RELASI

1. RELASI • Relasiantara Ayah dananak, Ibudengananak, dll • Dalamaritmatika: Relasi “Lebihbesar” atau “Lebihkecil” digunakanuntukmembandingkanduabuahbilangan yang berbeda • Binary Relation/Relation = relasiantara 2 objek

2. RELASI DALAM HIMPUNAN • Relasidarihimpunan A kehimpunan B, artinya • Memetakansetiapanggotapadahimpunan A (x ∈ A) dengananggotapadahimpunan B (y ∈ B) • RelasiantarahimpunanA danhimpunanB jugamerupakanhimpunan, yaituhimpunan yang berisipasanganberurutan yang mengikutiaturantertentu, contoh (x,y) ∈ R • RelasibinerR antarahimpunanA danB merupakanhimpunanbagiandaricartesian product A × B atauR ⊆ (A × B)

3. NOTASI DALAM RELASI • Relasiantaraduabuahobjekdinyatakandenganhimpunanpasanganberurutan (x,y) ∈ R • contoh: relasi F adalahrelasi ayah dengananaknya, maka: F = {(x,y)|x adalah ayah dari y} • xRydapatdibaca: x memilikihubungan R dengan y

4. CONTOH • Humpunan A : himpunannamaorang • A={Via, Andre, Ita} • Himpunan B : himpunannamamakanan • B={eskrim, coklat, permen} • Relasimakanankesukaan (R) darihimpunan A dan B adalah:

5. CONTOH RELASI B A R A : Domain B : Kodomain R : Relasidengannama “ MakananKesukaan “ Relasi R dalam A artinya domain dankodomainnyaadalah A

6. CARA MENYATAKAN RELASI • Diagarampanah • Himpunanpasanganberurutan • Diagram Cartesius • Tabel • Matriks • Graph Berarah

7. CARA MENYATAKAN RELASI • Diagram Panah R B A permen coklat Es krim • R={(x,y)|x menyukai y; x ∈ A dan y ∈ B}

8. CARA MENYATAKAN RELASI • Himpunanpasanganberurutan • R={(Via,permen) , (Via,coklat) , (Andre,coklat) , (Andre,eskrim) , (Ita,eskrim)} • Diagram Kartesius

9. CARA MENYATAKAN RELASI • Tabel

10. CARA MENYATAKAN RELASI • Matriks • Baris = domain • Kolom = kodomain Es krim Coklat Permen

11. CARA MENYATAKAN RELASI • Graph berarah • hanyauntukmerepresentasikanrelasipadasatuhimpunan (bukanantaraduahimpuanan). • Tiapunsurhimpunandinyatakandengansebuahtitik (disebutjugasimpulatauvertex) • Tiappasanganterurutdinyatakandenganbusur (arc). • Jika (a, b) ∈ R, makasebuahbusurdibuatdarisimpula kesimpulb. • Simpula disebutsimpulasal (initial vertex) • simpulb disebutsimpultujuan (terminal vertex) • Pasanganterurut (a, a) dinyatakandenganbusurdarisimpula kesimpula sendiri. Busursemacamitudisebutloop

12. CARA MENYATAKAN RELASI • Contoh graph berarah • MisalkanR = {(a, b), (b, c), (b, d), (c, c) (c, a), (c, d), (d, b)} adalahrelasipadahimpunan {a, b, c, d}.

