Kaprekar E I SUOI NUMERI

1. Kaprekar E I SUOI NUMERI Chi non conosce la matematica difficilmente riesce a cogliere la bellezza, la più intima bellezza, della natura. R.P. Feynman

2. cenni biografici Dattaraya Ramchandra Kaprekar (Dahanu, 17 gennaio 1905 – Deolali, 1986) è stato un matematico indiano, che ha ottenuto diversi risultati di Teoria dei numeri, tra i quali una classe di numeri e di costanti a cui ha dato il nome. A lui si deve anche la definizione dei numeri di Harshad. Pur non avendo alcuna formazione post-laurea e lavorando come insegnante, pubblicò diversi articoli scientifici e divenne noto nei circoli di Matematica ricreativa. Kaprekar studiò presso la scuola superiore di Thane ed il Fergusson College di Pune. Nel 1927 vinse il premio Wrangler R. P. ParanjpeMathematical per l'originalità del suo lavoro nel campo della Matematica. Successivamente frequentò l’Università di Mumbai, laureandosi nel 1929. Poiché non ebbe mai una formazione accademica superiore, per tutta la sua carriera (1930-1962) lavorò come insegnante nella scuola di Nashik nella regione indiana del Maharashtra. Pubblicò diversi articoli su argomenti, allora considerati di matematica ricreativa, quali i decimali ricorrenti, i quadrati magici ed interi con proprietà speciali.

3. I NUMERI DI KAPREKAR In matematica, un numero di Kaprekar in una data base è un numero intero non-negativo, il cui quadrato nella data base sia un numero che può essere diviso in due parti tali che, sommate tra loro, diano di nuovo il numero di partenza. Per esempio, 297 è un numero di Kaprekar in base 10, perché 297² = 88209, che si può dividere in 88 e 209, e 88 + 209 = 297. La seconda parte può iniziare con uno zero, ma deve essere un numero positivo. Per esempio, 999 è un numero di Kaprekar in base 10, poiché 999² = 998001, che si può dividere in 998 e 001, e 998 + 001 = 999. Invece 100 non lo è perchè anche se 100² = 10000 e 100 + 00 = 100, la seconda parte (00) non è un numero positivo. Volendo formulare la cosa in termini matematici, si prenda un numero X che sia intero e non negativo. X è un numero di Kaprekar in base b se esistono dei numeri interi non negativi n, A e B che soddisfino le tre condizioni seguenti: 0 < B < bnX² = Abn + BX = A + B I primi numeri di Kaprekar in base 10 sono: 1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223, 2728, 4879, 4950, 5050, 5292, 7272, 7777, 9999, 17344, 22222, 38962, 77778, 82656, 95121, 99999, 142857, 148149, 181819, 187110, 208495, 318682, 329967, 351352, 356643, 390313, 461539, 466830, 499500, 500500, 533170. Nella numerazione binaria, tutti i numeri perfetti pari sono numeri di Kaprekar. Per ogni base esistono infiniti numeri di Kaprekar; in particolare, per una data base b tutti i numeri di forma bn - 1 sono numeri di Kaprekar.

4. … Nel 1947 il matematico Dattathreya Ramachandra Kaprekar escogitò un processo oggi noto come ‘’operazione di Kaprekar’’. L’operazione di Kaprekar prevede in tutto cinque semplici passaggi: 1) Scegliere un numero di quattro cifre che non siano tutte uguali; 2) Risistemare le cifre in modo da ottenere il numero più grande possibile e annotarlo; 3) Disporre nuovamente le cifre così da avere il numero più piccolo possibile; 4) Sottrarre il più piccolo al più grande; 5) Ripetere il procedimento dal punto 2. È sì una semplice operazione, ma proprio attraverso questo gioco Kaprekar giunse ad un risultato sorprendente. Proviamo ad esempio con il numero 2005: il massimo numero che è possibile ottenere è 5200, mentre il minimo 0025 o, più semplicemente, 25. Infatti, se tra le cifre presenti vi è uno 0 o più, questi non vanno considerati nel formare il numero più piccolo. Le sottrazioni saranno le seguenti: • 5200 – 0025 = 5175 • 7551 – 1557 = 5994 • 9954 – 4599 = 5355 • 5553 – 3555 = 1998 • 9981 – 1899 = 8082 • 8820 – 0288 = 8532 • 8532 – 2358 = 6174 • 7641 – 1467 = 6174 Quando si raggiunge 6174, l’operazione si ripete uguale all’infinito, ritornando ogni volta a 6174. Il numero 6174 è conosciuto come la costante di Kaprekar

