RELASI REKURENSI

1. RELASI REKURENSI Tim MatematikaDiskrit

2. Barisan yang didefinisikansecararekursif Sebuahbarisandapatdinyatakandalambeberapacara.- denganmenuliskanbeberapasukupertamabarisanitumisalnya: 3, 5, 7, …- menyatakanbarisandalamrumuseksplisitdalamsuku-sukunyamisalnya: an = 2n + 1- menyatakanbarisansecararekursifsuatubarisandinyatakansecararekursifjikakondisiawalbarisanditentukan, dansuku-sukubarisanselanjutnyadinyatakandalamhubungannyadengansejumlahsuku-suku yang sudahdinyatakansebelumnyamisalnya: ak = ak-1 + 2 (relasirekurensi) dan a0 = 3 (kondisiawal)

3. Contoh 1. Suatubarisan c0, c1, c2, … didefinisikansecararekursifsbb: Untuksemuabilanganbulat k ≥ 2, ck = ck-1 + k ck-2 + 1 Dengankondisiawal: c0 = 1 dan c1 = 2. Hitunglah c5. Penyelesaian: Karenabarisandidefinisikansecararekursif, maka c5tidakbisadihitungsecaralangsung, tetapiharusterlebihdahulumenghitung c2, c3, dan c4. c2 = c1 + 2 c0 + 1 = 2 + 2.1 + 1 = 5 c3 = c2 + 3 c1 + 1 = 5 + 3.2 + 1 = 12 c4 = c3 + 4 c2 + 1 = 12 + 4.5 + 1 = 33 c5 = c4 + 5 c3 + 1 = 33 + 5.12 + 1 = 94 Jadi c5 = 94

4. Contoh 2. Misalkan a1, a2, …; b1, b2, … dan c1, c2, … adalah 3 barisan yang semuanyamemenuhirelasirekurensi: Nilaisuatusukusamadengan 3 kali nilaisukusebelumnya. Jadiak = 3 ak-1; bk = 3 bk-1; ck = 3 ck-1 Tetapikondisiawalketigabarisantersebutberbeda: a1 = 0; b1 = 1; c1 = 2 Nyatakanbarisan-barisantersebutdengancaramenuliskanbeberapasukuawalbarisantersebut! Apakahketiganyamerupakanbarisan yang sama? Penyelesaian: Barisanaiadalah: 0, 0, 0, … Barisan biadalah: 3, 9, 27, … Barisan ciadalah: 6, 18, 54, … Tampakbahwaketigabarisantersebutberbeda

5. Contoh 3. (Bilangan Fibonacci) Padatahun 1202, Leonardo of Pisa yang dikenaldengan Fibonacci mengemukakanmasalahsbb: Misalkanmula-mulaadasepasangkelinci (jantandanbetina) yang barulahir. Setiapbulan, kelinci-kelinci yang sudahberumur 2 bulanakanberanak 2 ekorkelinci (jantandanbetina). Carilahbanyaknyakelincisetelah 12 bulan (dansecaraumumsetelah n bulan) Penyelesaian: Padabulan ke-0, ada 1 pasangkelinci (sebutpasangan A) Padabulan ke-1, tetapmasihada 1 pasangkelinci (A) karenabelucukupumuruntukberanak Padabulan ke-2, pasangan A mempunyaisepasanganak (sebutpasangan B). Jadi total ada 2 pasangkelinci. Padabulan ke-3, pasangan A mempunyaisepasanganaklagi (sebutpasangan C), tetapipasangan B belumpunyaanakkrnbelumcukupumur. Total 3 pasang. Padabulan ke-4, pasangan A mempunyaisepasanganaklagi (sebutpasangan D), pasangan B jugamempunyaisepasanganak (sebutpasangan E). Total 5 pasangkelinci). Dan seterusnya …

