1 / 40

4. RELASI

4. RELASI. 4.1 Relasi Secara ringkas dapat dijelaskan bahwa relasi adalah hubungan antar himpunan-himpunan . Relasi yang menghubungan 2 buah himpunan disebut relasi biner . Relasi yang menghubungHubungan antar n buah himpunan disebut relasi n- ary

seth-mendez
Download Presentation

4. RELASI

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. 4. RELASI

  2. 4.1 Relasi Secararingkasdapatdijelaskanbahwarelasi adalahhubunganantarhimpunan-himpunan. Relasi yang menghubungan2 buahhimpunan disebutrelasibiner. Relasi yang menghubungHubunganantar n buah himpunandisebutrelasin-ary Misalmatakuliah yang diikutiolehmahasiswa padasuatu program studitertentuataunilaihasil semester mahasiswaseperti yang ditunjukkan padacontohberikutadalahrelasibiner.

  3. Albert Barry Charles Derry Internet Sist. Operasi Algoritma Gambar 4.1 Relasiantaramahasiswadan matakuliah yang sedangditempuh Selainmenggunakangambar 4.1, relasijugadapatditunjukkandenganmenggunakantabel, sepertipadaTabel 1.1 berikut.

  4. Tabel 4.1 Mahasiswa Internet Sist. Oprs. Algoritma Albert Barry Charles Derry

  5. JikakitaperhatikanGambar 4.1 maupunTabel 4.1, makadapatdiketahuibahwamahasiswa yang bernama: • Albert sedangmenempuhmatakuliah Internet, danSistemOperasi; • Barry menempuhmatakuliah Internet, SitemOperasi, danAlgoritma; • Charles menempuhmatakuliah Internet, SistemOperasi, danAlgoritma. • Sedangkan Derry menempuhmatakuliahAlgoritma.

  6. SelaindariGambar 4.1 danTabel 4.1, relasidapat jugaditunjukkandalambentukmatriksberikut. SistemOperasi Algoritma Internet Gambar 4.2 Matriksrelasiantaramahasiswadan matakuliah yang sedangditempuh

  7. Padamatriksdiatas, kolommenunjukkanmatakuliah yang tersedia, yaitu Internet, SistemOperasi, danAlgoritma. Barispadamatriksmenunjukkanmahasiswamulaidari Albert sampaidengan Derry. Kolommenunjukkanmatakuliah yang tersedia. Nilai1 menunjukkanbahwamatakuliahtersebutsedangditempuholehmahasiswatertentu. Sebaliknyanilai 0 berartitidaksedangditempuh.

  8. Gambar 4.1 dan 4.2 jugadapatdisajikandalambentukhimpunan, seperti yang ditunjukkanberikutini. Jika A adalahhimpunanmahasiswapadaGambar 4.1, maka A = {Albert, Barry, Charles, Derry} Jika B adalahhimpunanmatakuliahpadaGambar 4.1, maka B = {Internet, SistemOperasi, Algoritma} Jika R adalahrelasi yang menyatakanmahasiswa yang menempuhmatakuliah, sepertipadaGambar 4.1, maka: R = {(Albert, Internet), (Albert, SistemOperasi), (Barry,Internet), (Barry,SistemOperasi), (Barry, Algoritma), (Charles, Internet), (Charles, SistemOperasi), (Charles,Algoritma), (Derry, Algoritma)}

  9. Berdasarkancontohdiatas, kitadapatmenyimpulkanbahwarelasiadalahhimpunanpasanganterurut (ordered pairs). Elemenpertamapadapasanganterurut, dalamhalininama-namamahasiswa, disebutdaerahasal (domain), sedangkanelemenkedua, nama-namamatakuliah, disebutdaerahhasil (range). Relasiantaraduabuahhimpunandisebutrelasibiner. Untukpenyederhanaan, selanjutnyarelasibinerdisebutrelasisaja.

  10. Dalambentuknotasi, relasidarihimpunan A ke himpunan B adalahhimpunanbagiandariperkalian kartesian A dan B, ditulissebagai R  A x B. Hasildari A x B menghasilkanhimpunanpasangan terurutdenganjumlahanggotaadalah • ataudapatditulissebagai A x B = Jikasuaturelasi R didefinisikanpadahimpunan yang sama, misal A, maka R  A x A

  11. Jikaanggotarelasi R adalah (a, b), makakita menuliskan “a R b” yang artinya “a” dihubungkan dengan “b” olehrelasi R. Contoh 4.1 Diketahui A = { 1, 4, 6, 8} dan B = {2, 5, 6, 9} Tulispasanganterurut (a,b)  R sedemikian, sehingga a < b. Penyelesaian R = {(1,2), (1,5), (1,6), (1,9), (4,5), (4,6), (4,9), (6,9), (8,9)}

