L’INTEGRALE DEFINITO

1. L’INTEGRALE DEFINITO

2. ARGOMENTI • Mappa concettuale • Le successioni numeriche • Il Trapezoide – area del Trapezoide • L’integrale definito – def. Di Riemann • Funzioni integrabili secondo Riemann • Proprietà dell’integrale definito – teorema della media • La funzione integrale – teorema di Torricelli-Barrow e corollario • Regole d’integrazione – “per parti” e “per sostituzione” • Calcolo di aree di domini piani – teorema di Archimede • Volumi di figure di rotazione • Integrali impropri o generalizzati • Applicazioni del calcolo integrale alla fisica

3. c CONCETTO di LIMITE L’INTEGRALE DEFINITO è il limite di una successione LA DERIVATA è il limite del rapp.increm. L’INTEGRALE INDEFINITO è l’insieme infinito delle PRIMITIVE INTEGRALE DEFINITO e AREA del TRAPEZOIDE TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE

4. LE SUCCESSIONI NUMERICHE Una successione è una funzione reale di variabile naturale: f: N  R (Dominio N e Codominio R) Una successione può essere definita: 1. Mediante la formula che definisce il termine n-esimo: an = 2n2+1  nN 2. Per ricorrenza, cioè indicando i primi termini e la legge che lega un termine al precedente:a0= 0, a1= 1, … , an+2= an+1+an (a0=0, a1=1, a2=1, a3=2, a4=3, a5=5, a6=8, a7=13, a8=21 … successione di Fibonacci).

5. LIMITI DELLE SUCCESSIONI • Non ha senso considerare il limite di una successione per n tendente ad un valore finito, ma, essendo il • dominio N illimitato superiormente, è interessante studiare il limite di una successione per n  + . • Definizioni: • Successione convergente: si dice che una successione {an} converge verso l, e si scrive • se    R+ esiste un nN, tale che si verifichi |an-l| <   ancon n > n . • Successione divergente: diverge positivamente se • diverge negativamente se • 3. Successione indeterminata: si dicono indertminate le successioni che non sono nè convergenti, nè divergenti.

6. DUE PARTICOLARI SUCCESSIONI • Progressione aritmetica: è una successione definita per ricorrenza dando il primo termine a1 e la legge che definisce i termini successivi nel modo seguente: a1, a2=a1+d, a3=a2+d, … , an+1=an+d Il numero reale d prende il nome di ragione. • La somma dei primi n termini è data dalla formula: 2. Progressione geometrica: è una successione definita per ricorrenza dando il primo termine a1 e la legge che definisce i termini successivi nel modo seguente: a1, a2=a1q, a3=a2q, … , an+1=anq Il numero reale q prende il nome di ragione. La somma dei primi n termini è data dalla formula:

7. IL TRAPEZOIDE Sia f(x) una funzione continua nell’intervallo [a;b] , con a < b, e supponiamo che ivi sia non negativa. Definizione: Trapezoide è il quadrilatero mistilineo ABCD delimitato dalla curva γ di equazione y = f(x), dall’asse delle x e dalle parallele AD e BC all’asse delle y.

8. L’AREA DEL TRAPEZOIDE Scomponiamo l’intervallo [a;b] in n intervallini parziali qualsiasi, che solo per comodità espositiva assumiamo uguali, e indichiamo con h l’ampiezza di questi intervalli. Siano mi e Mi , rispettivamente, il minimo e il massimo dei valori di f(x) nell’iesimo intervallino (mi e Miesistono per il teorema di Weierstrass), e consideriamo le seguenti due somme:

9. snprende il nome diplurirettangolo inscritto nel trapezoide, ed è la somma delle aree degli n rettangoli aventi per basi gli intervallini in cui è stato diviso l’intervallo [a;b] e per altezze le ordinate minime mi della curva in tali intervallini; Sn prende il nome di plurirettangolo circoscritto al trapezoide, ed è … Evidentemente sn≤Sn ,qualunque sia n. Il valore delle somme sn e Sn dipende, evidentemente, dalla scomposizione adottata per [a;b]: sn e Snsono due funzioni reali della variabile naturale n, sono cioè due successioni. Teorema. Se f(x) è una funzione continua e non negativa in [a;b], le due successioni sn e Sn sono convergenti e convergono verso lo stesso numero, cioè ammettono lo stesso limite finito per n  +  e risulta: Definizione: Chiamasi area del trapezoide ABCD, delimitato dalla curva di equazione y = f(x), con f(x) ≥ 0, dall’asse delle x e dalle parallele AD e BC all’asse delle y, il numero che rappresenta il limite comune per n +  delle somme sn e Sn .