6. Anakkelinci yang lahirpadatiapbulanke - dinyatakandalamtabelsbb:

7. MisalkanFnmenyatakanbanyakpasangankelinci yang hiduppadabulanke-n (n ≥ 0) Maka: F0 = 1, F1 = 1, F2 = 2, F3 = 3, F4 = 5, … Fnterbentukdari 2 halyaitu: Fn-1pasangkelincidaribulansebelumnyaditambahdenganjumlahpasangananak yang dilahirkan. Karenakelinci yang mempunyaianakadalah yang berumur minimal 2 bulan, makajumlahpasanganak yang diperolehsamadenganjumlahkelincipada 2 bulansebelumnyayaitu Fn-2. MakadidapatrelasiFn = Fn-1 + Fn-2dengan F0 = 1; F1 = 1. Relasiinidikenaldenganrelasi Fibonacci. Fi yang terbetukdisebutBilangan Fibonacci.

8. Contoh 4. (Menara Hanoi) Padatahun 1883, seorangahlimatematikaPerancisbernamaEdouard Lucas mengemukakansuatuteka-tekisbb: Menurutlegenda, adasebuahkuilBudha yang di dalamnyaterdapat 3 tiangberdiameterkecilterbuatdaripermata. Padawaktuduniadiciptakan, Tuhanmenciptakan 64 buahcakramdenganukuranberbeda-bedapadasalahsatutiang. Cakram-cakramtesebutditumpuksatu di atas yang lain, sedemikianhinggasemakinkeatas, diameter cakramsemakinmengecil. Biksu-biksukuiltersebutberusahamemindahkancakramsatu demi satudarisatutiangketiang lain, sehinggasemuacakramberpindahdaritiang A ketiang C. Syaratnya: pemindahanhanyabolehdilakukansatupersatu, danpadasetiapkeadaan, cakramdengan diameter yang lebihkecilharusberada di atascakramdengan diameter yang lebihbesar.

9. Menurutlegenda, setelahpemindahantersebutselesai, makatiang, cakram, dansemua yang adaakanhancurmenjadidebu. Bersamaandenganitu, akanterdengarhalilintar yang menggelegardanduniaakanhilang (kiamat). Misalkanbiksu-biksutersebutdapatmemindahkansebuahcakramdalamsatudetik, berapa lama duniaakankiamatsejakdiciptakan? Penyelesaian: Suatucarapenyelesaian yang efisienadalahsecararekursif. Misalkankitatahutentangmemindahkan (k-1) cakramdaritiangketiang lain. Makacara paling efisienuntukmemindahkan k cakramdaritiang A ketiang C adalahsbb:

10. Langkah 1. pindahkan (k-1) buahcakramdaritiang A ketiang B. Jika k > 2, eksekusilangkahinimemerlukansejumlah proses untukmemindahkancakramsatu per satu. Langkah 2. pindahkancakram yang terletak paling bawahdaritiang A ketiang C. Langkah 3. pindahkan (k-1) buahcakramdaritiang B ketiang C. sepertilangkah 1, jika k > 2, langkah 3 jugamemerlukansejumlah proses di dalamnya. Misalkanmn = jumlahlangkah minimal untukmemindahkan n buahcakramdarisatutiangketiang lain. Perhatikanbahwamntidakdipengaruhiolehasaldantujuantiang. mnjugatidaktergantungdaribanyaknyacakram yang terletak di bawah n buahcakram yang dipindahtersebut.

11. Langkah 1 memerlukan mk-1 kali perpindahan. Langkah 2 memerlukan 1 kali perpindahan. Langkah 3 memerlukan mk-1 kali perpindahan. Jadijumlahkeseluruhanperpindahan minimal adalah: mk = mk-1 + 1 + mk-1 = 2mk-1 + 1 Kondisiawalterjadijika k = 1 Diperolehpersamaanrekursif m1, m2, …, sbb: mk = 2 mk-1 + 1 (relasirekurensi) m1 = 1 (kondisiawal) Makauntukmemindahkan: 2 cakram, dibutuhkan m2 = 2 m1 + 1 = 2.1 + 1 = 3 langkah 3 cakram, dibutuhkan m3 = 2 m2 + 1 = 2.3 + 1 = 7 langkah 4 cakram, dibutuhkan m4 = 2 m3 + 1 = 2.7 + 1 = 15 langkah, dst 64 cakram, dibutuhkan m64 = … = 1,844674.1019detik≈ 5.84542.1011tahun