13. LATIHAN 1 • Z = {1,2,3,4}; • R = {(x,y)|x > y ; x ∈ Z dan y ∈ Z} • Nyatakanrelasitersbutdalambentuk • Himpunanpasanganberurutan • Matrix • Graf

14. SIFAT- SIFAT RELASI • Refleksif (reflexive) • Transitif (transitive) • SIMETRIK (SYMMETRIC) • ASIMETRIK (ASYMMETRIC) • ANTI SIMETRIK (ANTISYMMETRIC) • EQUVALENT

15. REFLEKSIF • Sebuahrelasidikatakanrefleksifjikasedikitnya: x ∈ A, xRx • Minimal

16. TRANSITIF • Sebuahrelasidikatakanbersifattransitifjika: • xRy , yRz => xRz ; (x,y, z) ∈ A • Contoh: R = {(a,d),(d,e),(a,e)}

17. SIMETRIK • Sebuahrelasidikatakanbersifatsimetrisjika: • xRy, berlaku pula yRxuntuk (x dan y) ∈ A • Cotoh: A={a,b,c,d} R={(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(a,b),(b,a),(c,d),(d,c)}

18. ASIMETRIK • Relasiasimetrikadalahkebalikandarirelasisimetrik • Artinya (a,b) ∈ R, (b,a) ∉ R • Contohnya • R = {(a,b), (a,c), (c,d)}

19. ANTI SIMETRIK • Relasi R dikatakanantisimetrikjika, untuksetiap x dan y didalam A; jikaxRydanyRxmaka x=y

20. EQUIVALEN • Sebuahrelasi R dikatakanequivalenjikamemenuhisyarat: • Refelksif • Simeteris • Transitif

21. PARTIALLY ORDER SET(POSET) • Sebuahrelasi R dikatakanterurutsebagian (POSET) jikamemenuhisyarat: • Refleksif • Antisimetri • Transitif

22. LATIHAN 2 • A={1,2,3,4} Sebutkansifatuntukrelasi < padahimpunan A ! • Apakahrelasiberikutasimetris, transitif? R = {(1,2),(3,4),(2,3)} • Apakah R = {(a,a),(a,b),(a,c),(b,b),(b,a),(c,c)} refleksif? • R merupakanrelasipadahimpunan Z, yang dinyatakanolehaRbjikadanhanyajikaa=b ataua=–b Periksa, apakahrelasitersebutmerupakanrelasiekivalen !

23. OPERASI DALAM RELASI • Operasihimpunansepertiirisan, gabungan, selisih, danpenjumlahan (bedasetangkup) jugaberlakupadarelasi • JikaR1 danR2 masing-masingmerupakanrelasidarihimpunaA kehimpunanB, makaR1 ∩ R2, R1 ∪ R2, R1 – R2, danR1 ⊕ R2 jugaadalahrelasidariA keB.

24. CONTOH OPERASI RELASI • MisalkanA = {a, b, c} danB = {a, b, c, d}. RelasiR1 = {(a, a), (b, b), (c, c)} RelasiR2 = {(a, a), (a, b), (a, c), (a, d)} Maka : • R1 ∩ R2 = {(a, a)} • R1 ∪ R2 = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d)} • R1 − R2 = {(b, b), (c, c)} • R2 − R1 = {(a, b), (a, c), (a, d)} • R1 ⊕ R2 = {(b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d)}

25. OPERASI DALAM BENTUK MARIKS • MisalkanbahwarelasiR1 danR2 padahimpunanA dinyatakanolehmatriks Maka:

26. KOMPOSISI RELASI • Misalkan • R adalahrelasidarihimpunanA kehimpunanB • T adalahrelasidarihimpunanB kehimpunanC. • KomposisiR danS, dinotasikandenganT ο R, adalahrelasidariA keC yang didefinisikanoleh : T ο R = {(a, c) a ∈ A, c ∈ C, danuntuksuatub ∈ B sehingga (a, b) ∈ R dan (b, c) ∈ S }

27. KOMPOSISI RELASI • Misalkan, A = {a, b, c}, B = {2, 4, 6, 8} danC = {s, t, u} • RelasidariA keB didefinisikanoleh : R = {(a, 2), (a, 6), (b, 4), (c, 4), (c, 6), (c, 8)} • RelasidariB keC didefisikanoleh : T = {(2, u), (4, s), (4, t), (6, t), (8, u)} • MakakomposisirelasiR danT adalah T ο R = {(a, u), (a, t), (b, s), (b, t), (c, s), (c, t), (c, u)}

