Relasi dan Fungsi

1. RelasidanFungsi MatematikaDiskrit

2. Relasi • Relasiantara Ayah dananak, Ibudengananak, dll • Dalamaritmatika: Relasi “Lebihbesar” atau “Lebihkecil” digunakanuntukmembandingkanduabuahbilangan yang berbeda • Binary Relation/Relation = relasiantara 2 objek

3. Relasidalamhimpuanan • Relasidarihimpunan A kehimpunan B, artinya • Memetakansetiapanggotapadahimpunan A (x ∈ A) dengananggotapadahimpunan B (y ∈ B) • RelasiantarahimpunanA danhimpunanB jugamerupakanhimpunan, yaituhimpunan yang berisipasanganberurutan yang mengikutiaturantertentu, contoh (x,y) ∈ R • RelasibinerR antarahimpunanA danB merupakanhimpunanbagiandaricartesian product A × B atauR ⊆ (A × B)

4. Notasi • Relasiantaraduabuahobjekdinyatakandenganhimpunanpasanganberurutan (x,y) ∈ R • contoh: relasi F adalahrelasi ayah dengananaknya, maka: F = {(x,y)|x adalah ayah dari y} • xRydapatdibaca: x memilikihubungan R dengan y

5. Contoh • Humpunan A : himpunannamaorang • A={Via, Andre, Ita} • Himpunan B : himpunannamamakanan • B={eskrim, coklat, permen} • Relasimakanankesukaan (R) darihimpunan A dan B adalah:

6. Contoh B A R R : Relasidengannama “ MakananKesukaan “ Relasi R dalam A artinya domain dankodomainnyaadalah A

7. Cara menyatakanrelasi • Diagarampanah • Himpunanpasanganberurutan • Diagram Cartesius • Tabel • Matriks • Graph Berarah

8. Cara menyatakanrelasi • Diagram Panah R B A permen coklat Es krim • R={(x,y)|x menyukai y; x ∈ A dan y ∈ B}

9. Cara menyatakanrelasi • Himpunanpasanganberurutan • R={(Via,permen) , (Via,coklat) , (Andre,coklat) , (Andre,eskrim) , (Ita,eskrim)} • Diagram Kartesius

10. Cara menyatakanrelasi • Tabel

11. Cara menyatakanrelasi • Matriks • Baris = domain • Kolom = kodomain Es krim Coklat Permen

12. Cara menyatakanrelasi • Graph berarah • hanyauntukmerepresentasikanrelasipadasatuhimpunan (bukanantaraduahimpuanan). • Tiapunsurhimpunandinyatakandengansebuahtitik (disebutjugasimpulatauvertex) • Tiappasanganterurutdinyatakandenganbusur (arc). • Jika (a, b) ∈ R, makasebuahbusurdibuatdarisimpula kesimpulb. • Simpula disebutsimpulasal (initial vertex) • simpulb disebutsimpultujuan (terminal vertex) • Pasanganterurut (a, a) dinyatakandenganbusurdarisimpula kesimpula sendiri. Busursemacamitudisebutloop

13. Cara menyatakanrelasi • Contoh graph berarah • MisalkanR = {(a, b), (b, c), (b, d), (c, c) (c, a), (c, d), (d, b)} adalahrelasipadahimpunan {a, b, c, d}.

14. Latihan 1 • Z = {1,2,3,4}; • R = {(x,y)|x > y ; x ∈ Z dan y ∈ Z} • Nyatakanrelasitersbutdalambentuk • Himpunanpasanganberurutan • Matrix • Graf

15. Sifat- sifatrelasi Refleksif (reflexive) Transitif (transitive) SIMETRIK (SYMMETRIC) ASIMETRIK (ASYMMETRIC) EQUVALENT POSET

16. Refleksif • Sebuahrelasidikatakanrefleksifjikasedikitnya: x ∈ A, xRx • Minimal

17. Transitif • Sebuahrelasidikatakanbersifattransitifjika: • xRy , yRz => xRz ; (x,y, z) ∈ A • Contoh: R = {(a,d),(d,e),(a,e)}

18. Simetrik • Sebuahrelasidikatakanbersifatsimetrisjika: • xRy, berlaku pula yRxuntuk (x dan y) ∈ A • Cotoh: A={a,b,c,d} R={(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(a,b),(b,a),(c,d),(d,c)}

19. Asimetrik • Relasiasimetrikadalahkebalikandarirelasisimetrik • Artinya (a,b) ∈ R, (b,a) ∉ R • Contohnya • R = {(a,b), (a,c), (c,d)}

20. Equivalen • Sebuahrelasi R dikatakanequivalenjikamemenuhisyarat: • Refelksif • Simeteris • Transitif

21. Partially Order Set (Poset) • Sebuahrelasi R dikatakanterurutsebagian (POSET) jikamemenuhisyarat: • Refleksif • Antisimetri • Transitif

22. Latihan 2 • A={1,2,3,4} Sebutkansifatuntukrelasi < padahimpunan A ! • Apakahrelasiberikutasimetris, transitif? R = {(1,2),(3,4),(2,3),(3,3)} • Apakah R = {(a,a),(a,b),(a,c),(b,b),(b,a),(c,c)} refleksif?

23. Operasidalamrelasi • Operasihimpunansepertiirisan, gabungan, selisih, danpenjumlahan (bedasetangkup) jugaberlakupadarelasi • JikaR1 danR2 masing-masingmerupakanrelasidarihimpunaA kehimpunanB, makaR1 ∩ R2, R1 ∪ R2, R1 – R2, danR1 ⊕ R2 jugaadalahrelasidariA keB.

24. Contohoperasirelasi • MisalkanA = {a, b, c} danB = {a, b, c, d}. RelasiR1 = {(a, a), (b, b), (c, c)} RelasiR2 = {(a, a), (a, b), (a, c), (a, d)} Maka : • R1 ∩ R2 = {(a, a)} • R1 ∪ R2 = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d)} • R1 − R2 = {(b, b), (c, c)} • R2 − R1 = {(a, b), (a, c), (a, d)} • R1 ⊕ R2 = {(b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d)}

25. Operasidalambentukmatriks • MisalkanbahwarelasiR1 danR2 padahimpunanA dinyatakanolehmatriks Maka:

26. Komposisirelasi • Misalkan • R adalahrelasidarihimpunanA kehimpunanB • T adalahrelasidarihimpunanB kehimpunanC. • KomposisiR danT, dinotasikandenganT ο R, adalahrelasidariA keC yang didefinisikanoleh : T ο R = {(a, c) a ∈ A, c ∈ C, danuntuksuatub ∈ B sehingga (a, b) ∈ R dan (b, c) ∈ T }

27. Komposisirelasi • Misalkan, A = {a, b, c}, B = {2, 4, 6, 8} danC = {s, t, u} • RelasidariA keB didefinisikanoleh : R = {(a, 2), (a, 6), (b, 4), (c, 4), (c, 6), (c, 8)} • RelasidariB keC didefisikanoleh : T = {(2, u), (4, s), (4, t), (6, t), (8, u)} • MakakomposisirelasiR danT adalah T o R= {(a, u), (a, t), (b, s), (b, t), (c, s), (c, t), (c, u)}

28. Komposisirelasi • T o R = {(a,u), (a,t), (b,s), (b,t), (c,s), (c,t), (c,u)}