1 / 34

Teorija verovatnoća

Teorija verovatnoća. Skupovi elementarnih ishoda i dogadjaji Verovatnoće U slovne verovatnoće T eorema potpunosti Bajesova formula. Skupovi elementarnih ishoda i dogadjaji. Skup svih mogućih ishoda predstavlja prostor elementarnih dogadjaja i obično se predstavlja sa Ω P rimer:

konane
Download Presentation

Teorija verovatnoća

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Teorija verovatnoća

  2. Skupovi elementarnih ishoda i dogadjaji • Verovatnoće • Uslovne verovatnoće • Teorema potpunosti • Bajesova formula

  3. Skupovi elementarnih ishoda i dogadjaji • Skup svih mogućih ishoda predstavlja prostor elementarnih dogadjaja i obično se predstavlja sa Ω • Primer: Iz špila karata izvlačimo na slučajan način jednu kartu. Skup predstavljaju sve karte u tom špilu

  4. Dogadjaj predstavlja podskup nekog skupa i obično se predstavlja velikim štampanim slovom. • Primer: Dogadjaj može biti parna karta (sve karte sa parnim brojem), sve karte veće od 9 (10, žandar, dama...), svi žandari... • Dogadjaj se realizuje ili ostvaruje ako se realizuje neki ishod koji pripada tom podskupu (dogadjaju) • Primer: Ako smo iz špila izvukli 10ku u trefu realizovao se dogadjaj Tref. Takodje se realizovao dogadjaj Parna karta

  5. Ako neki dogadjaj C predstavlja realizaciju dogadjaja A i dogadjaja B to predstavljamo C = A ∩ B ili C=AB Primer: (Kralj u trefu) = (Kralj) ∩ (Tref) • Ako neki dogadjaj C predstavlja realizaciju dogadjaja A i/ili dogadjaja B C =A ∪ B Primer: (Karta sa crnim znakom) = (Tref) ∪ (Pik)

  6. Ukoliko realizacija jednog dogadjaja isključuje realizaciju drugog (nemaju zajednički presek) kažemo da su ti dogadjaji medjusobno isključivi

  7. Medjusobno neisključivi dogadjaji

  8. Verovatnoće slučajnih dogadjaja • Verovatnoća nekog slučajnog dogadjaja predstavlja stepen mogućnosti njegove realizacije • Verovatnoća dogadjaja A se predstavlja P(A) P(tref)=1/4 • Verovatnoća P(AB) jeste verovatnoća realizacije dogadjaja A i B P(kralj ∩ tref)=1/52

  9. Ako su neki dogadjaji A i B isključivi onda važi sledeće: • P(A ∪ B) = P(A) + P(B) • P(žandar ∪ dama) = P(žandar) + P(dama) 8/52=4/52+4/52

  10. Uslovne verovatnoće • Ako smo izvukli kartu bez gledanja koja je verovatnoća da smo izvukli kralja u trefu? • 1/52 • Ako nam drug koji gleda u kartu da informaciju da je karta sa slikom (žandar,dama,kralj) koja je onda verovatnoća da je izvučena karta kralj u trefu? • 1/12

  11. Verovatnoća da će se realizovati neki dogadjaj A pod USLOVOM da se realizovao neki dogadjaj B se predstavlja P(A│B) • P(kralj u trefu│karta sa slikom)= 1/12 • P(kralj u trefu│neparna karta)=? • P(parna karta│10ka)=?

  12. Za uslovne verovatnoće važi sledeća jednakost • P(A│B)=P(AB)/P(B) ili • P(AB)=P(A│B)*P(B) • P(kralj ∩ tref)=P(kralj│tref)*P(tref) • 1/52=(1/13)*(1/4)

  13. Za dogadjaje A i B kažemo da su nezavisni ako • P(AB)=P(A)*P(B) odnosno • P(A│B)=P(A) • P(kralj│tref)=P(kralj)=1/13 Dogadjaji Kralj i Tref su medjusobno nezavisni

  14. Teorema potpunosti • Ako neki isključivi dogadjaji A i B čine ceo skup onda važi sledeće: • P(A∪B) = P(A)+P(B) = 1 • P(parne karte∪neparne)=P(parne)+P(neparne)

  15. Teorema potpunosti: • Ako medjusobno isključivi dogadjaji A i B čine ceo skup Ωi neka je dat neki dogadjaj C koji je takodje deo skupa Ωonda važi sledeće: • P(C)=P(C│A)*P(A)+P(C│B)*P(B)

  16. Bajesova formula • P(AB)=P(A│B)*P(B)=P(B│A)*P(A) • Odakle sledi: • P(A│B)=P(B│A)*P(A)/P(B) ili • P(B│A)=P(A│B)*P(B)/P(A)

  17. Bajesovo drvo odlučivanja

  18. Preduzeće “Majica trade” bavi se prodajom šaljivih majica • Menadzment preduzeća razmišlja da li da lansira nove proizvode na tržište • Na osnovu iskustva i intuicije rukovodećih ljudi svaki novi projekat majice ima verovatnoću uspeha realizacije na tržištu 0,5 ili P(U)=0,5 i P(N)=0,5

  19. Preduzeće ima pred sobom 3 mogućnosti • Da donese samo odluku o tome da li lansirati novi proizvod ili ne • Potražiti pomoć od agencije za istraživanje tržišta “Kleopatra d.o.o.” koja daje sa sigurnošću predvidja budućnost • Potražiti pomoć od agencije za istraživanje tržišta “Mo žea nem orabiti d.o.o.”

