Teorija igara

1. Teorija igara

2. Uvod U svakodnevnom životu, podjednako poslovnom i privatnom, okolina u kojoj djelujemo promjenjiva je i dinamična i u njoj susrećemo pojedince ili (interesne) grupe čije su aktivnosti i djelovanja u odlučivanju relevantna, a ponekad i presudna za naše odluke .

3. Uvod u teoriju igara • Malo je vjerojatno da postoji netko tko nikada nije ušao u sportsku kladionicu da odigra „keca“ ili „dvojku“ ili igrao igre na sreću gdje „svaka dobiva“. • “siguran par, dobitak garantiran“ – što se ustvari krije iza tih parova, tombole, lutrije i kladionice? • Krije se nešto što je puno širi pojam od kladionice ili pobjede i poraza. • Krije se znanost koja je utkana u sve sfere života. Krije se, običnim ljudima nepoznata, teorija igara.

4. Uvod u teoriju igara • Teorija igara sadrži strategiju kao najsavršeniji pojam u igri. • Što je to strategija koju primjenjuju igrači u igri? Tko su igrači? Što je igra? • Igra je lijepa stvar, lijepo je biti igrač. Sjajno je biti strateg. Ali samo kad se radi o zabavi. • Teorija igara je svuda oko nas. U svim područjima života služimo se različitim strategijama u interakciji s drugim ljudima, a teorija igara pomaže nam u analizama strateških problema u različitim okruženjima kao što su, primjerice, obiteljske svađe, međususjedski odnosi ili sporovi…

5. - Razvoj teorije igara • Matematička disciplina koja se razvila sredinom 20. st. • Davno prije formiranja teorije igara njezina ideja utjecala je na razne vojskovođe i njihove ratne strategije. • Formalni začeci teorije igara pripisuju se Jamesu Waldegraveu, izumitelju kartaške igre Le Her koji je prvi puta predložio formu minmax – rješenja mješovite strategije igre za dvije osobe.

6. Doprinos teoriji igara dali su matematičar John von Neumann i ekonomist Oskar Morgenstern kroz knjigu “Teorija igara i ekonomsko ponašanje” (Theory of Games and Economic Behavior) • Prvi put se eksplicitno povezuje teorija igara s ekonomijom

7. 1950. godine prvi put predstavljena igra poznata pod nazivom zatvorenikova dilema (Prisioner's Dillema) • 1974. objavljena knjiga „Values of Non – Atomic Games“ koja se bavi vrijednostima u velikim igrama u kojima su pojedinačno svi igrači beznačajni

8. Doprinos teoriji igara dao je i John Nash u svom radu: Non-cooperative games, Annals of Mathematics • O Johnu Nashu je i snimljen biografski film: Genijalni um

9. Teorija igara Analizira donošenje odluka u konfliktnim situacijama pri čemu svaki od sudionika u igri nastoji promovirati vlastiti interes, poštujući pravila igre i koristeći različite strategije kako bi sebi osigurao povoljan ishod igre. • Cilj odrediti ponašanje sudionika koje je za njih najpovoljnije – optimalna strategija • Zadatakpronalaženje rješenja u situacijama konkurencije u kojima se djelomično ili potpuno sukobljavaju interesi najmanje dva protivnika

10. - Teorija igara bavi se proučavanjem: - U terminologiji teorije igara sljedeće situacije nisu igre: • Grupa • Interakcija • Strategija • Razum Primjer 1: Zajednička izrada seminarskog rada iz kolegija Menadžersko odlučivanje • Jednostrana odluka • Preveliki utjecaj

11. - Temeljni pojmovi teorije igara: • Igra • Igrači • Potezi (akcije) • Strategija • Ishodi • Isplata • Racionalnost • Opće znanje • Informacijska struktura • Ravnoteža