12. Contoh 5. (Perhitunganbunga bank) Jikakitamenyimpanuang di bank, biasanya bank memberikanbunga yang dihitung per tahun, misali. Jikabungadiberikan per periodetertentudandalamsatutahunada m kali periode, makabesarnyabunga per periode = i/m. Sebagaicontoh, suatu bank memberikanbunga 12% = 0,12 per tahundanbungadiberikansecarabulanan. Makabesarnyabunga per bulan = 0,12/12 = 0,01. Untuktiapbilanganpositif k ≥ 1, misalkan: Pk = jumlahtabunganpadaakhirperiodeke-k (tanpaadatransaksi). NyatakanPksehinggarelasirekurensisuku-sukusebelumnya!

13. Penyelesaian: Besarnyabungaselamaperiodeke-k adalahjumlahtabunganpadaakhirperiodeke (k-1) dikalikandenganbungauntukperiodetersebut. Jadi, bungaselamaperiodeke-k adalah (Pk-1) (i/m). Jumlahuangtabunganpadaakhirperiodeke-k (=Pk) didapatdengancaramenjumlahkanuangtabunganpadaakhirperiodeke(k-1) (=Pk-1) denganbungan yang didapatselamaperiodeke-k tersebut. Makajumlahuangtabunganpadaakhirperiodeke-k adalah: Pk = Pk-1 + Pk-1 (i/m) = Pk-1 (1 + i/m) Kondisiawal (P0) adalahjumlahuangtabunganmula-mula.

14. PenyelesaianRelasiRekurensidenganIterasi Prinsipnya: dihitungsuku-sukubarisansecaraberurutanterusmenerussehinggadiperolehsuatupolatertentu.Misalnya:

15. Contoh 6. Misalkan a0, a1, a2, …, barisan yang didefinisikansecararekursifsbb: Untuksemuabilanganbulat k ≥ 1, ak = ak-1 + 2 (relasirekurensi), a0 = 1 (kondisiawal) Carilahrumuseksplisitbarisantersebutdenganmetodeiterasi. Penyelesaian: ak = ak-1 + 2 = (ak-2) + 2 = ak-2 + 2.2 = (ak-3) + 2.2 = ak-3 + 3.2 = (ak-4) + 3.2 = ak-4 + 4.2 Sesuaipola, terlihatbahwaak = ak-k + k.2 = a0 + 2.k Karena a0 = 1 makapenyelesaianpersamaanrekursifadalahak = 1 + 2k. Jikadiselesaikandengancaramenaik: a1 = a0 + 2 a2 = a1 + 2 = (a0 + 2) + 2 = a0 + 2.2 a3 = a2 + 2 = (a0 + 2 + 2) + 2 = a0 + 3.2 … ak = a0 + k.2 = 1 + 2k

16. Contoh 7. Carilahrumuseksplisitbarisan m1, m2, … yang menyatakanmasalahmenara Hanoi. mk= 2 mk-1 + 1 untukbilanganbulat k ≥ 2 m1 = 1 Penyelesaian: mk = 2 mk-1 + 1 = 2 (2mk-2 + 1) + 1 = 22 mk-2 + 2.1 + 1 = 22 (2mk-3 + 1) + 2.1 + 1 = 23 mk-3 + 22.1 + 2.1 + 1 = 23 (2mk-4 + 1) + 22.1 + 2.1 + 1 = 24 mk-4 + 23.1 + 22.1 + 2.1 + 1 = … = 2k-1mk-(k-1) + 2k-2.1 + … + 23.1 + 22.1 + 21 + 1 = 2k-1 m1 + 2k-2 + … + 23 + 22 + 21 + 1 Karena m1 = 1 maka: mk = 2k-1 + 2k-2 + 2k-3 + … + 23 + 22 + 21 + 1 mkmerupakanderetgeometridengan r = 2 yang besarnya = 2k -1 Jadimk = 2k -1 untukbilanganbulat k ≥ 1