  12. 4.2 PenyajianRelasi Selainmenggunakancarapemetaan (Gambar 4.1) danmatriks (Gambar4.2), relasidapatjuga disajikandengangrafseperticontohberikut. Misal A = {2, 3, 4, 6, 8, 9}. Gambarkangrafikdaripasanganterurut (a, b) dari relasi R pada A jikadanhanyajika a habismembagi b. Penyelesaian: R = {(2,2), (2,4), (2,6), (2,8), (3,3), (3,6), (3,9), (4,4), (4, 8), (6, 6), (8, 8), (9, 9)} Untukmenunjukkanpasanganterurut (a,b), maka dibuatsebuahbusurdari a ke b dandikatakan a adalahsimpulasal (initial vertex). Sedangkan b adalahsimpultujuan (terminal vertex)

  13. R = {(2,2), (2,4), (2,6), (2,8), (3,3), (3,6), (3,9), (4,4), • (4, 8), (6, 6), (8, 8), (9, 9)}  9  3 2   6   8 4 Gambar4.3 Graf Relasi

  14. 4.3 RelasiInversi Misal R adalahrelasidarihimpunan A ke himpunan B . Inversidarirelasi R, dilambangkandengan R-1 , adalahrelasidrihimpunan B kehimpunan A yang didefinisikansebagai, • R-1 = {(b,a)|(a,b) R} • Contoh 4.2 • Misal P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15} • Jikarelasi R darihimpunan P kehimpunan Q • didefinisikansebagai (p,q) R jika p habis • membagi q, tentukanR-1

  15. Penyelesaian • P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15} • R = {(2,2), (2,4), (2,8), (3,9), (3,15), (4,4), (4,8)} • R-1 = {(2,2), (4,2), (8,2), (9,3), (15,3), (4,4), (8,4)} • Contoh 4.3 • TentukanR-1padacontoh 4.2 dalambentukmatriks • Penyelesaian

  16. Jika M adalahmatriks yang merepresentasikan R • dalambentukmatriks, maka M = • Jika N adalahmatriks yang merepresentasikan R-1 • dalambentukmatriks, maka N = MT N = MT =

  17. 4.4 KombinasiRelasi • Kombinasirelasidapatdilakukandengan • menggunakanprinsipoperasihimpunan, seperti • operasigabungan, irisan, selisih (difference) dan • bedasimetrik (symmetric difference). • Contoh 4.4 • Misal A = { 1, 2, 3 } dan B = { a, b, c, d } • Jika R = {(1,a), (1,c), (2,b), (2,c), (3,a), (3,c), (3,d)} • dan S = {(1,d), (2,a), (2,b), (2,c), (3,b), (3,c)} • adalahrelasidari A ke B, tentukan: • a) R  S d) S – R • b) R  S e) R  S • c) R – S

  18. Penyelesaian: • R = {(1,a), (1,c), (2,b), (2,c), (3,a), (3,c), (3,d)} • S = {(1,d), (2,a), (2,b), (2,c), (3,b), (3,c)} • R  S = {(1,a), (1,c), (1,d), (2,a), (2,b), (2,c), (3,a), • (3,b), (3,c), (3,d)} • b) R  S = {(2,b), (2,c), (3,c)} • c) R – S = {(1,a), (1,c), (3,a), (3,d)} • d) S – R = {(1,d), (2,a), (3,b)} • e) R  S = {(1,a), (1,c), (1,d), (2,a), (3,a), (3,b), (3,d)}

  19. Selainoperasigabungandanirisan yang telahdibahasdengancara-caradiatas, operasigabungandanirisanjugadapatdilakukandenganmenggunakanoperasimatriks. Misalterdapatrelasi R dan S. Dalambentukmatriksrelasitersebutdisimbolkandengan MRdan MS. Komponendarimatriks MRdan MSadalah 0 dan 1. Jika MRdan MSadalahmatriks yang berukuran m x n, makagabungan R dan S, ditulis MR MS,adalahmatriks M1. SedangkanirisanR dan S, ditulis MR MSadalah M2. Keduamatriks M1dan M2berukuran m x n.

