Geometria u starożytnych

1. Geometria u starożytnych mgr Joanna Jarosz-Krzywda mgr Justyna Wolska

2. Geometria, powstała jeszcze w starożytności, jako dział matematyki , silnie rozwinięty w XIX i XX w., zajmujący się własnościami przestrzeni (płaszczyzn) i obiektów w niej zawartych. Po polsku do dziś miarę powierzchni nazywamy "polem„. Nie jest to przypadek : geometria zaczęła się właśnie od pomiarów pól uprawnych. Jak pisze grecki uczony Proklos. Dopiero właśnie starożytni Grecy rozwinęli geometrię, jako naukę ścisłą. Zaczęli oni udowadniać znane już twierdzenia, dzięki czemu oddzielili prawdziwe od fałszywych, odkryli też wiele nowych. W starożytnej Grecji stworzono znaczną część geometrii elementarnej. Dzisiejszy program szkolny jest znacznie skromniejszy niż sprzed 2000 lat. Grecy umieli wykonywać bardzo trudne konstrukcje geometryczne, znali krzywe stożkowe, wielościany foremne (a nawet wiedzieli, że nie ma innych wielościanów poza tymi, które znają) itd. Niemal całą wiedzę starożytnych matematyków zebrał i uporządkował metodą aksjomatyczną Euklides w dziele "Elementy". Podwaliny geometrii dali właśnie Euklides, Tales z Miletu orazArchimedes.

3. Od Geometrii wszystko się zaczęło, gdzieś w VII wieku przed narodzeniem Chrystusa w Grecji. Geometria – 1566 Jeometrya – 1803 Jeometryia – 1827 Gieometrya – 1869 Gieometryja – 1894 Gieometrja – 1917 Geometrja – 1920

4. Matematycy ze starożytności TALES Z MILETU Data i miejsce urodzenia:  ok. 620 p.n.e. Milet PITAGORAS Data i miejsce urodzenia:  ok. 572–569 p.n.e. wyspa Samos EUKLIDES Data i miejsce urodzenia:  ok. 365 p.n.e. Ateny ARCHIMEDES Data i miejsce urodzenia:  ok. 287 p.n.e. Syrakuzy

5. Okres pierwszy. • M A T E M A T Y K A G R E C K A • VI wiek przed naszą erą założyciele: TALES – geometria, PITAGORAS- arytmetyka. • V wiek przed naszą erą Pitagorejczycy: Filoalos z Krotony, Hippiasz z Metaontu, Hipokrates z Chios, Parmenides i Zenon. Sofista (wędrowni nauczyciele przygotowujący uczniów do życia publicznego poprzez nauczanie retoryki , polityki, filozofii, etyki.) Hippiasz z Elidy, geometria. • IV wiek przed naszą erą Szkoła ateńska. Platon, uczniowie Akademii: Eudoksjusz z Knidy, Teodor z Cyrenei, Teeteta, Arystoteles.

6. III wiek przed naszą erą Złoty wiek matematyki greckiej. Wielka Trójca: • EUKLIDES i APOLLONIUSZ • ARCHIMEDES • Euklides, Apolloniusz i Archimedes stali się „Legislatorami geometrii” . • Dzieła: • Euklides – „Elementy”, • Apolloniusz – „Stożkowe” Apolloniusz Archimedes Euklides

8. Milet - to tu urodził się Tales. W roku śmierci Talesa, 546 r. p.n.e. Milet został opanowany przez Persów, doszczętnie zburzony i do dawnej świetności już nie powrócił.. O jego życiu i pochodzeniu niewiele wiemy. Według starożytnych przekazów Tales był kupcem, technikiem, astronomem, meteorologiem, matematykiem, politykiem, teologiem i filozofem. TALES

9. Zmierzył wysokość piramid egipskich, wykorzystując taki moment dnia, gdy cień obiektu był równy jego wysokości. • Wykorzystując własności trójkątów podobnych obliczał odległości od brzegu okrętów znajdujących się na pełnym morzu. • Przewidział niemal całkowite zaćmienie Słońca 28 maja 585 r. p.n.e., które zmusiło do rozejmu walczących od 6 lat w wojnie Medów i Lidyjczyków, a Talesowi zjednało sławę wielkiego uczonego. • Rozdzielił rzekę Halys (obecnie Kizilirmak) na dwa rozgałęzienia i w ten sposób spłyciwszy ją umożliwił Krezusowi przeprowadzenie wojsk w bród. TALES