  20. Pretpostavimo da preduzeće hoće da lansira 100 novih majica i da za svaku važe isti uslovi neizvesnosti P(U)=0,5 i P(N)=0,5

  21. Uspeh 0,5 2 $ Lansirati Neuspeh 0,5 -1 $ Slučaj 1) Ne lansirati 0 $ Drvo odlučivanja – preduzeće samo odlučuje

  22. Očekivana vrednost profita ukoliko lansiramo sve majice (vrednost koja će se u proseku realizovati) za svaku pojedinačnu majicu je: • OV = Pfu·P(U)+Pfn·P(N) = = 2$·0,5 + -1$·0,5 = = 0,5$ • Svaka druga majica će doživeti uspeh dok će ostale zabeležiti gubitak što znači da ćemo u proseku imati profit od 0,5$ po majici ukoliko lansiramo sve majice

  23. Ukoliko se odlučimo da uopšte ne lansiramo majice očekivani profit je 0$ • Stoga će se preduzeće odlučiti da lansira majice i ostvari pozitivan profit od 0,5$ po majici

  24. Agencija Kleopatra d.o.o. • Ukoliko bi izbacili na tržište samo one majice za koje znamo 100% da će doživeti uspeh koliko smo spremni da platimo za tu/te informaciju/je • Preduzeće zna da će 50% majica doživeti uspeh ali ne zna kojih 50% i tu nastupa Agencija Kleopatra

  25. Budući da bi izbacili na tržište samo uspešne majice imali bismo 50 majica koje bi ostvarile dobitak od po 2$ dok ostalih 50 ne bi izašle na tržište pa stoga bi donosile profit 0$ • Očekivani profit za pojedinačnu majicu: • 0,5*2$+0,5*0$=1$

  26. U odnosu na situaciju kada preduzeće samo odlučuje (lansira proizvod) imamo razliku od 0,5$=1$(Kleopatra)-0,5$(Sami odlučujemo) • To je ujedno i maksimalna suma koju bi preduzeće trebalo da plati ovoj agenciji

  27. Agencija za istraživanje tržišta “Mo žea nem orabiti d.o.o.” • Na osnovu iskustva znamo da ova agencija u slučaju uspešnih proizvoda donosi pozitivnu odluku o lansiranju sa verovatnoćom 0,8 • P(Poz│U)=0,8 iz toga sledi • P(Neg│U)=0,2

  28. Takodje kod neuspešnih proizvoda preduzeće to konstatuje u 0,9 slučajeva. Dakle • P(Neg│N)=0,9 iz toga sledi • P(Poz│N)=0,1

  29. 0,5 U 2 $ Lansirati OV = 0,5 $ N 0,5 -1 $ ??? U 2 $ Lansirati OV = ??? N ??? -1 $ ??? poz. OV =??? Ne lansirati 0 $ Test koncepta OV = ??? ??? U 2 $ Lansirati OV = ??? N ??? -1 $ ??? neg. OV = ??? Ne lansirati 0 $ Ne lansirati 0 $

  30. Verovatnoće pozitivnog i negativnog testa koncepta P(Poz) = = P(PozU) · P(U) + P(PozN) · P(N) = = 0,8 · 0,5 + 0,1 · 0,5 = 0,45 P(Neg) = = P(NegU) · P(U) + P(NegN) · P(N) = 0,55

  31. Verovatnoće uspeha i neuspeha sa testom • Bajesova teorema (Bajesova teorija odluč.) P(UPoz) = P(PozU) · P(U) /P(Poz) = = 0,8 · 0,5 / 0,45 = 0,89 P(NPoz)= P(PozN) · P(N) /P(Poz) = 0,11 P(UNeg) = P(NegU) · P(U) /P(Neg) = = 0,2 · 0,5 / 0,55 = 0,18 P(NNeg) = P(NegN) · P(N) /P(Neg) = 0,82

  32. 0,5 U 2 $ Lansirati OV = 0,5 $ N 0,5 -1 $ 0,89 U 2 $ Lansirati OV = 1,67 $ N 0,11 -1 $ 0,45 poz. OV = 1,67 $ Ne lansirati 0 $ Test koncepta OV = 0,75 $ 0,18 U 2 $ Lansirati OV = -0,46 $ N 0,82 -1 $ 0,55neg. OV = 0 $ Ne lansirati 0 $ Ne lansirati 0 $

  33. Kolika je vrednost testa koncepta? • Očekivana vrednost alternative “sa testom koncepta” iznosi: OV = 0,75 $ • Očekivana vrednost alternative “lansirati” iznosi: OV = 0,5 $ • Razlika iznosi 0,25 $ • To je vrednost koju najviše treba da platimo agenciji “Mo žea nem orabiti d.o.o.”

More Related