1 / 38

RELASI

Produk Cartesius Relasi Relasi Khusus. RELASI. Jika A dan B masing-masing menyatkan himpunan yang tidak kosong, maka produk Cartesius himpunan A dan B adalah himpunan semua pasangan terutut ( x,y ) dengan dan , ditulis. Produk Cartesius. Misalkan. maka:.

ludlow
Download Presentation

RELASI

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Produk Cartesius • Relasi • Relasi Khusus RELASI

  2. Jika A dan B masing-masing menyatkan himpunan yang tidak kosong, maka produk Cartesius himpunan A dan B adalah himpunan semua pasangan terutut (x,y) dengan dan , ditulis Produk Cartesius

  3. Misalkan maka:

  4. Antara elemen-elemen dari dua buah himpunan seringkali terdapat suatu relasi atau hubungan tertentu. Misalnya : A = { 2, 3, 5 } dan B = { 1, 4, 7, 10, 14 } • Akan kita tinjau relasi “ adalah faktor dari “ antara elemen-elemen himpunan A dengan elemen-elemen himpunan B. Tampaklah bahwa : 2 adalahfaktordari 4 2 adalahfaktordari 10 2 adalahfaktordari 14 5 adalahfaktordari10 • Sedangkan3 A tidakberrelasidengansuatuelemenpundarihimpunan B. PengertianRelasi

  5. Diagram panah B A • 1 • 4 • 7 • 10 • 14 • 2 • 3 • 5

  6. Relasi tersebut jugan dapat dinyatakan sebagai himpunan pasangan terurut. Elemen dari himpunan A yang berrelasi dengan elemen dari himpunan B di susun menjadi suatu pasangan terurut, diman elemen dari A pada urutan pertama dan elemen dari B pada urutan yang kedua. Jadi kalau relasi “ adalah faktor dari “ tersebut diberi nama R, maka : R = { (2, 4), (2, 10), (2, 14), (5, 10) } • Jelaslah bahwa R  A x B

  7. Secara umum dapat dikatakan bahwa suatu reelasi dari himpunan A ke himpunan B merupakan himpunan bagian dari A X B ( produk Cartesius A dan B ). • Definisi: R adalah suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B bhb R  A x B • A disebut daerah asal (domain), B disebut daerah kawan (kodomain),

  8. Bila A = B maka relasinya disebut sebagai relasi pada himpunan A. • Suatu relasi R pada himpunan A disebut relasi refleksif bhb setiap elemen dari A berrelasi R dengan dirinya sendiri. • R refleksif pada A bhb. ( xA). (x,x)R • R non-refleksif pada A bhb. (xA).( x,x)R • R irrefleksif pada A bhb. ( xA).( x,x)R RELASI KHUSUS

  9. Suatu relasi R pada himpunan A disebut relasi simetris bhb. Untuk setiap dua elemen x dan y dalam A, bila x berrelasi R dengan y, maka y berrelasi R dengan x. • R simetris pada A bhb (x,yA).(x,y)R(y,x)R • R non- simetris pada A bhb (x,yA).(x,y)R(y,x) R • R asimetris pada A bhb (x,yA).(x,y)R (y,x)  R • R antisimetris pada A bhb (x,yA).(x,y)R  (y,x)R x=y RELASI KHUSUS

  10. relasi R pada himpunan A disebut transitif bhb. Untuk setiap tiga elemen x,y dan zA, bila x berrelasi R dengan y dan y berrelasi R dengan z , maka x berrelasi R dengan z. • R transitif pada A bhb. (x,y,zA).(x,y)R  ( y,z )R  (x,z) R • R non-transitif pada A bhb : (x,y,zA).(x,y)R  ( y,z )R  (x,z)R • R intransitif pada A bhb : (x,y,zA).(x,y)R  ( y,z )R  (x,z)R RELASI KHUSUS

  11. Suatu relasi R pada himpunan A yang sekaligus bersifat refleksif,simetris dan transitif disebut relasi ekuivalensi pada A. RELASI KHUSUS

  12. Definisi: Keluarga himpunan bagian yang tidak kosong dari suatu himpunan A disebut P a r t i s i dari A bhb. 1. Gabungan dari semua himpunan bagian itu adalah himpunan A sendiri. 2. Setiap dua himpunan bagian yang tidak sama merupakan dua himpunan yang saling lepas. Jadi suatu keluarga himpunan bagian yang tidak kosong dari himpunan A, misalnya {A1, A2, A3, …..An}, adalah partisi dari A apabila 1. A1 A2  A3 …..  An = A 2. (Ai , Aj ). Ai Aj Ai Aj = 

