Aula 03

1. Aula 03 continuação

2. Cap. I: Conceitos Preliminares I.1. O que é a Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis I.2. Elementos Básicos I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas I.2.2. Esforços nas Estruturas I.2.3. Características Mecânicas dos Materiais I.3. Problemas e Métodos

3. área elementar força elementar momento elementar (desprezível) Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Tensão Reduzindo os esforços distribuídos ao longo de uma área elementar a um ponto qualquer desta área: Tensão Média: Tensão num Ponto: A unidade de tensão é, portanto, unidade de “força / comprimento2 ”: N/m2, kN/cm2, MPa, GPa, etc.

4. Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Tensão A tensão num ponto pode ser decomposta em: Tensão Normal sz, na direção normal z e Tensão de Cisalhamento tz, na direção tangencial (plano x-y, normal à direção z). A Tensão de Cisalhamentotzpode ser decomposta em duas componentes: tzx, na direção x, e tzy, na direção y.

5. Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Tensão A tensão normal se opõe à força de coesão entre as moléculas do corpo, que impede a sua separação por afastamento ou esmagamento. A tensão de cisalhamento se opõe à força de atrito entre as moléculas do corpo, que impede a sua separação por deslizamento ou cisalhamento.

6. Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Tensão Por um ponto qualquer de um corpo pode-se passar infinitos planos. Logo, para cada ponto do corpo solicitado, existe um conjunto infinito de valores da tensão rou de suas componentes s e t. A este conjunto dá-se o nome de Estado de Tensão no Ponto.

7. Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Tensão O Estado de Tensão Num Ponto pode, no entanto, ser definido a partir do conhecimento das componentes s e t em apenas três planos ortogonais entre si que contenham o ponto. Se dx, dy e dz são as distâncias infinitesimais entre planos paralelos que isolem um ponto P, o paralelepípedo resultante da interseção destes planos entre si pode ser utilizado para representar este ponto. representação do ponto P

8. Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Tensão As componentes de tensão nas facetas deste paralelepípedo elementar são: sx, txy, txz, sy, tyz, tyx, sz, tzx e tzy. As forças resultantes nes-tas facetas constituem um sistema em equilí-brio estático. Em um plano inclinado em relação aos planos das facetas do paralelepípedo agem as compo-nentes sn e tn. Este plano também contém o ponto.

9. Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Tensão sn é a tensão normal e tn a tensão de cisalha-mento neste plano (n é o eixo normal ao plano e t é um eixo tangente). A partir das condições de equilíbrio estático, SFn= 0 e SFt= 0 obtém-se as componentes sn e tn em função de sx, txy, txz, sy, tyz, tyx, sz, tzx, tzy e dos cossenos diretores da normal n.

10. Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Tensão Assim, conhecendo-se as componentes de tensão em três planos arbitrários, ortogonais entre si, pode-se conhecer as componentes em qualquer outro plano que contenha o ponto, por meio de fórmulas de recorrência obtidas a partir das citadas condições de equilíbrio estático das forças elementares que atuam nas facetas do tetraedro infinitesimal indicado.

11. Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Tensão Desta forma, o Estado de Tensão Num Ponto pode ser representado, como dito, pelas com-ponentes em três planos ortogonais arbitrá-rios: sx, txy, txz, sy, tyz, tyx, sz, tzx e tzy. Da condição de equilíbrio de momentos em torno do eixo x indicado, tem-se: SMx= 0 a (tyzdxdz)dy – (tzydxdy)dz = 0

12. Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Tensão Logo, tyz= tzy . Analogamente, txy = tyx e tzx = txz. Teorema: “Em planos ortogonais, as tensões de cisalhamento são iguais e formam binários em sentidos opostos” Assim, são seis as componentes que definem o Estado de Tensão Num Ponto: sx, sy, sz, txy, tyz, e tzx.

