1 / 43

Pertemuan 3 2010

Pertemuan 3 2010. Cara membuktikan Sub-bab 1.5. Terminologi: Teorema : pernyataan yang dapat dibuktikan kebenarannya Ex : Bumi adalah bulat Argumen : rangkaian pernyataan yang membentuk bukti

sirvat
Download Presentation

Pertemuan 3 2010

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Pertemuan 3 2010 bilqis

  2. Cara membuktikan Sub-bab 1.5 bilqis

  3. Terminologi: • Teorema: pernyataan yang dapat dibuktikan kebenarannya • Ex : Bumi adalah bulat • Argumen: rangkaian pernyataan yang membentuk bukti • Aksioma: pernyataan yang digunakan dalam suatu bukti, yang kebenarannya bisa diasumsikan, diketahui, atau telah dibuktikan sebelumnya • Aturan penentuan kesimpulan (rule of inference): cara menarik kesimpulan dari pernyataan-pernyataan sebelumnya • Lemma: teorema sederhana yang digunakan dalam membuktikan teorema lain bilqis

  4. Terminologi: • Corollary: proposisi yang merupakan akibat langsung dari teorema yang dibuktikan • Ex : jika 3 sisi pada segitiga mempunyai panjang yang sama, maka segitiga itu juga mempunyai sudur yang sama • Conjecture: pernyataan yang nilai kebenarannya belum diketahui bilqis

  5. Aturan penentuan kesimpulan: • Addition : (p) (p v q) • Simplification : (p  q) (p) • Conjunction : ((p)  (q)) (p  q) • Modus ponens : (p  (p  q)) (q) • Modus tollens : (q  (p  q )) (p) • Hypothetical syllogism : ((p  q)  (q  r )) (p  r) • Disjunctive syllogism : ((p v q)  (p))  (q) • Resolution : ((p v q)  (p v r)) (q v r) bilqis

  6. Contoh: • Addition : (p) (p v q) • Hari ini Jumat • Hari ini Jumat atau kita sedang belajar • Simplification: (p  q) (p) • Hari ini Jumat dan tadi pagi Ayah menelepon • Hari ini Jumat • Conjunction : ((p)  (q)) (p  q) • Hari ini Jumat • Tadi pagi Ayah menelepon • Hari ini Jumat dan tadi pagi Ayah menelepon P -------- P v q P ^ q -------- P P q -------- P ^ q bilqis

  7. Modus ponens:(p  (p  q)) (q) • Saya haus • Jika saya haus, maka saya minum air • Saya minum air • Modus tollens: (q  (p  q )) (p) • Jika saya haus, maka saya minum air • Saya tidak minum air • Saya tidak haus P P  q -------- q P  q ~ q -------- ~ P bilqis

  8. Hypothetical syllogism: ((p  q)  (q  r )) (p  r) Jika hari ini cerah, maka saya akan pergi Jika saya akan pergi, maka saya harus mengambil uang Jika hari ini cerah, maka saya harus mengambil uang Disjunctive syllogism: ((p v q)  (p))  (q) Kemarin hari Selasa atau besok hari Senin Kemarin hari Kamis Besok hari Senin P  q Q  r -------- P  r P v q ~ p -------- q bilqis

  9. Resolution / Resolusi : ((p v q)  (p v r)) (q v r) q v r disebut resolvent P v q ~ p v r -------- Q v r bilqis

  10. Dari Bab 1  ekivalen • Kontrapositif  • P  q ekivalen dengan ~ q  ~ p • P  q ekivalen dengan ~ p v q bilqis

  11. Kesalahan menentukan kesimpulan (fallacies) • Fallacy of confirming the conclusion: • Jika hari ini cerah, maka saya akan pergi • Saya akan pergi • Hari ini cerah • Fallacy of denying the hypothesis: • Jika besok hari Sabtu, maka saya akan pulang • Besok hari Kamis • Saya tidak jadi pulang P  q q -------- P P  q ~ p -------- ~ q Kesimpulan salah, karena  tidak ada dalam aturan yang 8 bilqis

  12. Contoh: soal Rossen halaman 73 no. 3 • Construct an argument using rules of inference to show that the hypothesis • Randy works hard • If Randy works hard, then he is a dull boy • If Randy is a dull boy, then he will not get the job • imply the conclusion • Randy will not get the job bilqis

  13. Contoh: soal Rossen halaman 73 no. 3 • r: Randy works hard • d: Randy is a dull boy • j: Randy will not get the job • Randy works hard r (1) • If Randy works hard, then he is a dull boy r  d (1) • If Randy is a dull boy, then he will not get the job d  j (1) • Conclusion:Randy will not get the job • Argumen: r (1) • r  d (1) maka d harus (1) • d  j (1) • d (1) maka j harus (1) • pengambilan kesimpulan (konklusi) benar bilqis

  14. bilqis

  15. bilqis

  16. bilqis

  17. Aturan penentuan kesimpulan untuk quantified statements • Universal instantiation • Universal generalization • Existential instantiation • Existential generalization bilqis

  18. bilqis

  19. Contoh bilqis

  20. Universal instantiation • diketahui : x P(x) untuk domain D • buktikan : P(c) di mana c  D • contoh : x P(x); D = { mahasiswa di kelas ini } • semua mahasiswa di kelas ini belajar MD • c = Bayu  D • P(c) : Bayu belajar MD bilqis

  21. (ROI) for Quantifier • 1. Universal instantion • Domain • Misal : • X = wanita  sebagai domain • P(x) = x is wise • C  salah satu wanita •  Semua wanita adalah wise •  C adalah wise dengan syarat c E D • P(lisa)  lisa adalah wise dengan syarat lisa E D c bilqis