10. L’INTEGRALE DEFINITO Definizione di integrale definito secondo Riemann: Data la funzione f(x), continua in [a ; b], con a < b, il valore comune del limite delle successioni sn ed Sn si chiama integrale definito della funzione continua f(x) esteso all’intervallo [a ; b], e si indica con la scrittura: Si legge: integrale definito da a a b di f(x) dx . I numeri a e b si dicono estremi dell’integrale: a - estremo inferiore, b - estremo superiore. La funzione f(x) si chiama funzione integranda, la variabile x si chiama variabile d’integrazione. N.B. In questa definizione non viene fatta l’ipotesi che f(x) sia non negativa in [a ; b].

11. Se per ogni x [a, b] la funzione f(x) è non negativa e integrabile, allora rappresenta l'area dell'insieme: {(x, y) : a≤x≤b, 0 ≤ y≤ f(x)}.        

12. Esempi di calcolo dell’integrale definito. • Considero la funzione f(x) = px + q e calcolo l’integrale definito • La f(x) è continua in [a ; b].

13. Calcoliamo ora l’integrale definito: Si può anche scrivere : L’ultima espressione è la formula per l’area del trapezio !

14. Osservazione importante: L’espressione precedente si può scrivere nel seguente modo: Il valore dell’integrale coincide con la differenza agli estremi dell’intervallo d’integrazione [a ; b] della funzione Si può scrivere quindi: Il teorema fondamentale del calcolo integrale (Torricelli-Barrow) spiega tale concetto.

15. 2. Considero la funzione f(x) = 2 x e calcolo l’integrale definito La f(x) è continua in [1 ; 2]. Dividiamo l’intervallo [1;2] in n parti uguali, mediante i punti x0, x1, … , xn-1, xn : Le somme fra parentesi sono quelle di n termini in progressione geometrica di ragione 21/n , perciò si può scrivere:

16. Anche in questo caso osservo che il valore dell’integrale coincide con la differenza agli estremi dell’intervallo d’integrazione [1 ; 2] della funzione Si può scrivere quindi:

17. FUNZIONI INTEGRABILI • Teorema • Condizione necessaria affinché f(x) sia integrabile nell’intervallo [a; b] è che sia limitata in [a; b] . • La condizione non è sufficiente. • Esempio: la funzione f(x) sia definita in [a; b] dalla seguente legge: • Questa funzione, pur essendo limitata in [a; b], ivi non è integrabile secondo Riemann, perché, come • si dimostra facilmente • Teorema • Condizione sufficiente affinché f(x) sia integrabile nell’intervallo [a; b] è che sia continua in [a; b] . • Classi di funzioni integrabili: • Ogni funzione f : [a, b]  R   continua è integrabile; • Ogni funzione f : [a, b]  R   limitata e monotona è integrabile; • Ogni funzione f : [a, b]  R    limitata con un numero finito o numerabile di punti di discontinuità di prima o terza specie è integrabile.

19. PROPRIETA’ DELL’INTEGRALE DEFINITO • Definizioni: • se a < b si pone:                                             • se a = b • Teoremi:         1. 2. 3. 4. 5. 6. proprietà additiva

20. 7. Teorema della media Sia f(x) una funzione continua sull'intervallo [a, b], allora esiste almeno un punto c [a, b] tale che (*) Il valore f(c) si chiama valor medio della funzione nell’intervallo [a ; b]. Dimostrazione: Indicati con m ed M il minimo e il massimo di f(x) in [a ; b], con a < b, si ha: L’espressione è un numero compreso fra il minimo m e il massimo M della funzione; per il teorema dei valori intermedi, esiste almeno un punto c [a, b] in cui la f(x) assume tale valore, in cui cioè si verifica la (*).

21. Interpretazione geometrica del teorema della media. Il valore della funzione in c, f(c), è il valore medio della funzione relativamente all’intervallo considerato. Nota l’analogia con la definizione di media aritmetica ponderata. In particolare, se la f(x) è non negativa in [a ; b] , l’integrale definito rappresenta l’area del trapezoide e il valore della funzione in c, f(c), è l’altezza del rettangolo avente per base l’intervallo [a;b] ed equivalente come area al trapezoide.