12. Igra – sukob interesa između pojedinaca odnosno igrača. • Opis strateških interakcija te uključuje ograničenja za akcije i interese igrača. • Skup pravila i dogovora po kojima se igrači ravnaju • Grupa – u svakoj igri postoji nekoliko donositelja odluke koje se nazivaju igrači (najmanje dva) • Strategija – izbori igrača koje oni imaju na raspolaganju u igri. Postoje dvije osnovne vrste, a to su čista i mješovita. • Razum – svaki igrač bira za sebe najbolju moguću akciju • Konačno stanje / rezultat – svaka pojedina realizacija igre

13. - Pitanja koja igrači imaju dok igraju igru su: • Koje će poteze protivnički igrači odigrati? • Kako će koji protivnik igrati? • Koje će biti posljedice tog poteza te kako će one utjecati na cijelu grupu?

14. Izvor: Kopal, R., Korkut, D.: Teorija igara, Comminus i Visoka poslovna škola Libertas, Zagreb, 2011.

15. Igre vještine • igrač ima potpunu kontrolu nad ishodima • rješavanje križaljke, • polaganje ispita, • utrka na 100 metara i sl. • Međutim, ove igre ne bi trebale biti klasificirane kao igre jer im nedostaje osnovni sastojak svih igara, a to je međuovisnost.

16. Igre na sreću • Igre protiv prirode s jednim igračem • Igrač nema potpunu kontrolu nad ishodima • Njihove strateške odluke ne vode nužno unaprijed određenim ishodima • Ishodi u ovim igrama ovise dijelom o igračevu izboru, a dijelom o sreći, slučaju, „sudbini“

17. Igre na sreću Razlikuju se: • igre s rizikom i • igre s nesigurnošću.

18. Igre s rizikom • Igrač može dodijeliti vjerojatnost svakom potezu prirode • Zna vjerojatnost mogućeg uspjeha svake od svojih strategija • Mogu se, na primjer, riješiti na temelju koncepta očekivane vrijednosti.

19. Igre s nesigurnošću • Također, jedan igrač igra protiv prirode • Potezima prirode igrač ne može dodijeliti vjerojatnosti • Nesigurnost znači da nisu poznati ishodi ni vjerojatnosti pojedinih ishoda • U takvim se okolnostima za rješavanje ovih igara predlažu tri principa : • maxmax, • maxmin i • minmax.

20. Strateške igre • Igre s dva ili više igrača • Svaki ima djelomičnu kontrolu nad ishodima • Isključujući pri tome prirodu • Ogleda se u postojanju značajnih interakcija među igračima.

21. Teorija igara u užem smislu Bavi se situacijama koje imaju sljedeća svojstva: • postoje minimalno dva igrača, • igra počinje tako da jedan ili više igrača izaberu između određenih alternativa, • nakon što je izbor pridružen prvom potezu, rezultat je određena situacija koja određuje tko vrši sljedeći izbor i koje su mu alternative „otvorene“, • pravila igre određuju način ponašanja igrača, • svaki potez u igri završava situacijom koja određuje isplatu svakog igrača.

22. Segmenti teorije igara Tri su osnovna segmenta raščlambe strateških igara: 1. Strateško okruženje : • Tko su igrači? (donositelji odluka) • Koje su raspoložive strategije? (moguće ili izvedive akcije) • Koje su isplate? (ishodi ili ciljevi) • Igrači mogu biti pojedinci, skupine, organizacije ili u nekim slučajevima sama priroda. • Strateško okruženje odnosi se na interakcije među igračima • Različiti igrači razmišljaju na sličan način o istim stvarima i u isto vrijeme • Igrači osmišljavaju strategije koje vode različitim ishodima s različitim pripadajućim isplatama.

23. Segmenti teorije igara 2. Pravila igre : • Koji je vremenski okvir za donošenje odluka? • Kakva je priroda sukoba? • Kakva je priroda interakcije? • Koje su dostupne informacije? • Pravila igre sadrže informacije o identitetu igrača, njihovu znanju o igri, mogućim potezima ili akcijama i njihovim isplatama. • Pravila igre detaljno opisuju način na koji ponašanje jednog igrača utječe na isplate drugoga, ona predstavljaju opće znanje.

