TRIGONOMETRINĖS FUNKCIJOS

1. TRIGONOMETRINĖS FUNKCIJOS DARBĄ ATLIKO: ŽIVILĖ BALIONYTĖ IR MINDAUGAS ZAJANKAUSKAS

2. Trigonometrinės funkcijos Funkcija f(x) = sin x Funkcija f(x) = tg x Funkcija f(x) = cos x Funkcija f(x) = ctg x

3. Funkcija f(x) = sinx Grafikas Nelygybės F(x) = arcsin x Lygtys

4. f(x)=sin x grafikas F(x)= sin x grafikas vadinamas sinusoide Savybės

5. Savybės f(x)=sin x • D(y)= (-∞; +∞) • E(y)= [-1; 1] • F-ja didėja x • F-ja mažėja x • f(x)= sin x periodinė f-ja T= 2 • Nelyginė f-ja sin(-x) = -sin(x) • Sin x>0, kai Sin x<0, kai 8. fmax= 1, kai fmin = -1,kai

6. Kai a =1 sin x =1 Kai a=0 sin x=0 Kai a= -1 sin x = -1 Kai -1<a<1, a≠0 pvz. 2sin x =1 \ :2 sin x = 0,5 Lygčių sin x = a sprendimas

7. Lygčių sin x = a sprendimas • Kai a>1 ir a<-1 sin x =a sprendinių neturi sin x =sin x = - sprendinių neturi sprendinių neturi

8. Nelygybių sprendimas Braižome grafikus: y1=sin x Y2=0,5 Nustatome susikir- timo taškus Brėžiame statmenis Ox ašiai Nustatome spren- dinių intervalą

9. y=x F(x)=arcsin x F(x)=arcsin x yra atvirkštinė f-jai y=sin x ir grafikas gaunamas f-jos y=sin x grafiką intervale simetriškai atvaizdavus tiesės y =x atžvilgiu. Savybės

10. Savybės f(x)=arcsin x • Jei arcsin a = b, tai sin b = a ir • D(arcsin x) = [-1;1] • E(arcsin x) = • Arcsin x yra nelyginė f-ja, t.y arcsin(-x)= -arcsin(x) • Sin(arcsin x) = x, -1≤x≤1 Pvz.:sin(arcsin0,5) = 0,5

11. Funkcija f(x) = cosx Grafikas Lygtys Nelygybės F (x) = arccos x

12. f(x)=cos x grafikas F(x)= cos x grafikas vadinamas kosinusoide Savybės F(x)= cos x grafikas gaunamas y=sin x grafikąpastūmus į kairę per vienetų,nes

13. Savybės f(x)=cos x • D(cos x) = (-∞;+∞) • E(cos x) = [-1; 1] • Lyginė f-ja cos(-x) = cos x • f(x)= cos x periodinė f-ja T= 2 • F-ja didėja, kai xє[-+2n; 2n] nєZ • F-ja mažėja, kai xє[2n; +2n] nєZ • Cos x>0, kai Cos x<0, kai 8. fmax= 1,kai x=2n, nєZ fmin = -1,kai x=+ 2n, nєZ

14. Kai cos x=1 x= arccos 1+2n,n є Z x= 0+2n,n є Z x= 2n,nєZ 2. Kai cos x=0 x= arccos0+n,n є Z 3. Kai cos x=-1 x=arccos(-1)+2n,n є Z x=(-arccos1)+ 2n,n є Z x=  + 2n,n є Z 4. Kai -1<a<1 ir a≠0 cos x = a x= ± arccos a +2n,n є Z Lygčių cos x = a sprendimas

15. Lygčių cos x = a sprendimas 5. Kai a>1 ir a<-1 cos x =a sprendinių neturi cos x =cos x = - sprendinių neturi sprendinių neturi

16. Nelygybių sprendimas Braižome grafikus y1=cos x Nustatome susikir- timo taškus Brėžiame statmenis Ox ašiai Nustatome spren- dinių intervalą

