differenti, in seguito combinazione di diversi elementi. Sviluppo di nuove soluzioni e strategie di gestione di situazioni non familiari. Livello 5 Sviluppo e utilizzazione di modelli per situazioni complesse. Scelta, confronto e valutazione di strategie opportune per affrontare problemi complessi. Utilizzazione strategica di forme di rappresentazione adatte e applicazione di conoscenze riferite alle situazioni. Livello 4 Utilizzazione corretta di modelli espliciti per situazioni complesse. Scelta e integrazione di varie forme di rappresentazione e loro collegamento con aspetti di situazioni reali, argomentazione flessibile. Livello 3 Svolgimento di procedure descritte chiaramente, comprese quelle che presuppongono decisioni sequenziali. Utilizzazione e interpretazione di rappresentazioni basate su varie fonti di informazioni e capacità di trarne delle conclusioni dirette. Livello 2 Estrazione di informazioni pertinenti da un’unica fonte e comprensione di un’unica forma di rappresentazione. Applicazione di algoritmi, formule, procedure o convenzioni fondamentali. Livello 1 Risposte a domande formulate in un contesto familiare, contenenti tutte le informazioni pertinenti e definite chiaramente. Svolgimento di procedimenti di routine secondo istruzioni dirette.