  20. Contoh 4.5 • Misal A = { 1, 2, 3 } dan B = { a, b, c } • Jika R = {(1,a), (1,c), (2,b), (2,c), (3,a), (3,b), (3,c)} • dan S = {(1,a), (2,a), (2,b), 2,c), (3,b), ( 3,c)} adalah • relasidari A ke B, tentukan: • a) MR MS b) MR MS • Penyelesaian: • Dari R dan S dapatdisusun:

  21. 4.5 KomposisiRelasi • Mengkomposisiduabuahrelasiataulebihadalah • cara lain untukmengkombinsikanrelasi. • Misalterdapatduabuahrelasi, yaitu R dan S. • Jika R adalahrelasidarihimpunan A ke B dan S • adalahrelasidarihimpunan B ke C, maka • komposisi R dan S, ditulisSoRmerupakansuaturelasi yang didefinisikansebagai: SoR = {(a,c)aA, cCdanterdapatbB untuksetiap (a,b)R dan (b,c)S}

  22. Contoh 4.6 Diketahui: A ={1, 3, 4, 7} ; B = {2, 3, 4} ; C = {a, b, c} R = {(1,2), (1,3), (3,4), (4,2), (4,3), (7,3), (7,4)} S = {(2,a), (2,c), (3,b), (4,a), (4,c)} R adalahrelasidari A ke B S adalahrelasidari B ke C Tentukankomposisidari R dan S! Penyelesaian

  23. RelasiRoSdalambentuk diagram pemetaanditunjukkanpadaGambarberikut. B A C     7 4 1 3 2 a ► ►   ► ► ► ► 3 b ► ► ►   ► ► ► c 4   RoS= {(1,a), (1,b), (1,c), (3,a), (3,c), (4,a), (4,c), (4,b), (7,b), (7,a), (7,c)}

  24. Komposisiduabuahrelasijugadapatditentukan dengancaraperkalian Boolean. Misalterdapatrelasi R dan S. Dalambentukmatriksrelasitersebutdisimbolkandengan MRdan MS. Komponendarimatriks MRdan MSadalah 0 dan 1. Komposisi R o S ditentukandenganperkalian Boolean MRdan MS, disimbolkandengan MR☉MS. Sedangkankomposisi S o R ditentukandengancara perkalian Boolean MSdan MR, disimbolkan dengan MS☉MR.

  25. Definisi Perkalian Boolean, disimbolkandengan ☉, dari matriks A = [aij] yang berukuran m x n danmatriks B = [bjk] yang berukuran n x p akanmenghasilkan matriks C = [cik] yang berukuran m x p. • Contoh 4.7 • Misal R = {(1,2), (1,3), (2,2), (3,1)} dan • S = {(2,a), (2,c), (3,b)}. • Tentukan R o S dan S o R dengancara • perkalian Boolean!

  26. Penyelesaian: Langkahpertamaadalahmenentukanbentukmatriks MRdan MS. Ingat, bahwaelemenpertamapada masing-masingrelasimerupakanbarisdarimatriks. Sedangkanelemenkeduamerupakankolomdari matriks. SelanjutnyamatriksMRdan MSditunjukkanpada matriksberikut.

  27. Sehingga R o S = MR☉ MS SimbolRndigunakanuntukmendefinisikankomposisi relasidengandirinyasendirisebanyak n kali, yaitu Rn = R o R o R o . . . o R (sebanyak n kali) dan MRn = MR (n) Olehkarena Rn+1 = Rno R, maka MRn+1 = MR (n) . MR

  28. Contoh 4.8 • Misal R = {(1,1), (1,3), (2,2), (3,1), (3,2)} adalahrelasi • Padahimpunan A = {1, 2, 3} • Tentukan R2 • Penyelesaian MR = = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,2), (3,1), (3,2), (3,3)} o Biladiselesaikandenganmenggunakanmatriks, maka matriks yang merepresentasikan R adalah

  29. SehinggaMRn = MR (2) = MR . MR 4.6 Sifat-sifatRelasi Sifat-sifatrelasi yang akandibahaspadamateri iniadalahsifat-sifatrelasibiner yang didefinisikanpadasatuhimpunan A.

