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Seminar Stringtheorie und Geometrische Methoden der Physik. Elliptische Funktionen Bayrischzell, 07.03.2005 – 11.03.2005. Gliederung. Einführung Elliptische Funktionen Die Weierstrass‘sche -Funktion. C. Doppelt periodisch!. Die Weierstrass‘sche - -Funktion.
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Seminar Stringtheorie und Geometrische Methoden der Physik Elliptische Funktionen Bayrischzell, 07.03.2005 – 11.03.2005
Gliederung • Einführung • Elliptische Funktionen • Die Weierstrass‘sche -Funktion
C Doppelt periodisch! Die Weierstrass‘sche - -Funktion Elliptische Funktionen Einführung Ausgangspunkt: Elliptische Integrale Berechnung der Länge von Ellipsenbögen Spezielles elliptisches Integral (seit 1718, G.C. Fagnano): Abel: Umkehrfunktion f ist meromorph fortsetzbar in ganz mit Offensichtlicher reeller Periode Verborgener komplexer Periode
Weierstrass (1862/1863): Vorlesung mit rein funktionentheoretischer Einführung in die Theorie der elliptischen Funktionen Ausgangspunkt: -Funktion (spezielle elliptische Funktion) Die Weierstrass‘sche - -Funktion Elliptische Funktionen Einführung Neuer Zugang zu elliptischen Integralen: Deren Eigenschaften lassen sich einfach aus funktionentheoretischen Eigenschaften der elliptischen Funktionen ableiten Genügt Differentialgleichung Jede elliptische Funktion darstellbar als rationale Funktion in und
Elliptische Funktionen Elliptische Funktionen
Im ω1+ω2 ω2 ω1 Re -ω1 -ω2 C C Die Weierstrass‘sche - -Funktion Elliptische Funktionen Einführung Definition: Eine Teilmenge L с heißt Gitter, wenn es zwei R-linear unabhängige „Vektoren“ ω1 und ω2 in gibt, so dass gilt:
Die Weierstrass‘sche - -Funktion Elliptische Funktionen Einführung Definition: Eine elliptische Funktion zum Gitter L ist eine meromorphe Funktion mit der Eigenschaft Bezeichnung: doppelt periodisch Mengen der Null- und Polstellen sind selbst „periodisch“:
Im ω1+ω2 ω2 ω1 Re ω1 ω1+ω2 a a b b a b a b 0 ω2 b Die Weierstrass‘sche - -Funktion Elliptische Funktionen Einführung Der Periodentorus Gesamte Information über eine elliptische Funktion ist in der „Grundmasche“ codiert Geometrisches Modell:
Die Weierstrass‘sche - -Funktion Elliptische Funktionen Einführung Definition: Die Ordnung einer elliptischen Funktion ist die Anzahl aller Pole auf dem Periodentorus, wobei jeder Pol so oft gezählt wird, wie seine Vielfachheit angibt f hat in a einen Pol der Vielfachheit n Dabei: Satz: Es gibt keine elliptische Funktion der Ordnung 1
Die Weierstrass‘sche -Funktion Die Weierstrass‘sche - -Funktion
Die Weierstrass‘sche - -Funktion Elliptische Funktionen Einführung Gesucht: Möglichst einfaches Beispiel einer elliptischen Funktion Ord(f) = 1 Ord(f)= 2 Zwei Pole 1.Ordnung Einen Pol 2. Ordnung Konstruiere elliptische Funktion zweiter Ordnung, die in 0 einen Pol zweiter Ordnung besitzt! Folgerung: Auch jeder andere Pol muss dann Gitterpunkt sein!
Problem: Keine absolute Konvergenz! Beweis: Für z=0, L=Z+Zi, gilt für ω=m+ni: 1. Hilfssatz: Die Reihe konvergiert dann und nur dann, wenn > 1 ist Die Weierstrass‘sche - -Funktion Elliptische Funktionen Einführung Denkbarer Ansatz:
3. Hilfssatz: Sei M с L\{0} eine Menge von Gitterpunkten. Die Reihe konvergiert in C\M normal und stellt dort eine analytische Funktion dar. Die Weierstrass‘sche - -Funktion Elliptische Funktionen Einführung 2. Hilfssatz: Sei L с C ein Gitter. Die Reihe konvergiert für s>2. Idee (Weierstrass): Einführung von konvergenzerzeugenden Summanden
Definition (K.Weierstrass 1862/63): Die durch definierte Funktion heißt Weierstrass‘sche -Funktion zum Gitter L Die Weierstrass‘sche - -Funktion Elliptische Funktionen Einführung Abbildung: Die Weierstrass‘sche -Funktion und ihre Ableitung
Satz: Eigenschaften der -Funktion zum Gitter L • In ganz C meromorph • Pole zweiter Ordnung in den Gitterpunkten • Außerhalb von L analytisch • Gerade, also • Laurententwicklung um z0=0: Die Weierstrass‘sche - -Funktion Elliptische Funktionen Einführung
Satz: Charakterisierung der -Funktion Die Weierstraßsche -Funktion ist eine elliptische Funktion der Ordnung 2 Ihre Ableitung ist eine elliptische Funktion der Ordnung 3 Die Weierstrass‘sche - -Funktion Elliptische Funktionen Einführung Ungerade:
Halbwerte der -Funktion: Die Weierstrass‘sche - -Funktion Elliptische Funktionen Einführung Satz: Nullstellen von : Ein Punkt a Є C ist genau dann eine Nullstelle von , falls gilt: Es gibt genau drei einfache Nullstellen auf C/L Nullstellen von :
Herleitung der Differentialgleichung für die -Funktion Die Weierstrass‘sche - -Funktion Elliptische Funktionen Einführung Aussage: Die Umkehrung der -Funktion ist ein elliptisches Integral Theorie der elliptischen Integrale „mitgeliefert“ Erinnerung: Laurentreihe der -Funktion Bestimmung der Koeffizienten mit Hilfe der Taylorschen Formel:
Die Weierstrass‘sche - -Funktion Elliptische Funktionen Einführung Induktion nach n liefert für n>1: Und damit:
Satz: Die Reihe konvergiert absolut, und es gilt: Die Weierstrass‘sche - -Funktion Elliptische Funktionen Einführung Eisenstein-reihen
Zurück zur Differentialgleichung für die -Funktion Ziel: Stelle als Polynom in dar Die Weierstrass‘sche - -Funktion Elliptische Funktionen Einführung
Die Weierstrass‘sche - -Funktion Elliptische Funktionen Einführung Elliptische Funktion ohne Pole Elliptische Funktionen ohne Pole sind Konstanten, diese muss in diesem Fall -140G6 sein.
Die Weierstrass‘sche - -Funktion Elliptische Funktionen Einführung Theorem: Algebraische Differentialgleichung der -Funktion
Die Weierstrass‘sche - -Funktion Elliptische Funktionen Einführung Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!