17. Contoh 8. MisalkanKnadalahgrafdengan n buahtitikdansetiappasangtitikdihubungkandengansebuahgaris (Graf Lengkap). JikaSnmenyatakanjumlahgarisdalamKn, maka: a. BuktikanbahwaSnmemenuhirelasirekurensiSn = Sn-1 + (n-1) dankondisiawal S1 = 0 b. SelesaikanrelasirekurensiSntersebut. Penyelesaian: a. Knuntuk n = 1, 2, 3, 4, dan 5 K1 K2 K3 K4 K5

18. Banyaknyagarisdalam K4adalahbanyaknyagaris K3 ditambahdenganbanyaknyagarisbaru yang harusdibuatakibatpenambahansatubuahtitik. Banyaknyagarisbaru yang ditambahkanpada K4samadenganbanyaknyatitikpada K3. Jadi S4 = S3 + 3. Secaraumum: Sn = Sn-1 + (n-1) Kondisiawal S1 = 0 jelasbenarkarenatidakmungkinmembuatgarisdarisatubuahtitik. b. Sn = Sn-1 + (n-1) = (Sn-2 + (n-2)) + (n-1) = Sn-2 + (n-2) + (n-1) = (Sn-3 + (n-3)) + (n-2) + (n-1) = Sn-3 + (n-3) + (n-2) + (n-1) = … = Sn-(n-1) + (n-(n-1)) + …+ (n-3) + (n-2) + (n-1) = S1 + 1 + 2 + … + (n-2) + (n-1) Karena S1 = 0 maka Sn = 1 + 2 + … + (n-2) + (n-1) = ½ n (n-1)

19. Contoh 9. Buktikanbahwarumuseksplisit yang didapatpadacontoh 8 merupakanrumus yang benar. Penyelesaian: Dari contoh 8 didapatSn = ½ n (n-1) Akan dibuktikankebenaranrumustersebutdenganinduksimatematika. Basis: Akan dibuktikankebenaranrumusuntuk n = 1. Menurutrumus, untuk n = 1, S1 = ½ 1 (1-1) = 0 Menurutkondisiawal, S1 = 0. jaditerbuktirumusbenaruntuk n = 0. Induksi: Misalkanrumusbenaruntuk n = k. JadiSk = ½ k (k-1) Menurutpersamaanrekurensiuntuk n = k + 1, Sk+1 = S(k+1)-1 + ((k+1) -1) = Sk + (k) = ½ k (k-1) + k (hipotesainduk) = ½ k (k+1) = ½ (k+1) ((k+1)-1) Terbuktirumusbenaruntuk n = k + 1 JadirumuseksplisituntukSnbenaruntuk n ≥ 1.

20. PenyelesaianRelasiRekurensilewatPersamaanKarakteristik Suatucarapenyelesaianrelasirekurensi yang dapatmenentukanrumuseksplisitdenganpastiadalahmelaluipersamaankarakteristik.a. RelasiRekurensi Linier denganKoefisienKonstanMisalkan n dan k adalahbilangan-bilanganbulattidaknegatifdengan n ≥ k. Relasirekurensi linier derajat k adalahrelasiberbentuk: c0(n) an + c1(n) an-1 + … + ck(n) an-k = f(n), c0(n) danck(n) ≠ 0Jika c0(n), c1(n), …, ck(n) semuanyakonstanta, makarelasirekurensidisebutrelasirekurensi linier dengankoefisienkonstan.Jadirelasirekurensi linier dengankoefisienkonstanadalah: c0 an + c1 an-1 + … + ck an-k = f(n)Apabiladalampersamaantersebut, f(n) = 0, makadisebutrelasirekurensihomogen linier dengankoefisienkonstan.