17. y=x F(x)=arccos x F-ja f(x)=arccos xyra atvirkštinė f-jai y=cos x. F(x)=arccos x grafikas gaunamas y=cos x grafiką,kaixє [0;] simetriškai atvaizdavus tiesės y=x atžvilgiu. Savybės

18. Savybės f(x)=arccos x • Jei arccos a = b, tai cos b = a ir 0≤b≤ • D(arccos x) = [-1;1] • E(arccos x) = [0; ] • Arccos x yra nei lyginė, nei nelyginė f-ja arccos(-x)= -arccos x • Cos(arccos x) = x Pvz.:

19. Funkcija f(x) = tg x Grafikas Lygtys Nelygybės F (x) = arctg x

20. f(x)=tg x grafikas F(x)= tg x grafikas vadinamas tangentoide Savybės

21. Savybės f(x)=tg x • D(tg x) = (-∞; +∞) išskyrus • E(tg x) = (-∞; +∞) • f(x)= tg x periodinė f-ja T=  • Nelyginė f-ja tg(-x) = -tg(x) • F-ja didėjanti, kai • F(x)>0, kai F(x)<0, kai 7. Didžiausios ir mažiausios reikšmės neturi

22. Lygčių tg x = a sprendimas Lygties sprendiniai užrašomi panaudojant bendrų sprendinių formulę: X = arctg a + n, nєZ (aєR) Pvz.:

23. Nelygybių sprendimas Brėžiame grafikus y1= tg x Nustatome susikir- timo tašką Brėžiame statmenį Ox ašiai Nustatome spren- dinių intervalą

24. y=x F(x)=arctg x F-jos y =tg x atvirkštinė f-ja yraf(x) =arctg x. Josgrafikas gaunamas y =tg x grafiką atvaizdavus simetriškai tiesės y =x atžvilgiu. Savybės

25. Savybės f(x)=arctg x • Jei arctg a = b, taitg b = a ir • D(arctg x) = (-∞; +∞) • E(arctg x)= • Nelyginė f-ja arctg(-x) = -arctg(x) • F-ja didėjanti visoje apibrėžimo srityje • Tg(arctg x) = x Pvz.:

26. Funkcija f(x) = ctg x Grafikas Lygtys Nelygybės F (x) = arcctg x

27. f(x)=ctg x grafikas F(x)= ctg x grafikas vadinamas kotangentoide Gaunamas f-jos y= tg x grafikąpastūmus Ox ašimi į kairę pusę per vienetų ir atvaizdavus simetriškai Ox ašies atžvilgiu,nes Savybės

28. Savybės f(x)=ctg x • D(ctg x) = (-∞; +∞) išskyrusn, nєZ • E(ctg x) = (-∞; +∞) • f(x)= ctg x periodinė f-ja T=  • Nelyginė f-ja ctg(-x) = -ctg(x) • F-ja mažėjanti, kai x є (n; +n), nєZ • Ctg x>0, kai Ctg x<0, kai 7. Didžiausios ir mažiausios reikšmės neturi

29. Lygčių ctg x = a sprendimas Lygties sprendiniai užrašomi panaudojant bendrųsprendinių formulę: X = arcctg a + n, nєZ (aєR) Pvz.:

30. Nelygybių sprendimas Brėžiame grafikus y1= ctg x y2=1 Nustatome susikir- timo tašką Brėžiame statmenį Ox ašiai Nustatome spren- dinių intervalą

31. y=x F(x)=arcctg x F-ja f(x)=arcctg xyra atvirkštinė f-jai y=ctg x. F(x)=arcctg x grafikas gaunamas y=ctg x grafiką simetriškai atvaizdavus tiesės y=x atžvilgiu. Savybės

32. Savybės f(x)=arcctg x • Jei arcctg a = b, taictg b = a ir 0<b< • D(arcctg x) = (-∞; +∞) • E(arcctg x)= (0; ) • Nei lyginė, nei nelyginė f-ja arcctg(-x) = -arcctg x • Mažėjanti visoje apibrėžimo srityje • Ctg(arcctg x) = x Pvz.:ctg(arcctg 5) = 5