5. 6174:IL MISTERO DIETRO UN NUMERO Il numero 6174 è il fulcro dell'operazione di Kaprekar. Ma è una semplice coincidenza o c’è qualcosa di ancor più sorprendente? Se si prova, ad esempio, con il numero 1789, cosa si ottiene? Proviamo: • 9871 – 1789 = 8082 • 8820 – 0288 = 8532 • 8532 – 2358 = 6174 • Otteniamo di nuovo 6174! Con il numero 2005, il sistema arriva a 6174 in sette passaggi mentre per il 1789 solo in tre. In realtà, si ottiene il numero magico 6174 in tutti i casi ad eccezione di quando si sceglie un numero che ha le cifre tutte uguali (es. 6666 – 6666 = 0!) o che ne ha tre uguali e un’unica diversa più grande o più piccola di un’unità (es. 4443 – 3444 = 999 oppure 8777 – 7778 = 999!). È meraviglioso, non è così? Nella sua semplicità, l’operazione di Kaprekar fornisce un risultato sicuramente interessante che aumenta ancor più la sua singolarità se si riflette sulla ragione per cui tutti i numeri di quattro cifre approdano al numero 6174.

6. Le cifre di un qualsiasi numero (in questo caso quattro) possono essere risistemate disponendole in ordine decrescente nel numero dal valore massimo, e nel numero minimo con le cifre in ordine crescente. Così, prese le quattro ipotetiche cifre a, b, c, d dove 9 ≥ a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0 e a, b, c, d non sono tutti uguali (o tre uguali e l’altro maggiore o minore di un’unità), il numero massimo sarà ’’abcd’’e il minimo ’’dcba’’. A questo punto si può calcolare il risultato dell’operazione di Kaprekar usando il metodo standard della sottrazione: a     b c d- d     c ba= P     Q R S Con le seguenti relazioni: • S = 10 + d – a (e a > d) • R = 10 + c – 1 – b = 9 + c – b (e b > c – 1) • Q = b – 1 – c ( e b > c) • P = a – d e mantenendo sempre valida la regola a > b > c > d, ad un numero si può applicare l’operazione di Kaprekar se la differenza PQRS può essere scritta utilizzando le quattro cifre iniziali a, b, c, d. Possiamo così trovare il nucleo dell’operazione di Kaprekar (6174) considerando tutte le possibili combinazioni di {a, b, c, d} e controllando se soddisfano le relazioni scritte sopra. Si rivela dunque che una sola di queste combinazioni ha per soluzione dei numeri interi che soddisfano 9 ≥ a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0. Tale combinazione è PQRS = bdac, e la soluzione delle equazioni simultanee è a = 7, b = 6, c = 4, d = 1; in pratica PQRS = 6174. Non si raggiungono invece soluzioni valide risultanti con  alcune cifre {a, b, c, d} uguali. Perciò il numero 6174 è l’unico numero che non cambia nell’operazione di Kaprekar – il numero misterioso è pertanto unico!

7. 495:Chiave per i numeri a 3 cifre C’è da aggiungere inoltre che per i numeri a tre cifre si presenta il medesimo fenomeno. Per esempio, applicando l’operazione di Kaprekar al numero 753, otteniamo il seguente risultato: • 753 – 357 = 396 • 963 – 369 = 594 • 954 – 459 = 495 • 954 – 459 = 495 Il numero 495 risulta, al pari del 6174, la soluzione unica per l’operazione di Kaprekar applicata su numeri con tre cifre (non tutte uguali e, se due uguali, quella diversa non maggiore o minore di un’unità). Già verso la metà degli anni ‘70, l’operazione di Kaprekar era conosciuta e studiata da molti matematici sparsi in tutto il mondo e già allora sembrava alquanto semplice dimostrare perché accadesse questo fenomeno, ma non si riusciva a capire la ragione che stava dietro. Prima di tutto iniziarono a servirsi di un computer per verificare se tutti i numeri di quattro cifre (eccetto le eccezioni prima citate) raggiungessero la “chiave” 6174 in un numero limitato di passaggi. Il risultato fornito da un programma in VisualBasicsentenziò che tutti i numeri raggiungevano 6174 in sette passaggi al massimo e, in caso contrario, si doveva attribuire l’errore ad una svista nel calcolo. Ecco la tabella con numero di passaggi e frequenza: Passaggi Frequenza 0 1 1 356 2 519 3 2124 4 1124 5 1379 6 1508 7 1980