22. FUNZIONE INTEGRALE Fissato x0 [a, b], per funzione integrale si intende la funzione F (x) definita sull'intervallo [a, b]: Si osservi che la variabile della funzione F(x) è l'estremo superiore dell'intervallo di integrazione.

23. La Funzione Integrale – altra interpretazione grafica

24. TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE(Torricelli-Barrow) Data una funzione f(x)continua sull'intervallo [a, b], la funzione integrale è derivabile  x  [a, b], e si ha:F'(x) = f (x) eF(a) = 0 . Dimostrazione: prendo due punti qualsiasi di [a;b], x e x + h, quindi considero il rapporto incrementale della F(x):

25. Calcolo il limite del rapporto incrementale per h  0: Quindi ho dimostrato la prima parte della tesi: la F(x) è derivabile e risulta F’(x) = f(x) . La seconda parte della tesi si dimostra immediatamente essendo:

26. Corollario del Teorema fondamentale del calcolo integrale Data la funzione f(x)continua sull'intervallo [a, b], φ(x) sia una primitiva di f(x), allora si ha: Dimostrazione: Le funzioni F(x) e φ(x) sono due primitive di f(x), quindi differiscono per una costante k, cioè φ(x) = F(x) + k  φ(x) = + k , quindi, poiché , si ha: Regola: L’integrale definito tra a e b della f(x), continua in [a;b], è dato dalla differenza dei valori assunti da una primitiva φ(x), rispettivamente, nell’estremo superiore b e nell’estremo inferiore a dell’integrale stesso.

29. Grafico della funzione integrale F(x) • Se fosse sempre facile determinare una primitiva di una funzione, per studiare la funzione integrale F(x), • basterebbe determinare una primitiva (x) della f(x), quindi porre F(x) = (x) - (a), come, per esempio: • Questo procedimento non sempre è agevole e conviene tener presente quanto segue. • Il teorema di Toricelli-Barrow afferma che, data una funzione f(x), continua sull'intervallo [a, b], • la sua funzione integrale è derivabile  x  [a, b], e si ha: F’(x) = f (x) eF(a) = 0 . • Osserviamo, quindi che: • se f(x) > 0  F(x) è crescente, se f(x) < 0  F(x) è decrescente; • se f(x) = 0  esistono punti stazionari (a tangente orizzontale) par la F(x); • se f(x) è dispari  F(x) è pari; • se f(x) è pari e a = 0  F(x) è dispari. • Dalle due figure seguenti si comprende il significato della condizione ‘ a = 0 ’.

32. Esempio: studia la funzione ( in questo caso non è facile trovare la primitiva! ) Poiché si ha che: dominio F(x): tutto R; F(x) > 0 per x > 0 (la funzione integranda è sempre positiva!); F(x) = 0 per x = 0 ( F(a) = 0), quindi passa per l’origine; per quanto detto sopra, ai punti a,b,c,d, si ha: a. F’(x) = f(x) > 0  x R  F(x) è sempre crescente in R; b. F’(x) = f(x) = 0 per nessun valore di x, quindi F(x) non ha punti stazionari; d. f(x) è pari e a = 0, quindi la F(x) è dispari. quindi concavità verso l’alto per x < 0, verso il basso per x > 0 e punto di flesso discendente nell’origine, con tangente y = x ( y =F’(0)x , con F’(0)=1 ). Tenuto presente che , si riconosce che le tangenti al grafico di F(x) hanno, al tendere di x a ±  , coefficienti angolari sempre più piccoli: ciò suggerisce l’esistenza di due asintoti orizzontali, uno per x  +  e uno per x  -  . Da quanto detto, il grafico sarà:

34. REGOLE DI INTEGRAZIONE 1. Integrazione per parti Siano f e g due funzioni continue con le derivate f' e g' continue nell'intervallo [a, b], allora vale: g(x) si dice fattore finito f '(x)dx si dice fattore differenziale Per gli integrali indefiniti si ottiene la seguente relazione:

35. 2. Integrazione per sostituzione Sia  f : [a, b]  R una funzione continua, sia  φ : [α, β]  [a, b]  una funzione continua e derivabile con continuità.Sia inoltre φ: ([α, β] ) = [a, b], allora, preso un qualsiasi intervallo  [c, d]  [a, b], esistono due valori  γ, δ  tali che c = φ(γ),  d=φ (δ) e vale la formula: Si osservi che l'intervallo [γ, δ] non è univocamente determinato.Se la funzione φ è invertibile allora l'intervallo [γ, δ]è univocamente determinato, in tal caso si può scrivere: Per gli integrali indefiniti si ottiene la seguente relazione:

36. Esempio Considero la funzione f(x) = x e l’integrale definito Sia inoltre φ(t) = t2, funzione non invertibile (si deve effettuare una restrizione per renderla invertibile) e sia x = φ(t), cioè x = t2 e Osservo che l’intervallo di x [1;4] è immagine di quattro intervalli di t: [1;4] = φ([1;2]) = φ([-1;2]) = φ([1;-2]) = φ([-1;-2]) . Effettuando la sostituzione x  t2, ( dx = d(t2)  dx = 2tdt ), si ha:

41. Altro esempio (integrazione per sostituzione) Sia f(x) una funzione reale di variabile reale, continua su tutto l’asse reale, tale che: Di ciascuno dei seguenti integrali: dire se le condizioni assegnate sono sufficienti per calcolarne il valore e, in caso di risposta affermativa, qual è questo. Risoluzione. Per il primo integrale le condizioni non sono sufficienti, per gli altri si, infatti: per gli integrali 1, 2, 3, poniamo x/2 = t, cioè x = 2t , dx = 2dt e gli estremi d’integrazione diventano x = 0  t = 0; x = 1  t = 1/2; x = 2  t =1, quindi

43. CALCOLO DI AREE DI DOMINI PIANI Definizione di dominio piano normale: date due funzioni f(x) e g(x) continue in [a ; b], tali che g(x)  f(x) x [a ; b],si chiama dominio piano normale rispetto all’asse x l’insieme T dei punti P(x;y) del piano così definito: T = {(x ; y) | a  x  b e g(x) y  f(x)}. Area: l’area del dominio T è data da: La formula per l’area vale comunque siano disposti i grafici delle funzioni f(x) e g(x), purché sia g(x)  f(x).

44. Esempi • Area del segmento parabolico e teorema di Archimede. • Data la funzione f(x) = kx2 , con k > 0, calcoliamo l’area del segmento parabolico AA’VA, come in figura: Teorema di Archimede. L’area del segmento parabolico AA’VA è 2/3 dell’area del rettangolo AA’H’H.

45. Osservazione sul teorema di Archimede. Il teorema di Archimede vale anche nel caso in cui la corda AA’ non sia perpendicolare all’asse della parabola. In tale caso, tracciata la retta t tangente alla parabola e parallela alla retta AA’, l’area del segmento parabolico AA’VA è uguale ai 2/3 dell’area del rettangolo avente base AA’ e altezza uguale alla distanza tra la retta t e la retta AA’. Esempio: Determina l’area del segmento parabolico T, limitato dalla parabola y = x2 - 2x e dalla retta t : y = -2x + 4 .

46. 2. Calcolare l’area della regione piana compresa tra le due parabole di equazioni: y2 = 4x e x2 = 4y. 3. Calcolare l’area della regione piana limitata dall’ellisse di equazione di equazione:

47. VOLUMI DI FIGURE DI ROTAZIONE Consideriamo la funzione y = f(x) di grafico , continua nell’intervallo [a; b] e non negativa, e il trapezoide esteso all’intervallo [a; b]. Se facciamo ruotare il trapezoide attorno all’asse x di un giro completo, ossia di 360°, otteniamo la figura di rotazione (solido di rotazione) F. Calcoliamo il volume di tale figura. Dividiamo l’intervallo [a; b]in n parti uguali di lunghezza h = (b-a) / n e consideriamo i plurirettangoli che approssimano il trapezoide per eccesso e per difetto. Da una rotazione completa dei plurirettangoli attorno all’asse x, si ottengono due pluricilindri, che approssimano per eccesso e per difetto la figura di rotazione F.

48. Ogni cilindro ha per base il cerchio di raggio Mi (appross. per eccesso) o mi (appross. per difetto) e per altezza h, quindi i pluricilindri hanno volume:

49. Si può dimostrare che quando n  +  le due successioni tendono allo stesso limite e tale limite è il volume della figura di rotazione F : Esempi 1.Volume del cono, data la funzione y = mx: • Volume dell’ellissoide generato dalla rotazione dell’ellisse di equazione • a) attorno all’asse x :

50. b) attorno all’asse y : In particolare, se a = b, l’ellissoide si riduce ad una sfera di raggio a e volume : • Determinare il volume del solido generato dal dominio piano T delimitato dalla parabola P: y = -x2 + 6x • e dalla retta r : y = 5 in una rotazione completa attorno ad r.