  30. 4.6.1. Refleksif • Relasi R padahimpunan A bersifatrefleksif • jikaterdapat a R a atau (a,a)  R untuksetiap • aA. • Relasi “Lebihbesardariatausamadengan” • termasukrelasirefleksif. Contoh 4.9 Tulisrelasi R darihimpunan {1, 2, 3, 4, 5} yang didefinisikanoleh (x,y)  R jika x2  y Penyelesaian : R = {(1,1), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5)}

  31. 2 1   4 3   Gambar4.4 Relasirefleksif

  32. 4.6.2. Simetri (Setangkup) • Relasi R padahimpunan A bersifatsimetri, • jikaterdapat a R b maka b R a untuksetiap • a dan b A. • Contoh 4.10 • Perhatikanrelasidari {1,2,3,4} berikut. • R1 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,4), (4,1), (4,4)} • R2 = {(1,1), (1,2), (2,1)} • R3 = {(1,1), (1,2), (1,4), (2,1), (2,2), (3,3), • (4,1), (4,4)} • R4 = {(2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3)} • R5 = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), • (3,3), (3,4), (4,4)}

  33. Penyelesaian: • R1 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,4), (4,1), (4,4)} • Tidaksimetrikarenaterdapatpasanganterurut • (3,4) dan (4,1) tapitidakterdapatpasangan • terurut (4,3) dan (1,4) • R2 = {(1,1), (1,2), (2,1)} • Simetrikarenaterdapatpasanganterurut (1,2) • danterdapatjugapasanganterurut (2,1) • R3 = {(1,1), (1,2), (1,4), (2,1), (2,2), (3,3), (4,1), (4,4)} • Simetrikarenaterdapatpasanganterurut • (1,2) dan (1,4) danterdapatjugapasangan • terurut (2,1) dan (4,1)

  34. R4 = {(2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3)} • Tidaksimetrikarenaterdapatpasanganterurut (2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3), tapitidak • terdapatterurut (2,1), (1,3), (2,3), (1,4), (2,4), (3,4) • R5 = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4),(3,3), • (3,4), (4,4)} • Tidaksimetrikarenaterdapatpasanganterurut (1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4), tapitidak • terdapatterurut (2,1), (3,1), (4,1), (3,2), (4,2), (4,3)

  35. 4.6.3. Anti-Simetri (tolaksetangkup) Relasi R padahimpunan A bersifat anti-simetrijika a R b dan b R a, maka a = b untuksetiap a dan b A. • Contoh 4.11 • Perhatikanrelasidari {1,2,3,4} berikut. • R1 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,4), (4,1), (4,4)} • R2 = {(1,1), (1,2), (2,1)} • R3 = {(1,1), (1,2), (1,4), (2,1), (2,2), (3,3), (4,1), (4,4)} • R4 = {(2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3)} • R5 = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), • (3,3), (3,4), (4,4)}

  36. R1 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,4), (4,1), (4,4)} • Tidak anti-simetri (tidaktolaksetangkup) karena • terdapatpasangan (1,2) dan (2,1) • R2 = {(1,1), (1,2), (2,1)} • Tidak anti-simetri (tidaktolaksetangkup) karena • terdapatpasangan (1,2) dan (2,1) • R3 = {(1,1), (1,2), (1,4), (2,1), (2,2), (3,3), (4,1), (4,4)} • Tidak anti-simetri (tidaktolaksetangkup) karena • terdapatpasangan (1,2) dan (2,1) serta • (1,4) dan (4,1)

  37. R4 = {(2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3)} • Anti-simetri (tolaksetangkup) karenatidakterdapat • (1,2), (1,3), (2,3), (1,4), (2,4), (3,4) • R5 = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), • (3,3), (3,4), (4,4)} • Anti-simetri (tolaksetangkup) karenatidakterdapat • (2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3)

  38. 4.6.4. Transitif Relasi R padahimpunan A bersifattransitifatau menghantarjika a R b dan b R c, maka a R c untuk setiap a, b dan c A. • Contoh 4.12 • Perhatikanrelasidari {1,2,3,4} berikut. • R1 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,4), (4,1), (4,4)} • R2 = {(2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3)}

  39. R1 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,4), (4,1), (4,4)} • (1,1) dan (1,2)  (1,2) • (1,2) dan (2,1)  (1,1) • (1,2) dan (2,2)  (1,2) • (3,4) dan (4,1)  (3,1) • (3,4) dan (4,4)  (3,4) • (4,1) dan (1,1)  (4,1) • (4,1) dan (1,2)  (4,2) • (4,4) dan (4,1)  (4,1) • Karenapasanganbilanganterurut(3,1)dan(4,2) • tidakterdapatdalamrelasi, makaR1 adalah • relasi yang tidaktransitif.

  40. R2 = {(2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3)} • (3,2) dan (2,1)  (3,1) • (4,2) dan (2,1)  (4,1) • (4,3) dan (3,1)  (4,1) • (4,3) dan (3,2)  (4,2) • Karenapasanganbilanganterurut(3,1), (4,1), • dan (4,2) terdapatdalamrelasi, makaR1 • adalahrelasi yangbersifattransitif.

More Related