21. Contoh 10. Tentukanapakahpersamaan di bawahinimerupakanrelasirekurensi linier, linier dengankoefisienkonstanatauhomogen linier dengankoefisienkonstan. Jikademikiantentukanderajatnya! a. an – 7 an-1 + 10 an-2 = 0 b. bk = bk-1 + bk-2 + bk-3 c. ck = 2 ck-2 d. dk = dk-12 + dk-2 e. ek = ek-1.ek-2 f. fk – 2 fk-1 + 1 =0 g. hk = -hk-1 + (k-1) hk-2

22. Penyelesaian: a. Relasirekurensihomogen linier dengankoefisienkonstan derajat 2. b. Relasi (b) dapatdinyatakandenganbk – bk-1 – bk-2 – bk-3 = 0, yang merupakanrelasirekurensihomogen linier dengan koefisienkonstanderajat 3. c. Relasirekurensihomogen linier dengankoefisienkonstanderajat 2. d. Bukanrelasirekurensi linier karenamemuatsukukuadratis dk-12. e. Bukanrelasirekurensi linier karenamemuatpergandaansuku (ek-1.ek-2) f. Relasirekurensi linier dengankoefisienkonstanderajat 1 (f(n) = -1) g. Relasirekurensi linier denganderajat 2 (koefisientidakkonstan)

23. b.RelasiRekurensiHomogen Linier denganKoefisienKonstan Misalkandiberikansuaturelasirekurensihomogen linier dengankoefisienkonstan: an + c1 an-1 + … + ck an-k = 0, ck≠ 0 dan n ≥ kPersamaankarakteristik yang sesuaidenganrelasirekurensitsbadalah:tk + c1 tk-1 + … + ck = 0 Misalkanα1, α2, …, αkadalahakar-akarpersamaankarakteristik di atas. Ada 2 kemungkinanakar:1. SemuaakarberbedaJikasemuaakarpersamaankarakteristikberbeda, makarelasirekurensimempunyaipenyelesaian: an = c1α1n + c2α2n + … + ckαkn, dengan c1, c2, … , ckadalahkonstanta yang nilainyaditentukanberdasarkankondisiawal.2. Ada akar yang kembar.Misalkanpersamaankarakteristiktsbmempunyai p buahakar yang sama.Jadiakar-akarnyaadalah: α1 = α2 = … = αp, αp+1, …, αk. Makapenyelesaianrelasirekurensitsb: an = (c1 + c2n +…+ cpnp-1) α1n + cp+1 αp+1n + … + ckαkn, c1, c2, … , ckkonstantayang nilainyaditentukanberdasarkankondisiawal.

24. Contoh 11. Selesaikanrelasirekurensi di bawahinilewatpersamaankarakteristiknya: a. an = 3 an-1 + 4 an-2untuk n ≥ 2 dengankondisiawal a0 = 1 dan a1 = 3. b. an – 3 an-1 + 3 an-2 – an-3 = 0 untuk n ≥ 3 dengankondisiawal a0 = 1; a1 = 2 dan a2 = 4 c. an – 7 an-1 + 16 an-2 – 12 an-3 = 0 untuk n ≥ 3 dengankondisi awal a0 = 1; a1 = 4 dan a2 = 8

25. Penyelesaian: a. Relasirekurensian- 3 an-1 + 4 an-2= 0, merupakanrelasirekurensihomogen linier dengankoefisienkonstan. Persamaankarakteristik yang sesuaiadalah t2 – 3t – 4 = (t-4)(t+1) = 0 yang mempunyaiakar-akarkarakteristikα1 = 4 danα2 = -1. karenasemuaakar-akarnyaberbeda, makapenyelesaiannyaadalah: an = c1 4n + c2 (-1)n Untukmenentukan c1dan c2, digunakankondisiawal: a0 = 1 sehingga 1 = c1 (4)0 + c2 (-1)0 = c1 + c2 a1 = 3 sehingga 3 = c1 (4)1 + c2 (-1)1 = 4 c1 – c2 Didapatsistempersamaan linier c1 + c2 = 1 dan 4c1 – c2 = 3 yang mempunyaipenyelesaian c1 = 4/5 dan c2 = 1/5 Makapenyelesaianrelasirekurensian - 3 an-1 + 4 an-2 = 0 adalah an = 4/5 (4)n + 1/5 (-1)n