8. Malcolm Lines Uno dei primi studiosi dell’operazione di Kaprekar, Malcolm Lines, dimostrò in uno dei suoi articoli che era sufficiente verificare soltanto 30 degli 8991 possibili numeri a quattro cifre. Sempre premesso che 9 ≥ a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0, si può calcolare la prima sottrazione scrivendo il numero massimo come 1000a + 100b + 10c + d e il minimo come 1000d + 100c + 10b + a. Pertanto la sottrazione è: 1000a + 100b + 10c + d – (1000d + 100c + 10b + a) = = 1000(a – d) + 100 (b – c) + 10 (c – b) + (d – a) = =999(a – d) + 90(b – c). I possibili valori di (a – d) sono compresi tra 1 e 9 (perché a è necessariamente maggiore di d, altrimenti a = b = c = d e non sarebbe valido), mentre per (b – c) vanno da 0 a 9 (infatti b ≥ c). Si può quindi costruire una tabella con tutti i risultati possibili: 

9. Noi siamo però interessati unicamente dai numeri le cui cifre non sono tutte uguali e rispettano la premessa a ≥ b ≥ c ≥ d; perciò bisogna considerare solo quei numeri dove (a – d) ≥ (b – c), ignorando gli altri (settore in grigio) in cui (a – d) < (b – c). Questi vanno poi disposti a formare il numero maggiore con le quattro cifre. In seguito verranno disposti nelle colonne in ordine decrescente così da averli pronti per la successiva sottrazione: In grigio ci sono numeri che si ripetono nella tabella e che di conseguenza vanno considerati una volta sola. Rimangono così solamente 30 numeri cui, applicando l’operazione di Kaprekar, danno i risultati qui riportati sotto forma di schema:

10. In conclusione... Si è visto come i numeri di tre e quattro cifre raggiungano (quasi) sempre rispettivi numeri 495 e 6174; ma cosa succede con gli altri numeri? I risultati sono discordanti! Proviamo, ad esempio, con un numero di due cifre, 28: 82 – 28 = 45 54 – 45 =   9 90 – 09 = 81 81 – 18 = 63 63 – 36 = 27 72 – 27 = 45 54 – 45 =   9 Non ci va molto tempo per scoprire che tutti i numeri a due cifre (non uguali tra loro e una cifra non maggiore o minore di un’unità rispetto all’altra) danno la sequenza 9 → 81 → 63 → 27 → 45 → 9 … che si ripete all’infinito. Non c’è, dunque, una chiave per i numeri a due cifre! E cosa succede con numeri di cinque cifre? Si comportano come quelli a tre e quattro cifre o come quelli a due? Logicamente, per rispondere a questa domanda, è necessario adottare il metodo seguito in precedenza analizzando tutte le 120 combinazioni di {a, b, c, d, e} il cui risultato sia PQRST e che rispettino la regola 9 ≥ a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ e ≥ 0. Fortunatamente i calcolatori sono in grado di risolvere rapidamente questo quesito dandoci una risposta particolare: applicando l’operazione di Kaprekar ai numeri di cinque cifre si ottiene sempre una di tre possibili sequenze che si ripetono infinitamente: 71973 → 83952 → 74943 → 62964 → 71973 … 75933 → 63951 → 61974 → 82962 → 75933 … 59994 → 53955 → 59994 … Altri informatici e matematici si sono preoccupati di verificare il risultato con numeri di sei, sette e più cifre. Il lavoro era chiaramente sempre più duro e il risultato non conduceva a nessuna spiegazione matematica valida per tutti i numeri, indipendentemente da quante fossero le cifre.

11. Riportiamo i risultati ottenuti con numeri fino a dieci cifre Riassumendo, si è visto che (quasi) tutti i numeri a tre cifre arrivano concordemente al 495 e quelli a quattro a 6174 con l’operazione di Kaprekar ma non si è giunti alla spiegazione del perché si giunga ad un unico risultato. È meramente un fenomeno casuale, o c’è una ragione matematica più profonda che spiega questo fenomeno? Per quanto il risultato sia affascinante e misterioso, si è concluso – fino ad ora – che sia un fenomeno casuale.

12. I numeri di Kaprekar, concetto interessante ed entusiasmante come lo è la matematica nel suo insieme, piccole parti- colarità che ci avvicinano sempre più a scoprire la bellezza di que- sto mondo, fatto non solo di numeri, ma di logica, di ra- gionamenti, di dimostra- zioni ed esperienze che ci permettono di com- prendere ciò che ci circonda. La matema- tica infatti non è solo una materia che biso- gna studiare per poter proseguire nell’espe- rienza scolastica, per molti di noi essa è un aiuto, è la chiave che ci permette di sentirci meno piccoli in questo mondo così grande appa- rentemente sempre più incomprensibile.

13. LILIANA CALABRESE Le alunne CESIRA SCARLATO ANGELICA BARREA Si ringrazia per la collaborazione ed i consigli il professore Sergio Schiavone.