ESCUELA :

1. CÁLCULO II – INTEGRACIÓN ESCUELA: CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN PONENTE: Ing. María del Carmen Cabrera L. I Bimestre BIMESTRE: Octubre 2009 – Febrero 2010 CICLO:

2. Definición Función primitiva o antiderivada • Función primitiva de una función dada f(x), es otra función F(x) cuya derivada es la solución dada. F'(x) = f(x) • Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante. • [F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)

3. Integral Indefinida • Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función. • Se representa por ∫ f(x) dx. • Se lee : integral de x diferencial de x. • ∫ es el signo de integración. • f(x) es el integrando o función a integrar. • dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra. • C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real. • Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que: • ∫ f(x) dx = F(x) + C

4. Línealidad de la integral indefinida • La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones. ∫[f(x) + g(x)] dx =∫ f(x) dx +∫ g(x) dx • La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función. ∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx

5. Ejercicios • G • g

6. Integrales definidas

7. Integrales definidas Dada una función f(x) de una variable real x y un intervalo [a,b] de la recta real, la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las líneas verticales x = a y x = b. • Se representa por • ∫ es el signo de integración. • a límite inferior de la integración. • b límite superior de la integración. • f(x) es el integrando o función a integrar. • dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

8. Propiedades de las integrales definidas • El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración. • Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.

9. Propiedades de las integrales definidas(2) • Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b]. • La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales·

10. Teorema Fundamental del Cálculo La derivada de la función integral de la función continua f(x) es la propia f(x). F'(x) = f(x) El teorema fundamental del cálculo nos indica que la derivación y la integración son operaciones inversas: si una función continua primero se integra y luego se deriva, se recupera la función original.

11. Regla de Barrow La regla de Barrow dice que la integral definida de una función continua f(x) en un intervalo cerrado [a, b] es igual a la diferencia entre los valores que toma una función primitiva G(x) de f(x), en los extremos de dicho intervalo.

12. Regla de Barrow (ejercicio) • j

13. Integración por partes El método de integración por partes se basa en la derivada de un producto y se utiliza para resolver algunas integrales de productos.

14. Integración por partes (2) Se debe considerar : • Tenemos que derivaru e integrarv', por lo que será conveniente que la integral de v' sea inmediata. • Las funciones polinómicas, logarítmicas y arcotangente se eligen como u. • Las funciones exponenciales y trígonométricas del tipo seno y coseno, se eligen como v'.

15. Integración por partes (3) • h

16. Integración por partes (4) 2.h

17. Integración por Sustitución • El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la regla de la cadena. • El método se basa en identificar una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.

18. Pasos - Integración por Sustitución • Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos: Se despeja u y dx, sustituyendo en la integral:

19. Pasos - Integración por Sustitución(2) 2. Si la integral resultante es más sencilla, procedemos a integrar: 3. Se vuelve a la variable incial:

20. Pasos - Integración por Sustitución (ejercicio)

21. Integrales racionales En la integración de funciones racionales se trata de hallar la integral , siendo P(x) y Q(x) polinomios. • En primer lugar, supondremos el grado de P(x) es menor que el de Q(x), si no fuera así se dividiría.

22. Integrales racionales (2) • C(x) es el cociente y R(x) el resto de la división polinómica. • Una vez que sabemos que el denominador tiene mayor grado que numerador, descomponemos el denominador en factores. • Dependiendo de las raíces del denominador nos encontramos con los siguientes casos:

23. Integrales racionales (3) El denominador tiene solo raíces reales simples La fracción P(x)/Q(x) puede escribirse así: A, B y C son números que que se obtienen efectuando la suma e identificando coeficientes o dando valores a x.

24. Integrales racionales (ejemplo) • d Se efectúa la suma: Como las dos fracciones tienen el mismo denominador, los numeradores han de ser iguales:

25. Integrales racionales (ejemplo) • Calculamos los coeficientes de A, B y C dando a la x los valores que anulan al denominador. • Se calculan integrales de las fracciones simples

26. GRACIAS Contactos: E-mail: mccabrerac@utpl.edu.ec skype: ma.krmita Teléfono: 072545399 ext. 2222