26. Contoh 12. Suatutaruhandilakukandengancaramelemparkoinseimbang. SeorangpenjudimempertaruhkanRp 1.000,- dalamsetiap kali permainan. Jika yang munculadalahgambarmakaiamenangRp 1.000,- dansebaliknya, iaakankalahRp 1.000,- jika yang munculadalahangka. Penjuditersebutakanberhentibermainjikaiakehabisanuang, atauiamenangRp M (dalamribuan). M adalahbilanganbulatpositif yang besarnyaditentukansebelumiamulaiberjudi. MisalkanPnadalahprobabilitaspenjudiakankehabisanuangjikasebelumberjudiiamembawauangsebanyakRp n (dalamribuan) a. CarilahrumuseksplisituntukPn b. Bagaimanapenjudiharusmenentukan M untukmeminimumkan kemungkinankehabisanuang?

27. Penyelesaian: a. Jikasuatukoinseimbangdilemparkan, makakemungkinanmunculnyaangkasamadengankemungkinanmunculnyagambar P(angka) = P(gambar) = ½ Iniberartibahwakemungkinanmenang (gambar) dankalah (angka) jugasama. Jikapenjudimempunyai (k-1) ribu, makasetelah 1 kali permainan, ada 2 kemungkinanjumlahuang yang dimilikipenjuditersebut: 1. Uang yang dimiliki = (k) ribu. Initerjadikalaupenjuditersebutmenang/munculgambar. Jikademikian, makakemungkinaniakehabisanuang = Pk. 2. Uang yang dimiliki = (k-2) ribu. Initerjadikalaupenjuditersebutkalah/munculangka. Jikademikianmakakemungkinaniakehabisanuangadalah Pk-2.

28. Untukkeduakasustsb, kemungkinanterjadinyasama, yaitu= ½. Didapatrelasirekurensi Pk-1 = ½ Pk + ½ Pk-2; 2 ≤ k ≤ M. DidapatPk – 2Pk-1 + Pk-2 = 0 Persamaankarakteristik yang sesuai t2 – 2t + 1 = 0 yang mempunyaiakarkembarα1 = α2 = 1. PenyelesaianrelasirekurensiadalahPn = (c1 + c2n) 1n = c1 + c2n Kondisiawal: Untuk n = 0, probabilitasiaakankehabisanuang = 1. Jadi P0 = 1. Untuk n = M, probabilitasiaakankehabisanuang = 0 karenajikauangnya = M, iaakanberhentiberjudisehinggatidakakankehabisanuang. Jadi PM = 0.

29. Denganmemasukkankondisi-kondisiawal in kerelasirekurensi, didapat: 1 = c1 + c2(0) atau c1 = 1 0 = c1 + c2 M = 1 + c2 M sehingga c2 = -1/M Relasirekurensi yang sesuaiadalah: Pn = 1 – n/M untuksembarangbilanganbulat n dengan 0 ≤ n ≤ M. selanjutnyadibuktikandenganinduksimatematika. b. Agar penjudikehabisanuang (Pn = 1), maka n/M haruslah = 0. initerjadikalau M sangatbesar. Semakinbesar target kemenangan yang dicapaisupayaiaberhentiberjudi (M), semakinbesarkemungkinannyaiaakankehabisanuang (Pn = 1). Jadiuntukmeminimumkankemungkinankehabisanuang, M harusdibuatsedekat-dekatnyadengan n (uang yang dimilikisebelumiamulaiberjudi).

30. c. Penyelesaian Total Penyelesaian total relasirekurensi linier (tidakhomogen) dengankoefisienkonstanadalahgabungandaripenyelesaianhomogendanpenyelesaiankhusus. Kesulitanutamamencaripenyelesaiankhususadalahtidakadanyametode yang pastiuntukmenentukannya. Yang dapatdilakukanhanyalahmemperkirakanbentukumumnya. Metodeperkiraantersebutdikenaldengannamakoefisientaktentu (Undetermined Coefficients).Misalkan an + c1 an-1 + … + ck an-k = f(n) adalahrelasirekurensi linier dengankoefisienkonstan. Misalkanjuga c(t) = tk + c1 tk-1 + … + ckadalahpersamaankarakteristik yang sesuai. Untukbeberapajenisfungsi f(n), polaperkiraanpenyelesaiankhusus yang sesuaidapatdilihatdalamtabelsbb: (P, P0, P1, …, Psadalahkoefisien yang harusdicari)