24. Segmenti teorije igara 3. Pretpostavke: • Racionalnost • Opće znanje • Racionalnost podrazumijeva da je svaki igrač motiviran maksimalizacijom vlastitih isplata • Igrač je racionalan ako ima ispravno definirane ciljeve iz skupa mogućih ishoda i u postizanju tih ciljeva primjenjuje najbolju moguću strategiju • Pravila igre detaljno opisuju način na koji ponašanje jednog igrača utječe na isplate drugoga, ona predstavljaju opće znanje.

25. Igre sa sumom nula • Imamo samo 2 igrača • Jednopotezna igra • Dobitak prvog igrača jednak je gubitku drugog igrača, i obrnuto → zbroj isplata je uvijek 0 • Igrači imaju konačan broj strategija (mogućnosti) za ponašanje u sukobu • “par – nepar’’ • Pretpostavka je da se igra ponavlja

26. Igre sa sumom nula • Imamo samo 2 igrača • Jednopotezna igra • Dobitak prvog igrača jednak je gubitku drugog igrača, i obrnuto → zbroj isplata je uvijek 0 • Igrači imaju konačan broj strategija (mogućnosti) za ponašanje u sukobu • “par – nepar’’ • Pretpostavka je da se igra ponavlja

27. Igra “pismo – glava” Sudionici: igrač X i igrač Y Jednopotezna igra (svaki igrač može povući samo jedan potez) Mogućnosti: okrenuti novčanicu na stranu “glave” – strategija I ili “pisma” – strategija II Ukoliko su obaigrača okrenuli “glavu” ili “pismo” pobjedinik je igrač X, a ukoliko je jedan igrač izabrao “glavu” a drugi“pismo” pobjednik je igrač Y

28. prilikom okretanja novčića igrač X odabere strategiju I –odgovara prvi redak tablice) i • prilikom okretanja novčića igrač Y odabere strategiju I – odgovara prvi stupac tablice) • tada igrač X dobiva 5 kuna, što označava broj 5 na presjeku prvog retka i prvog stupca tablice isplata.

29. prilikom okretanja novčića igrač X odabere strategiju I –odgovara prvi redak tablice) i • prilikom okretanja novčića igrač Y odabere strategiju II – odgovara drugi stupac tablice) • tada igrač X gubi 5 kuna, a igrač Y dobiva 5 kuna što označava broj – 5 na presjeku prvog retka i drugog stupca tablice isplata. • U oba slučaja dobitak jednoga igrača jednak je gubitku drugoga igrača, pa je zbroj dobitaka oba igrača jednak nuli.

30. Igra “par – nepar”

31. Svaki igrač može koristiti jednu od strategija: pokazati paran broj prstiju pokazati ne paran broj prstiju • Sa stajališta prvoga igrača svi mogući ishodi igre „par – nepar“ su: • ako pokažem paran broj, a protivnik također, dobivam dvije kune • ako pokažem neparan broj, a protivnik također, dobivam dvije kune • ako pokažem paran broj, a protivnik neparan, gubim dvije kune • ako pokažem neparan broj, a protivnik paran, gubim dvije kune

32. - Igra sa sedlom • Igrači izabiru različite strategije, te nastoje izabrati najbolje strategije kako bi maksimizirali svoj minimalni dobitak odnosno minimizirali svoj maksimalni gubitak. • Striktno determinirane igre koje primjenjuju čistu strategiju. • Koriste dva kriterija, a to su von Neumann-ov kriterij (minimax) i dominacija.