28. KOMPOSISI RELASI • T ο R = {(a,u), (a,t), (b,s), (b,t), (c,s), (c,t), (c,u)} R T

29. FUNGSI • Fungsiadalahbentukkhususdarirelasi • SebuahrelasidikatakanfungsijikaxRy, untuksetiap x anggota A memilikitepatsatupasangan, y, anggotahimpunan B • Kita dapatmenuliskanf(a) = b, jikab merupakanunsurdi B yang dikaitkanolehf untuksuatua diA. • Iniberartibahwajikaf(a) = b danf(a) = c makab = c.

30. FUNGSI • Jikaf adalahfungsidarihimpunanA kehimpunanB, kitadapatmenuliskandalambentuk : f : A → B artinyaf memetakanhimpunanA kehimpunanB. • Nama lain untukfungsiadalahpemetaanatautransformasi.

31. DOMAIN, KODOMAIN DAN JELAJAH • f : A → B • A dinamakandaerahasal (domain) darif danB dinamakandaerahhasil (codomain) darif. • Misalkanf(a) = b, • makab dinamakanbayangan (image) daria, • dana dinamakanpra-bayangan (pre-image) darib. • Himpunan yang berisisemuanilaipemetaanf dinamakanjelajah (range) darif.

32. Domain : A = {a,b,c,d} • Kodomain : B = {1,2,3,4,5} • 1 adalah image dari a, 2 adalah image dari c • b adalah pre-image dari 3 • Range darifungsitersebutadalah J = {1,2,3,5} • J  B

33. PENULISAN FUNGSI • Himpunanpasanganterurut. • Misalkanfungsikuadratpadahimpunan {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10} makafungsiitudapatdituliskandalambentuk : f = {(2, 4), (3, 9)} • Formula pengisiannilai (assignment) • f(x) = x2 + 10, • f(x) = 5x

34. JENIS-JENIS FUNGSI • Fungsi INJEKTIF • Fungsi SURJEKTIF • FUNGSI BIJEKTIF • Fungsi invers

35. a 1 b 2 3 c d 4 FUNGSI INJEKTIF • Fungsisatu-satu • Fungsi f: A → B disebut fungsi satu-satujika dan hanya jika untuk sembarang a1 dan a2 dengan a1 tidak sama dengan a2 berlaku f(a1) tidak sama dengan f(a2). Dengan kata lain, bila a1 = a2 maka f(a1) sama dengan f(a2). 5

36. a 1 b 2 3 c d FUNGSI SURJEKTIF • Fungsikepada • Fungsi f: A → B disebut fungsi kepada jika dan hanya jika untuk sembarang b dalam kodomain B terdapat paling tidak satu a dalam domain A sehingga berlaku f(a) = b. • Suatu kodomain fungsi surjektif sama denganrange-nya (semuakodomainadalahpetadari domain).

37. a 1 b 2 3 c d 4 FUNGSI BIJEKTIF • Fungsi f: A → B disebut disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika untuk sembarang b dalam kodomain B terdapat tepat satu a dalam domain A sehingga f(a) = b, dan tidak ada anggota A yang tidak terpetakan dalam B. • Dengan kata lain, fungsi bijektif adalahfungsi injektif sekaligusfungsi surjektif.

38. FUNGSI INVERS • Fungsi invers merupakan kebalikan dari fungsi itu sendiri • f : A  B dimana f(a) = b • f –1: B  A dimana f –1(b) = a • Catatan:fdanf –1harusbijective

39. OPERASI FUNGSI • (f +g)(x) = f(x) + g(x) • (f . g)(x) = f(x) . g(x) • Komposisi: (f o g)(x) = f(g(x))

40. LATIHAN 3 • f(x) = x2 + 1 • g(x) = x + 6 • Tentukan: • (f + g)(x) • (f – g)(x) • (f . g)(x) • (f o g)(x) • Inversdari g(x)

41. Sekian