32. Contoh 13. Carilahpenyelesaian total relasirekurensi di bawahini: a. an – 7 an-1 + 10 an-2 = 4nuntuk n ≥ 2 dengankondisiawal a0 = 8 dan a1 = 36 b. an – 7 an-1 + 10 an-2 = 7.3n + 4nuntukn ≥ 2 c. an – 4 an-1 + 4 an-2 = 2nuntuk n ≥ 2 d. an – 5 an-1 + 6 an-2 = n2 4nuntuk n ≥ 2 e. an – 2 an-1 + an-2 = 5 + 3n untuk n ≥ 2

33. a. Relasirekurensihomogennyaadalahan – 7 an-1 + 10 an-2 = 0 Persamaankarakteristiknya t2 – 7t + 10 = 0 denganakar-akarkarakteristiknyaadalahα1 = 2, α2= 5. Penyelesaianhomogen an = c1 2n + c5 5n Karena f(n) = 4ndan 4 bukanakarkarakteristik, makauntukmencaripenyelesaiankhususdicobabentukank = P (4)n. Penyelesaiankhususinidisubstitusikankerelasirekurensiawal. Didapat: P 4n – 7 (P 4n-1) + 10 (P 4n-2) = 4n P 4n-2 (42 – 7.4 + 10) = 4n P = -8 Penyelesaiankhususank = -8 (4)n Penyelesaian total = penyelesaianhomgen + penyelesaiankhusus an = c1.2n + c2.5n – 8(4)n

34. Untukmencariharga c1dan c2, digunakankondisiawal yang diberikan: a0 = 8 sehingga c1(2)0 + c2(5)0 – 8(4)0 8 = c1 + c2 – 8 16 = c1 + c2 a1 = 36 sehingga 36 = c1(2)1 + c2(5)1 – 8(4)1 36 = 2c1 + 5c2 – 32 68 = 2c1 + 5c2 Didapatsistempersamaan linier c1 + c2 = 16 dan 2c1 + 5c2 = 68 Yang biladiselesaikanakanmenghasilkan c1 = 4 dan c2 = 12. Jadipenyelesaianrelasirekurensimula-mulaadalah an = 4(2)n + 12(5)n – 8(4)n

35. RelasiRekursifdalamIlmuKomputer Dalampemrogramankomputer, relasirekurensidapatdiselesaikandengan 3 cara:1. Mengubahrelasirekurensimenjadirumuseksplisit. Nilaisukubarisanke-n (an) dapatdihitungsecaralangsung. Contoh: ak = ak-1 + 2 dengan a0 = 1Rumuseksplisit yang bersesuaiandenganrelasitsbadalahak = 1 + 2k.Untukmencarisukubarisanke-n (an), yang harusdilakukanadalahmembacaharga n danmembuatstatemenpenugasan an = 1 + 2n

36. 2. Menggunakanstrukturperulangan (looping). Contoh: untukmenghitungsukuke-n barisan Fibonacci yang memenuhirelasiFn = Fn-1 + Fn-2dengan F0 = 1 dan F1 = 1, makadibuatstruktur program sbb: Depan := 1 Tengah := 1 For i := 2 to n Akhir := Depan + Tengah Depan := Tengah Tengah := Akhir {end For} Write (Akhir)

37. 3. Menggunakanprosedurataufungsi yang dipanggilsecararekursif. Merupakanimplementasi proses rekursif yang sesungguhnyadalamkomputer. Relasirekursif an dibuatdalamsuatuprosedur/fungsidengan n sebagaisalahsatuparameternya. Fungsi/prosedurinisecararekursifmemanggildirinyasendiridengannilai parameter yang menurun. Jikabarisan Fibonacci diselesaikandengancaraini, makaprogramnyaadalah (dalamstrukturpascal) sbb: Function Fib (n : Integer) : Integer; Begin If ((n=0) or (n=1)) Then Fib := 1 Else Fib := Fib (n-1) + Fib (n-2) End;

38. LATIHAN Dari buku