13. _ _ + + Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Tensão Logo, tyz= tzy . Analogamente, txy = tyx e tzx = txz. Teorema: “Em planos ortogonais, as tensões de cisalhamento são iguais e formam binários em sentidos opostos” Convenção de Sinais:

14. Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Tensão Relações entre Esforços Internos e Tensões Se sz,tzx etzy são as componentes de tensão num ponto qualquer do plano x-y, os esforços elementares correspondentes são: Integrando estes esforços elementares: esforço cortante na direção x esforço cortante na direção y esforço normal

15. Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Tensão Relações entre Esforços Internos e Tensões Os momentos elementares em torno dos eixos de referência são: Integrando estes momentos elementares: momentos fletores em torno de x e de y momento torsor

16. B A q C plano indeformado B’ A’ q’ C’ plano deformado Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Sejam AB e AC dois segmentos de reta defi-nindo um plano do corpo e formando um ân-gulo q entre si. O corpo se deforma após a ação dos esforços e, consequentemente, os pontos A, B e C se deslocam para as posições A’, B’ e C’, respec-tivamente.

17. B A q C plano indeformado B’ A’ q’ C’ plano deformado Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Deformação Linear Média:

18. B A q C plano indeformado e B’ A’ q’ C’ plano deformado Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Se x é o eixo orientado que define a direção do segmento AB e y o eixo orientado que define a direção do segmento AC, Deformação Linear de um Ponto: O conceito de deformação linear de um ponto pressupõe a direção na qual é medida.

19. B A q C plano indeformado B’ A’ q’ C’ plano deformado Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação exé a deformação linear do ponto A na direçãox e eyé a deformação linear do ponto A na direçãoy. Deformação Linear é uma grandeza adimensional. Pode ser expressa em %.

20. B A q C plano indeformado B’ A’ q’ C’ plano deformado Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Deformação Angular Média:

21. B A q C plano indeformado B’ A’ q’ C’ plano deformado Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Se x é o eixo orientado que define a direção do segmento AB e y o eixo orientado que define a direção do segmento AC, Deformação Angular de um Ponto: O conceito de deformação angular de um ponto pressupõe o plano na qual é medida.

22. B A q C plano indeformado B’ A’ q’ C’ plano deformado Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação gxyé a deformação angular do ponto A no planox-y. Deformação Angular é uma grandeza adimensional. Deve ser expressa em rd.

23. B A q C plano indeformado B’ A’ q’ C’ plano deformado Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Por um ponto qualquer de um corpo pode-se passar infinitos planos. Logo, para cada ponto do corpo solicitado, existe um conjunto infini-to de valores das deformações e e g. A este conjunto dá-se o nome de Estado de Defor-mação no Ponto.

24. Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Analogamente ao Estado de Tensão, o Estado de Deformação Num Ponto também pode ser definido a partir do conhecimento das deformações e e g em apenas três planos ortogonais entre si que contenham o ponto. Representado o ponto pelo paralelepípedo elementar, as deformações em suas facetas são: ex, ey, ez, gxy, gyz e gzx.

25. Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação ex: deformação linear na direção x, ey: deformação linear na direção y, ez: deformação linear na direção z, gxy: deformação angular no plano x-y, gyz : deformação angular no plano y-z, gzx : deformação angular no plano z-x.

26. Seja o deslocamento do ponto A após a deformação do corpo solicitado. y x A’ u v A w z Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Relações entre Deslocamentos e Deformações A’ A Decompondo este deslocamento em direções x, y e z tri-ortogonaias arbitrárias: plano deformado u: deslocamento do ponto A na direção x v: deslocamento do ponto A na direção y w: deslocamento do ponto A na direção z

27. : projeção do ponto A’ no plano x-y : projeção do ponto B’ no plano x-y y x A’xy A’ u v A w z Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Relações entre Deslocamentos e Deformações Supondo um ponto B sobre o eixo x, após a deforma-ção, este ponto se deslocará para uma posição B’. A’ A plano deformado

