1 / 41

RELASI

RELASI. Relasi antara Ayah dan anak , Ibu dengan anak , dll Dalam aritmatika : Relasi “ Lebih besar ” atau “ Lebih kecil ” digunakan untuk membandingkan dua buah bilangan yang berbeda Binary Relation/Relation = relasi antara 2 objek. RELASI DALAM HIMPUNAN.

rasha
Download Presentation

RELASI

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. RELASI • Relasiantara Ayah dananak, Ibudengananak, dll • Dalamaritmatika: Relasi “Lebihbesar” atau “Lebihkecil” digunakanuntukmembandingkanduabuahbilangan yang berbeda • Binary Relation/Relation = relasiantara 2 objek

  2. RELASI DALAM HIMPUNAN • Relasidarihimpunan A kehimpunan B, artinya • Memetakansetiapanggotapadahimpunan A (x ∈ A) dengananggotapadahimpunan B (y ∈ B) • RelasiantarahimpunanA danhimpunanB jugamerupakanhimpunan, yaituhimpunan yang berisipasanganberurutan yang mengikutiaturantertentu, contoh (x,y) ∈ R • RelasibinerR antarahimpunanA danB merupakanhimpunanbagiandaricartesian product A × B atauR ⊆ (A × B)

  3. NOTASI DALAM RELASI • Relasiantaraduabuahobjekdinyatakandenganhimpunanpasanganberurutan (x,y) ∈ R • contoh: relasi F adalahrelasi ayah dengananaknya, maka: F = {(x,y)|x adalah ayah dari y} • xRydapatdibaca: x memilikihubungan R dengan y

  4. CONTOH • Humpunan A : himpunannamaorang • A={Via, Andre, Ita} • Himpunan B : himpunannamamakanan • B={eskrim, coklat, permen} • Relasimakanankesukaan (R) darihimpunan A dan B adalah:

  5. CONTOH RELASI B A R A : Domain B : Kodomain R : Relasidengannama “ MakananKesukaan “ Relasi R dalam A artinya domain dankodomainnyaadalah A

  6. CARA MENYATAKAN RELASI • Diagarampanah • Himpunanpasanganberurutan • Diagram Cartesius • Tabel • Matriks • Graph Berarah

  7. CARA MENYATAKAN RELASI • Diagram Panah R B A permen coklat Es krim • R={(x,y)|x menyukai y; x ∈ A dan y ∈ B}

  8. CARA MENYATAKAN RELASI • Himpunanpasanganberurutan • R={(Via,permen) , (Via,coklat) , (Andre,coklat) , (Andre,eskrim) , (Ita,eskrim)} • Diagram Kartesius

  9. CARA MENYATAKAN RELASI • Tabel

  10. CARA MENYATAKAN RELASI • Matriks • Baris = domain • Kolom = kodomain Es krim Coklat Permen

  11. CARA MENYATAKAN RELASI • Graph berarah • hanyauntukmerepresentasikanrelasipadasatuhimpunan (bukanantaraduahimpuanan). • Tiapunsurhimpunandinyatakandengansebuahtitik (disebutjugasimpulatauvertex) • Tiappasanganterurutdinyatakandenganbusur (arc). • Jika (a, b) ∈ R, makasebuahbusurdibuatdarisimpula kesimpulb. • Simpula disebutsimpulasal (initial vertex) • simpulb disebutsimpultujuan (terminal vertex) • Pasanganterurut (a, a) dinyatakandenganbusurdarisimpula kesimpula sendiri. Busursemacamitudisebutloop

  12. CARA MENYATAKAN RELASI • Contoh graph berarah • MisalkanR = {(a, b), (b, c), (b, d), (c, c) (c, a), (c, d), (d, b)} adalahrelasipadahimpunan {a, b, c, d}.