33. U igri sudjeluju 2 igrača • Igrači su suparnici • Pretpostavka je da su oba inteligentna • Igrač poštuje strategiju od protivnika • Igra se putem matrice plaćanja • Cilj je pronaći sedlastu točku

34. - Pravilaigre sa sedlom • zapisivanje u obliku tablice ili u obliku matrice • redovi predstavljaju strategije igrača A, a stupci su strategije igrača B • rezultat igre je srednji rezultat kojeg čine elementi matrice igrača A pri odgovarajućem paru strategija

35. Matrica igre = matrica cijene = platežna matrica • RJEŠENJE IGRE ≠ VRIJEDNOST IGRE • Rješenje igre: potez prvog i potez drugog igrača • Vrijednost igre: dobitak prvog igrača i gubitak drugog igrača • Pozitivan predznak – dobitak prvog igrača, a gubitak drugog igrača • Negativan predznak – prvi igrač je ostvario gubitak, a drugi dobitak

36. - Svrha igre • da igrač A izabere strategiju koja će maksimizirati njegov minimalni dobitak (maxmin), a da igrač B bira onu strategiju koja predstavlja minimum njegovog maksimalnog gubitka (minmax)

37. maxmin ≤ minmax • maxmin = donja vrijednost igre • minmax = gornja vrijednost igre • maxmin = minmax = vrijednost igre igra ima sedlastu točku • igra može imati i više sedlastih točaka • sedlasta točka ne mora biti optimalna strategija.

38. Igre sa sedlom (von Neumann-ov kriterij) • Sedlo je 50% i to je vrijednost ove igre • Igrači igraju čistu strategiju

39. Rješenje: • Pronalaženje minimalnog elementa svakog reda koji su u ovom slučaju bili 20%, 40%, 45%, 50%, te utvrđivanje maksimalnog elementa svakog stupca, koji su u ovom primjeru iznosili 80%, 60%, 55%, 50% • Pronalaženje najvećeg minimalnog elementa koji je u navedenom primjeru 50% , te najmanjeg maksimalnog elementa, koji iznosi također 50% . • Zaključak: maksimum minimuma redova 50% je identičan minimumu maksimuma stupaca koji također iznosi 50%Vrijednost igre je 50%

40. Igre bez sedla Mijenjamo matricu plaćanja:  Ne postoji sedlo!

41. Igrači igraju mješovitu strategiju  koristimo Müller-Merbach-ovu metodu • Postavljamo funkciju cilja i restrikcije – primjer za igrača A • Simpleks metoda • on želi maksimizirati svoj minimalni dobitak – V • S varijablama x1, x2, x3 i x4 označavamo relativnu učestalost izbora Osijeka, Našica, Đakova ili Zagreba kao potencijalne podružnice međunarodne tvrtke

42. Igrač A D = V max – funkcija cilja (V je dobitak jednog, tj. gubitak drugog igrača, u ovom slučaju je V minimalni dobitak koji se želi maksimizirati) ax1 + cx2V (u slučaju da igrač B odabere 1 strategiju dobitak igrača A treba biti veći od V) bx1 + dx2 V x1 + x2 = 1 (suma učestalosti svih varijabli odlučivanja je jednaka 1) x1, x2  0 V – slobodna varijabla D = V max! 50x1 + 75x2 + 50x3 + 25x4 ≥ V 25x1 + 50x2 + 60x3 + 70x4 ≥ V 50x1 + 40x2 + 50x3 + 80x4 ≥ V 75x1 + 30x2 + 20x3 + 50x4 ≥ V x1 + x2 + x3 + x4 = 1 x1,2,3,4 ≥ 0, V – slobodna varijabla  Simplex metoda

43. Igrač B D = V min 50y1 + 25y2 + 50y3 + 75y4 ≤ V 75y1 + 50y2 + 40y3 + 30y4 ≤ V 50y1 + 60y2 + 50y3 + 20y4 ≤ V 25y1 + 70y2 + 80y3 + 50y4 ≤ V y1 + y2 + y3+ y4 = 1 y1,2,3,4 ≥ 0, V – slobodna varijabla  Simplex metoda D = V min –funkcija cilja (V je dobitak jednog, tj. gubitak drugog igrača, u ovom slučaju je V maksimalni gubitak koji se želi minimizirati) ay1 + by2V (u slučaju da igrač A odabere 1 strategiju , gubitak igrača B ne smije biti veći od V) cy1 + dy2V y1 + y2= 1 (suma učestalosti svih varijabli odlučivanja je jednaka 1) y1, y2  0 V – slobodna varijabla