  22. Universal generalization • diketahui : P(c) • di mana c  D = Domain = { …., –5, –3, –1 } • buktikan : x P(x) • contoh: • P(c) = c integer negatif  c3 integer negatif • D = Domain = { …., –3, –2, –1 } • c = –n di mana n = 1, 2, 3, …. • c3 = (–n)*(–n)*(–n) = –n3 • x P(x) : jika x integer negatif, maka x3 integer negatif • terbukti bilqis

  23. 2. Universal generalization • Misal : • P(lisa)  lisa adalah wise • P(ili)  ili adalah wise bilqis

  24. Existential instantiation • diketahui : x P(x) • buktikan : P(c) • contoh : x P(x) = ada bilangan prima gasal • P(c) = 5 bilangan prima gasal bilqis

  25. 3. Existential Instantiation  min ada 1 wanita yang wise  lisa adalah wanita yang wise bilqis

  26. Existential generalization • diketahui : P(c) • buktikan : x P(x) • contoh : P(c) = 5 bilangan prima gasal • x P(x) = ada bilangan prima gasal bilqis

  27. 4. Existential Generalization bilqis

  28. Membuktikan teorema berbentuk p  q • Bukti langsung (direct proof) • Bukti tidak langsung (indirect proof) • Bukti hampa (vacuous proof) • Bukti mudah (trivial proof) bilqis

  29. Method of Profing Theorem • 1. Direct Proof • Untuk p q : • Asumsi P adalah benar • Buktikan bahwa q juga benar, misal dengan ROI • Ex : bilqis

  30. Bukti langsung (direct proof) Teorema: “Jika n integer gasal, maka n2integer gasal” Bukti: n = 2k + 1 integer gasal; k sembarang integer n2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 2 (2k2 + 2k) + 1 (n2integer gasal) n integer gasal  n2integer gasal (terbukti) bilqis

  31. 2. Indirect Proof • P  q equivalen dengan contrapositif ~q  ~p • Asumsikan ~q adalah benar • Maka buktikan ~p juga benar • Ex : bilqis

  32. Bukti tidak langsung (indirect proof) Teorema: “jika 3n + 2 gasal, maka n gasal” Ekivalen dengan “jika n genap, maka 3n + 2 genap” Bukti: n = 2k; k sembarang integer 3n + 2 = 3(2k) + 2 = 6k + 2 = 2 (3k) + 2 = 2 (3k +1) jika n genap, maka 3n + 2 genap jika 3n + 2 gasal, maka n gasal (terbukti) bilqis

  33. Voucous Proof : • Jika nilai var diket • Jika kita bisa membuktikan bahwa P salah, krn • Jika P salah maka tidak peduli Q benar atau salah, proposisi pasti benar bilqis

  34. Bukti hampa (vacuous proof): Implikasi p  q mempunyai nilai kebenaran TRUE apabila p bernilai FALSE Contoh: “jika n > 1 maka n2 > n, untuk n = 0” p : 0 > 1 (FALSE) q : 02 > 0 (FALSE) p  qTRUE maka “teorema” terbukti bilqis

  35. 4. Trivial Proof • Jika nilai var diket • Jika kita bisa membuktikan bahwa q benar, krn • Jika q benar, maka tidak peduli apakah P benar atau salah, proposisi pasti benar bilqis

  36. Bukti mudah (trivial proof) Implikasi p  q mempunyai nilai kebenaran TRUE apabila q bernilai TRUE Contoh: “jika a b maka an bn, untuk n = 0” p : a b q : a0 b0 (TRUE) maka “teorema” terbukti bilqis

  37. Bukti per kasus (proof by cases) Teorema: |xy| = |x| |y| untuk semua bilangan nyata Bukti: bilqis

  38. Bukti teorema berbentuk ekivalensi“p q” • Buktikan p  q • Buktikan q  p • Bukti teorema berbentuk • “p, q, r, s ekivalen” • Buktikan p  q • Buktikan q  r • Buktikan r  s • Buktikan s  p bilqis

  39. Cara-cara pembuktian lain: • Existence Proof • Constructive • Non Constructive • 2. Proof by Counter Examples bilqis

  40. Constructive Proof Teorema: “ada sebuah integer yang dapat dinyatakan sebagai jumlah dari pangkat-tiga dua integer positif, dalam dua cara berbeda” Bukti: dengan trial-and error didapatkan 1729 = 103 + 93 dan 1729 = 123 + 13 bilqis

  41. Non Constructive Proof Teorema: “Ada dua bilangan irasional x dan y yang menghasilkan xy rasional” Bukti: ( x = 2 dan y = 2 ) maka 2 = 2 rasional sehingga teorema terbukti 2 2 bilqis

  42. Proof by Counter Examples • Teorema: • “tiap integer positif merupakan jumlah dari kuadrat tiga integer” adalah pernyataan yang salah • Bukti: usahakan menemukan satu contoh yang meng-counter • pernyataan di atas • 02 = 0 12 = 1 22 = 4 32 = 9 • 0 = 02 + 02 + 02 3 = 12 + 12 + 12 6 = 22 + 12 + 12 • 1 = 12 + 02 + 02 4 = 22 + 02 + 02 7 = ? • 2 = 12 + 12 + 02 5 = 22 + 12 + 02 • 7 tidak dapat dibentuk dari jumlah kuadrat tiga integer • (7 disebut counter example) • terbukti pernyataan di atas salah (false) bilqis

  43. PR (kerjakan 5 saja) • Bilqis : • 1.5  1, 5, 7, 9, 13, 23 bilqis

More Related