  13. LATIHAN 1 • Z = {1,2,3,4}; • R = {(x,y)|x > y ; x ∈ Z dan y ∈ Z} • Nyatakanrelasitersbutdalambentuk • Himpunanpasanganberurutan • Matrix • Graf

  14. SIFAT- SIFAT RELASI • Refleksif (reflexive) • Transitif (transitive) • SIMETRIK (SYMMETRIC) • ASIMETRIK (ASYMMETRIC) • ANTI SIMETRIK (ANTISYMMETRIC) • EQUVALENT

  15. REFLEKSIF • Sebuahrelasidikatakanrefleksifjikasedikitnya: x ∈ A, xRx • Minimal

  16. TRANSITIF • Sebuahrelasidikatakanbersifattransitifjika: • xRy , yRz => xRz ; (x,y, z) ∈ A • Contoh: R = {(a,d),(d,e),(a,e)}

  17. SIMETRIK • Sebuahrelasidikatakanbersifatsimetrisjika: • xRy, berlaku pula yRxuntuk (x dan y) ∈ A • Cotoh: A={a,b,c,d} R={(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(a,b),(b,a),(c,d),(d,c)}

  18. ASIMETRIK • Relasiasimetrikadalahkebalikandarirelasisimetrik • Artinya (a,b) ∈ R, (b,a) ∉ R • Contohnya • R = {(a,b), (a,c), (c,d)}

  19. ANTI SIMETRIK • Relasi R dikatakanantisimetrikjika, untuksetiap x dan y didalam A; jikaxRydanyRxmaka x=y

  20. EQUIVALEN • Sebuahrelasi R dikatakanequivalenjikamemenuhisyarat: • Refelksif • Simeteris • Transitif

  21. PARTIALLY ORDER SET(POSET) • Sebuahrelasi R dikatakanterurutsebagian (POSET) jikamemenuhisyarat: • Refleksif • Antisimetri • Transitif

  22. LATIHAN 2 • A={1,2,3,4} Sebutkansifatuntukrelasi < padahimpunan A ! • Apakahrelasiberikutasimetris, transitif? R = {(1,2),(3,4),(2,3)} • Apakah R = {(a,a),(a,b),(a,c),(b,b),(b,a),(c,c)} refleksif? • R merupakanrelasipadahimpunan Z, yang dinyatakanolehaRbjikadanhanyajikaa=b ataua=–b Periksa, apakahrelasitersebutmerupakanrelasiekivalen !

  23. OPERASI DALAM RELASI • Operasihimpunansepertiirisan, gabungan, selisih, danpenjumlahan (bedasetangkup) jugaberlakupadarelasi • JikaR1 danR2 masing-masingmerupakanrelasidarihimpunaA kehimpunanB, makaR1 ∩ R2, R1 ∪ R2, R1 – R2, danR1 ⊕ R2 jugaadalahrelasidariA keB.

  24. CONTOH OPERASI RELASI • MisalkanA = {a, b, c} danB = {a, b, c, d}. RelasiR1 = {(a, a), (b, b), (c, c)} RelasiR2 = {(a, a), (a, b), (a, c), (a, d)} Maka : • R1 ∩ R2 = {(a, a)} • R1 ∪ R2 = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d)} • R1 − R2 = {(b, b), (c, c)} • R2 − R1 = {(a, b), (a, c), (a, d)} • R1 ⊕ R2 = {(b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d)}

  25. OPERASI DALAM BENTUK MARIKS • MisalkanbahwarelasiR1 danR2 padahimpunanA dinyatakanolehmatriks Maka:

  26. KOMPOSISI RELASI • Misalkan • R adalahrelasidarihimpunanA kehimpunanB • T adalahrelasidarihimpunanB kehimpunanC. • KomposisiR danS, dinotasikandenganT ο R, adalahrelasidariA keC yang didefinisikanoleh : T ο R = {(a, c) a ∈ A, c ∈ C, danuntuksuatub ∈ B sehingga (a, b) ∈ R dan (b, c) ∈ S }

  27. KOMPOSISI RELASI • Misalkan, A = {a, b, c}, B = {2, 4, 6, 8} danC = {s, t, u} • RelasidariA keB didefinisikanoleh : R = {(a, 2), (a, 6), (b, 4), (c, 4), (c, 6), (c, 8)} • RelasidariB keC didefisikanoleh : T = {(2, u), (4, s), (4, t), (6, t), (8, u)} • MakakomposisirelasiR danT adalah T ο R = {(a, u), (a, t), (b, s), (b, t), (c, s), (c, t), (c, u)}