44. Zaključak: • igrač A (prva tvrtka) u 2/7 (28%) slučajeva bira strategijux1, tj. želi otvoriti predstavništvo u gradu Osijeku, • u 5/14 (36%) slučajeva želi predstavništvo smjestiti u Našicama, a tako i uZagrebu • za strategiju x3neće se odlučiti te neće predstavništvo smjestiti u grad Đakovo • Primjenjujući ove strategije ostvarit će maksimalni dobitak od 50% osvojenog tržišta Rješenja: x1 = 2/7 y1 = 0 x2 = 5/14 y2 = 0 x3 = 0 y3 = 50/7 x4 = 5/14 y4 = 0 v = 50 t5 = 0 D = 50 max! D = V = 50 Iščitavamo rješenja za igrača B  problem duala   y1 = 2/7 x1 = 0 y2 = 5/14 x2 = 0 y3 = 0 x3 = 50/7 y4 = 5/14 x4 = 0 D = 50 min! v = 0 D = V = 50

47. Rješenja: x1 = 2/7 y1 = 0 x2 = 5/14 y2 = 0 x3 = 0 y3 = 50/7 x4 = 5/14 y4 = 0 v = 50 t5 = 0 D = 50 max! D = V = 50 Iščitavamo rješenja za igrača B  problem duala   y1 = 2/7 x1 = 0 y2 = 5/14 x2 = 0 y3 = 0 x3 = 50/7 y4 = 5/14 x4 = 0 D = 50 min! v = 0 D = V = 50

48. Zaključak: • igrač A (prva tvrtka) u 2/7 (28%) slučajeva bira strategijux1, tj. želi otvoriti predstavništvo u gradu Osijeku, • u 5/14 (36%) slučajeva želi predstavništvo smjestiti u Našicama, a tako i uZagrebu • za strategiju x3neće se odlučiti te neće predstavništvo smjestiti u grad Đakovo • Primjenjujući ove strategije ostvarit će maksimalni dobitak od 50% osvojenog tržišta Rješenja: x1 = 2/7 y1 = 0 x2 = 5/14 y2 = 0 x3 = 0 y3 = 50/7 x4 = 5/14 y4 = 0 v = 50 t5 = 0 D = 50 max! D = V = 50 Iščitavamo rješenja za igrača B  problem duala   y1 = 2/7 x1 = 0 y2 = 5/14 x2 = 0 y3 = 0 x3 = 50/7 y4 = 5/14 x4 = 0 D = 50 min! v = 0 D = V = 50

49. IGRE PROTIV PRIRODE • Priroda  neracionalna pojava, koja ne vodi računa i nema interes za ishode igre • Čovjek (Igrač)  inteligentan • Igra između prirode i čovjeka igrač igra svoju najbolju strategiju i pri tome je posve indiferentan prema prirodi • Različiti pristupi rješavanja (kriteriji): • a) Laplace • b) Hurwicz • c) Savage

50. ZADATAK… Međunarodna tvrtka, iz našeg prošlog primjera, odlučila je otvoriti predstavništvo svoje tvrtke u Hrvatskoj, u gradu Zagrebu. Za otvaranje predstavništva, treba joj dodatnih financijskih sredstava, te se ona odlučila na podizanje kredita. Ona ima mogućnost podići kredit u eurima, američkim dolarima i kunama. Prilikom podizanja kredita zanima ju koja joj je mogućnost, odnosno strategija najbolja u optimalnom smislu, u slučajevima inflacije, deflacije i stabilnog stanja koji se mogu pojaviti u Hrvatskoj kao posljedica njenog i svjetskog gospodarstva i bankarstva te funkcioniranja tržišta uopće.