10. Według Platona Tales, obserwując gwiazdy, wpadł w ciemności do studni. Wtedy piękna niewolnica rzekła żartem, że chciał zobaczyć, co się dzieje na niebie, a nie dostrzegł tego, co znajduje się pod jego nogami. • Tales nie miał własnych dzieci, ale adoptował i wychowywał syna swojej siostry. • Tales (jak każdy ówczesny Grek?) był miłośnikiem sportu. W młodości niejeden raz zdobywał olimpijskie laury. Podobno umarł na stadionie w Milecie na skutek udaru słonecznego, oklaskując walczących o zwycięstwo olimpijczyków. • Tales nie zajmował się wiele liczbami, interesował się przede wszystkim figurami geometrycznymi, kołami, prostymi i trójkątami. Był pierwszym, który uznał kąt za pełnoprawny byt matematyczny. TALES

11. O D K R Y C I A M A T E M A T Y C Z N E T A L E S A 1. TALES dowiódł, że jeśli dwie proste się przecinają, to kąty leżące naprzeciwko są sobie równe. TALES

12. C R S R R A B 2. TALES udowodnił, że każdemu trójkątowi można przypisać okrąg; mianowicie taki, który przechodzi przez trzy wierzchołki trójkąta, czyli okrąg opisany, i zaproponował ogólną zasadę konstrukcji. TALES

18. TALES

21. Narodowość:  grecka • Data i miejsce urodzenia:  • ok. 572–569 p.n.e. wyspa Samos • Data i miejsce śmierci:  • ok. 497–475 p.n.e. Metapont • Miejscowości lub uczelnie, gdzie działał:  • wyspa Samos, Krotona, Metapont PITAGORAS

22. Pitagoras nie zostawił po sobie żadnych pism. O jego dokonaniach dowiadujemy się z dzieł filozofów greckich żyjących ponad 200 lat później (m. in. Diogenesa, Porfiriosa czy Jamblichosa). Nie jest nawet możliwe dokładne ustalenie lat jego życia.Wiadomo, że w młodości odwiedził m.in. Indie, Egipt, Syrię i Mezopotamię, gdzie zetknął się z tamtejszymi systemami filozoficzno-religijnymi. W Jonii był uczniem Talesa. PITAGORAS

23. W dzisiejszych czasach trudno powiedzieć co dokonał sam Pitagoras, a co jego uczniowie. Dlatego mówi się o dokonaniach pitagorejczyków. • W zakresie geometrii podali: • twierdzenie o sumie kątów trójkąta, czworokąta i wieloboków foremnych, • badali ponadto koło, wielościany foremne i kulę, • odkryli pięciokąt foremny,

24. 3 * 1800 = 5400 suma miar kątów wewnętrznych w pięciokącie

26. T W I E RD Z E N I E P I T A G O R A S A Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej. PITAGORAS

27. Prawdziwe jest też twierdzenie odwrotne, które znane było już dużo wcześniej Egipcjanom i Babilończykom, i stosowane bez dowodu jako reguła wyznaczania kąta prostego: • jeżeli w trójkącie suma pól kwadratów zbudowanych dwóch krótszych bokach jest równa polu kwadratu zbudowanego na najdłuższym boku, to trójkąt jest prostokątny, • jeśli suma ta jest mniejsza, to trójkąt jest ostrokątny, • a jeśli większa – to rozwartokątny. PITAGORAS

28. Ciekawostki i anegdoty:  • w młodości Pitagoras był utalentowanym pięściarzem i zapaśnikiem. Zdobywał laury olimpijskie, wygrywając wszystkie walki, • Pitagoras miał zalecać swoim uczniom zadawanie sobie codziennie wieczorem pytań: Jaki błąd popełniłem? Co zdziałałem? Jakiego obowiązku zaniedbałem?,

29. w przypadku wyrzucenia kogoś ze wspólnoty pitagorejczyków kopano odrzuconemu grób. Pozostawał on pusty i był symbolem śmierci tej osoby dla wspólnoty, • z wdzięczności dla bogów za udowodnienie twierdzenia nazywanego jego imieniem Pitagoras miał złożyć hekatombę, czyli ofiarę ze stu byków,

30. uczniowie Pitagorasa odkryli także, że liczba jest niewymierna. Odkrycie to starannie ukrywali przed współczesnymi.