28. y x A’xy A’ u v A w z Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Relações entre Deslocamentos e Deformações xB: coordenada do ponto B segundo o eixo x A’ A u: deslocamento do ponto A na direção x DxB = u + Du : deslocamento do ponto B na direção x plano deformado

29. y x A’xy A’ u v A w z Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Relações entre Deslocamentos e Deformações Por definição, a deformação linear média do segmento AB é: A’ A plano deformado

30. Logo, y x A’xy A’ u v A w z Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Relações entre Deslocamentos e Deformações Assim, a deformação linear do ponto A na direção x é: A’ A plano deformado

31. : projeção do ponto C’ no plano x-y y x A’xy A’ u v A w z Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Relações entre Deslocamentos e Deformações Supondo um ponto C sobre o eixo y, após a deforma-ção, este ponto se deslocará para uma posição C’. A’ A plano deformado

32. y x A’xy A’ u v A w z Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Relações entre Deslocamentos e Deformações yC: coordenada do ponto C segundo o eixo y A’ v: deslocamento do ponto A na direção y A DyC = v + Dv : deslocamento do ponto C na direção y plano deformado

33. y x A’xy A’ u v A w z Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Relações entre Deslocamentos e Deformações Por definição, a deformação angular média do plano ABC é: A’ A plano deformado

34. y x A’xy A’ u v A w z Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Relações entre Deslocamentos e Deformações A’ A plano deformado

35. y x A’xy A’ u v A w z Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Relações entre Deslocamentos e Deformações A’ A plano deformado

36. Logo, y x A’xy A’ u v A w z Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Relações entre Deslocamentos e Deformações Assim, a deformação angular do ponto A no plano xy é: A’ A plano deformado

37. y x A’xy A’ u v A w z Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Relações entre Deslocamentos e Deformações Finalmente, as relações entre deslocamentos e deformações são: A’ A deformações lineares plano deformado deformações angulares

38. Estado Triplo ou Triaxial Estado Triaxial Uniforme Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação Estados de Tensão:

39. Estado Plano Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação Estados de Tensão: notação alternativa

40. Estado Duplo ou Biaxial Estado Biaxial Uniforme Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação Estados de Tensão:

41. Estado Simples Estado de Cisalhamento Puro Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação Estados de Tensão:

42. Estado Triplo ou Triaxial Estado Triaxial Uniforme Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação Estados de Deformação:

43. Estado Plano Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação Estados de Deformação: notação alternativa

44. Estado Duplo ou Biaxial Estado Biaxial Uniforme Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação Estados de Deformação:

45. Estado Simples Estado de Cisalhamento Puro Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação Estados de Deformação:

46. elemento indeformado elemento indeformado elemento deformado elemento deformado Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Lei de Hooke: “As tensões são proporcionais às deformações até um certo limite” Às tensões normais correspondem deformações lineares Às tensões tangenciais correspondem deformações angulares

47. elemento indeformado elemento deformado Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Lei de Hooke: “As tensões são proporcionais às deformações até um certo limite” Constantes de Proporcionalidade: E: Módulo de Young ou Módulo de Deformação Longitudinal n: Coeficiente de Poisson

48. elemento indeformado elemento deformado Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Lei de Hooke: “As tensões são proporcionais às deformações até um certo limite” Constantes de Proporcionalidade: G: Módulo de Deformação Transversal

49. Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Lei de Hooke: “As tensões são proporcionais às deformações até um certo limite” Constantes de Proporcionalidade: EeGsão também chamados de Módulos de Elasticidade Longitudinal e Transversal, respectivamente, porque a Lei de Hooke só é válida no regime elástico.

50. Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Lei de Hooke: “As tensões são proporcionais às deformações até um certo limite” Princípio da Superposição dos Efeitos (PSE): “Se é válida a Lei de Hooke, os efeitos de um sistema de ações sobre um corpo sólido correspondem às somas dos efeitos de cada ação se-paradamente”