  13. Suatu relasi antara anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B disebut Fungsi. (pemetaan) bhb relasi itu mengkaitkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. • f : A  B bhb. ( x  A).( !y  B) . y = f (x) FUNGSI

  14. Perhatikanbahwasuatufungsi f dari A ke B adalahsuaturelasi yang mempunyaiduasifatkhusus, yaitu: • Setiapanggotahimpunan A (daerahasal) dikawankandengananggotahimpunan B. (Seringkalidikatakanbahwa “ daerahasaldihabiskan “) • Kawandarianggota-anggotahimpunan A (daerahasal) adalahtunggal. Sifatinidapatdinyatakansecarasimbolis: ( xi, xj A). x1 = x2 f (x1) = f (x2) FUNGSI

  15. Diagram panah B A • 1 • 4 • 7 • 10 • 14 • 2 • 3 • 5 FUNGSI

  16. Contoh: Misalkan A : {1, 2, 3, 4} B : {a, b, c} Terdapatrelasi f : AB • f : {(1,a), (2,b), (3,c)} • f : {(1,a), (1,b), (2,a), (3,b), (4,c)} • f : {(1,a), (2,a), (3,b), (4,c)} FUNGSI

  17. Contoh: Misalkan A : {1, 2, 3, 4} B : {a, b, c} Terdapatrelasi f : AB • f : {(1,a), (2,b), (3,c)}  bukanfungsihanyarelasibiasa • f : {(1,a), (1,b), (2,a), (3,b), (4,c)}  bukanfungsihanyarelasibiasa • f : {(1,a), (2,a), (3,b), (4,c)}  fungsi FUNGSI

  18. Ada dua macam cara untuk menyajikan suatu fungsi, yaitu: 1. Cara aturan : fungsi itu disajikan dengan cara menyatakan aturan yang menentukan relasi antara angggota – anggota daerah asal dengan anggota – anggota daerah kawannya. Contoh : f: R R dimana f(x) = x R = himpunansemuabilangannyata. FUNGSI

  19. 2. Cara himpunan: Sepertihalnyarelasi, makafungsi f dari A ke B dapatdipandangsebagaihimpunanbagian (khusus) dari A x B. Makafungsi f : R R dimana f ( x ) = x dapatjugadisajikansebagaisuatuhimpunan, yaituhimpunanbagiandari R x R : F = { (x,y)x R, y R, y = x } FUNGSI

  20. Kesamaanduabuahfungsi. • Duabuahfungsif : A  B dang : A  B dikatakansamabilakeduafungsiitumengkaitkananggota-anggotadaridaerahasalnyadengananggota-anggota yang samadidaerahkawannya. f = gbhb (  xA).f(x) = g(x) • Contoh : f : R R dimana f(x) = 2(x+1)(x-2) g : R R dimana g(x) = 2x2-2x-4 Karena f (x ) = 2(x+1)(x-2) = 2(x2-x-2) = 2x2-2x-4 = g(x) Maka f = g FUNGSI

  21. FUNGSI SURJEKTIF/ONTO • FUNGSI INJEKTIF/SATU-SATU • FUNGSI BIJEKTIF/KORESPONDENSI SATU-SATU • FUNGSI KONSTAN • FUNGSI IDENTITAS FUNGSI-FUNGSI KHUSUS

  22. Suatu fungsi f : A B disebut fungsi surjektif dari A kepada (onto) B bila setiap anggota B merupakan bayangan dari suatu anggota A. • Jadi pada fungsi yang surjektif, daerah hasilnya berimpit dengan daerah kawan (atau daerah kawannya dihabiskan ). • f : A  B adalah fungsi surjektif bhb ( yB) ( xA). y = f (x) bhb Rf = B bhb ( yB) f-1 (y) =  FUNGSI SURJEKTIF/ONTO

  23. Contoh Diagram panah B A • 7 • 10 • 2 • 3 • 5 FUNGSI SURJEKTIF

  24. Suatu fungsi f : A  B disebut fungsi injektif bila anggota – anggota dari B merupakan bayangan dari tepat satu anggota A. • f : A  B adalah fungsi injektif bhb ( x1,x2 A ). x1 x2  f(x1)  f(x2) bhb ( x1,x2 A ). f(x1) = f(x2)  x1 = x2 FUNGSI INJEKTIF/SATU-SATU