  28. KOMPOSISI RELASI • T ο R = {(a,u), (a,t), (b,s), (b,t), (c,s), (c,t), (c,u)} R T

  29. FUNGSI • Fungsiadalahbentukkhususdarirelasi • SebuahrelasidikatakanfungsijikaxRy, untuksetiap x anggota A memilikitepatsatupasangan, y, anggotahimpunan B • Kita dapatmenuliskanf(a) = b, jikab merupakanunsurdi B yang dikaitkanolehf untuksuatua diA. • Iniberartibahwajikaf(a) = b danf(a) = c makab = c.

  30. FUNGSI • Jikaf adalahfungsidarihimpunanA kehimpunanB, kitadapatmenuliskandalambentuk : f : A → B artinyaf memetakanhimpunanA kehimpunanB. • Nama lain untukfungsiadalahpemetaanatautransformasi.

  31. DOMAIN, KODOMAIN DAN JELAJAH • f : A → B • A dinamakandaerahasal (domain) darif danB dinamakandaerahhasil (codomain) darif. • Misalkanf(a) = b, • makab dinamakanbayangan (image) daria, • dana dinamakanpra-bayangan (pre-image) darib. • Himpunan yang berisisemuanilaipemetaanf dinamakanjelajah (range) darif.

  32. Domain : A = {a,b,c,d} • Kodomain : B = {1,2,3,4,5} • 1 adalah image dari a, 2 adalah image dari c • b adalah pre-image dari 3 • Range darifungsitersebutadalah J = {1,2,3,5} • J  B

  33. PENULISAN FUNGSI • Himpunanpasanganterurut. • Misalkanfungsikuadratpadahimpunan {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10} makafungsiitudapatdituliskandalambentuk : f = {(2, 4), (3, 9)} • Formula pengisiannilai (assignment) • f(x) = x2 + 10, • f(x) = 5x

  34. JENIS-JENIS FUNGSI • Fungsi INJEKTIF • Fungsi SURJEKTIF • FUNGSI BIJEKTIF • Fungsi invers

  35. a 1 b 2 3 c d 4 FUNGSI INJEKTIF • Fungsisatu-satu • Fungsi f: A → B disebut fungsi satu-satujika dan hanya jika untuk sembarang a1 dan a2 dengan a1 tidak sama dengan a2 berlaku f(a1) tidak sama dengan f(a2). Dengan kata lain, bila a1 = a2 maka f(a1) sama dengan f(a2). 5

  36. a 1 b 2 3 c d FUNGSI SURJEKTIF • Fungsikepada • Fungsi f: A → B disebut fungsi kepada jika dan hanya jika untuk sembarang b dalam kodomain B terdapat paling tidak satu a dalam domain A sehingga berlaku f(a) = b. • Suatu kodomain fungsi surjektif sama denganrange-nya (semuakodomainadalahpetadari domain).

  37. a 1 b 2 3 c d 4 FUNGSI BIJEKTIF • Fungsi f: A → B disebut disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika untuk sembarang b dalam kodomain B terdapat tepat satu a dalam domain A sehingga f(a) = b, dan tidak ada anggota A yang tidak terpetakan dalam B. • Dengan kata lain, fungsi bijektif adalahfungsi injektif sekaligusfungsi surjektif.

  38. FUNGSI INVERS • Fungsi invers merupakan kebalikan dari fungsi itu sendiri • f : A  B dimana f(a) = b • f –1: B  A dimana f –1(b) = a • Catatan:fdanf –1harusbijective

  39. OPERASI FUNGSI • (f +g)(x) = f(x) + g(x) • (f . g)(x) = f(x) . g(x) • Komposisi: (f o g)(x) = f(g(x))

  40. LATIHAN 3 • f(x) = x2 + 1 • g(x) = x + 6 • Tentukan: • (f + g)(x) • (f – g)(x) • (f . g)(x) • (f o g)(x) • Inversdari g(x)

  41. Sekian

More Related