  25. contoh Diagram panah B A • 1 • 4 • 7 • 10 • 14 • 2 • 3 • 5 FUNGSI INJEKTIF

  26. Suatu fungsi f : AB merupakan fungsi bijektif apabila fungsi f adalah fungsi surjektif dan sekaligus injektif. • Fungsi bijektif sering dikatakan fungsi korespondensi satu-satu. FUNGSI BIJEKTIF

  27. Contoh Diagram panah B A • 7 • 10 • 14 • 2 • 3 • 5 FUNGSI BIJEKTIF

  28. Suatu fungsi f : A  B disebut fungsi konstan bila bayangan semua anggota A adalah satu anggota yang sama di B. • f : A  B adalah fungsi konstan bhb.( !c  B)(xA).f(x) = c • Contoh: 1. f(x) = 2 2. Diagram panah B A • 7 • 10 • 14 • 2 • 3 • 5 FUNGSI KONSTAN

  29. Suatu fungsi f : A  B disebut fungsi indentitas bila bayangan dari setiap anggota dari A ialah dirinya sendiri. • Daerah asal dan saerah kawan dari suatu fungsi identits adalah himpunan yang sama. • f : A  A adalah fungsi indentitas bhb.( xA). f(x) = x FUNGSI IDENTITAS

  30. CONTOH Diagram panah A A • 2 • 3 • 5 • 2 • 3 • 5 FUNGSI IDENTITAS

  31. Misalkan A : {a,b,c} B : {1,2,3} C: {x, y, z, w} D: {4,5,6} f: AB g: BC h: CD i: BD Tentukanapakahfungsiberikutsurjektif, injektifataubijektif? • f: {(a,2), (b,1), (c,2)} • g: {(1,y), (2,x), (3,w)} • h: {(x,4), (y,6), (z,4), (w,5)} • i: {(1,4), (2,6), (3,5)} LATIHAN

  32. Duabuahfungsi yang memenuhisyarattertentudapatdisusun (dikomposisikan) menjadisuatufungsibaru yang disebutfungsitersusun (fungsikomposisi). • Misalnyakitamempunyaiduabuahfungsi f : A  B dan g : C  D dimanaRg A, C  A  B makakeduafungsitersebutdapatdisusunmenjadifungsibaru, yang disajikandenganlambang f o g : C  B • Denganaturan ( f o g ) ( x ) = f [ g ( x ) ] • ( lambang “ f o g “ dibaca “ f bundaran g “ ) g f f o g FUNGSI TERSUSUN

  33. CONTOH: Modulhalaman 81 Latihan: 1. Misalkan A : {a,b,c} B : {1,2} C: {1,2,3} D: {x, y, z, w} f: AB, f: {(a,2), (b,1), (c,2) g: CD, g: {(1,y), (2,x), (3,w)} Tentukan g o f! 2. Perhatikanfungsi f(x) = x2 + 3x + 1 dan g(x) = 2x -3. Tentukan g o f (x)! FUNGSI TERSUSUN

  34. g o f f g A C D a . b . c . . 1 . 2 . 3 . x . y . z . w

  35. CONTOH: Modulhalaman 81 Latihan: 1. Misalkan A : {a,b,c} B : {1,2} C: {1,2,3} D: {x, y, z, w} f: AB, f: {(a,2), (b,1), (c,2) g: CD, g: {(1,y), (2,x), (3,w)} Tentukan g o f : AD g o f (a) = g(f(a)) = g(2) = x g o f (b) = g (f(b)) = g (1) = y g o f ( c ) = g(f (c ) = g(2) = x FUNGSI TERSUSUN

  36. Perhatikanfungsi f(x) = x2 + 3x + 1 dan g(x) = 2x -3. Tentukan g o f (x)! • g o f (x) = g (f(x)) = g (x2 + 3x + 1) = 2 (x2 + 3x + 1) – 3 = 2x2 + 6x + 2 – 3 = 2x2 + 6x – 1

  37. Sifat-sifat Komposisi Fungsi. 1. Komposisi fungsi bersifat assosiatif, yaitu untuk tiap tiga buah fungsi f,g dan h yang dapat dikomposisikan berlakulah: (f o g ) o h=f o (g o h) 2. Bila i adalah fungsi identitas, yaitu i (x) = x untuk tiap xanggotadomainnya, dan i dapat dikomposisikan dengan suatu fungsi f, maka i o f = f dan f o i = f. 3. Bila f adalah fungsi bijektif, maka f o f= f o f = i dimana i adalah fungsi identitas. FUNGSI TERSUSUN

  38. Fungsi nyata ialah fungsi yang daerah asal dan daerah kawannya adalah himpunan bilangan – bilangan nyata. FungsiNyatadanGrafikFungsi

More Related