31. Ciekawostki i anegdoty:  • Pitagorejczycy, badając figury podobne, umożliwili wykonywanie rysunków w skali, planów i map (nie istniały one w kulturach narodów pozaeuropejskich), czemu zawdzięczamy późniejsze wielkie odkrycia geograficzne, rewolucję przemysłową i wiele innych osiągnięć. • Podobieństwo jest jednym z najbardziej intuicyjnych pojęć matematycznych. Nawet w przedszkolu, gdy pani rysuje kółko na tablicy i każe dzieciom w zeszytach zrobić to samo, to rysują one kółko w dużym pomniejszeniu i są przekonane (podobnie jak i pani), że rzeczywiście narysowały to samo.

32. Wszystko jest liczbą. Najkrótsze wyrazy – „tak” i „nie” – wymagają najdłuższego zastanowienia. Trudno jest iść przez życie wieloma drogami jednocześnie. PITAGORAS

33. Dobierzcie się trójkami. • Każdy z Waszej trójki rysuje jeden z kwadratów o polu: • 9 cm2 • 16 cm2 • 25 cm2 • Ułóżcie tak te kwadrat, abyście w środku otrzymali trójkąt. • Jakie są długości boków tego trójkąta? • Czy wiecie jak nazywa się ten trójkąt? Taki trójkąt o bokach 3, 4, 5 nazywamy trójkątem pitagorejskim

34. Euklides był najwybitniejszym dydaktykiem jakiego znała ówczesna historia matematyki. Jego imię związało się na zawsze z jedną z gałęzi geometrii – zwanej geometrią euklidesową. Euklides znany jest jako autor Elementów (gr. Stoicheia geometria), które stanowiły pierwszą próbę aksjomatycznego ujęcia geometrii i były podstawowym podręcznikiem geometrii do XIX wieku. Okres działalności Euklidesa przypada na lata panowania Ptolemeusza Sotera I (305-282 r. p.n.e.). Euklides był jednym z pierwszych wykładowców słynnej wówczas Szkoły Aleksandryjskiej. Przypuszcza się, że był wychowankiem Akademii Platońskiej, gdzie posiadł głęboką wiedzę, mając dostęp do najlepszych prac matematyków i filozofów greckich. Przemawia za tym między innymi cecha Elementów – skrupulatne, tak charakterystyczne dla Platona i jego zwolenników, omijanie wszelkich zagadnień mających związek z praktyką.

35. W Elementach Euklides zawarł całą wiedzę matematyczną swoich poprzedników. Dzieło to składa się z trzynastu ksiąg. Księgi czternasta i piętnasta są późniejszymi uzupełnieniami (autorem czternastej jest Hipsikles z Aleksandrii, żyjący około 200 r. p.n.e., a piętnastą dołączono dopiero w szóstym wieku naszej ery). Pierwsze cztery księgi i księga szósta dotyczą geometrii płaskiej, ostatnie trzy - przestrzennej, których ukoronowaniem są rozważania o pięciu wielościanach foremnych. Piąta poświęcona jest teorii proporcji w ujęciu geometrycznym. Treść księgi siódmej, ósmej i dziewiątej jest arytmetyczna. Autor wyłożył w nich arytmetykę pitagorejską, a więc właściwie teorię liczb, lecz uczynił to w sposób naukowy, bez cienia pitagorejskiej mistyki. O randze Elementów świadczy fakt przetłumaczenia dzieła na olbrzymią liczbę języków (niestety brak polskiego tłumaczenia dzieła)- ilością wydań ustąpiło ono jedynie Biblii. Przez kilkanaście wieków na całym świecie uczono geometrii właśnie według Elementów Euklidesa. EUKLIDES

36. Najstarszy zachowany diagram euklidesowy, I – II w n.e.

37. Wydanie angielskie „Elementów” z 1570 r

38. Elementy Euklidesa – rękopis z 888 r n.e. został skopiowany przez Stephena w Konstantynopolu i od 1804 roku są w zbiorze Bodleian Library.

39. Ojciec Archimedesa był astronomem, a on sam odziedziczył zainteresowania tą dziedziną. Kształcił się w Aleksandrii, a prawie całą resztę życia spędził w miejscu swego narodzenia, Syrakuzach, otoczony opieką ich władcy Hierona. Archimedes był bez wątpienia największym matematykiem i uczonym, jakiego wydała klasyczna cywilizacja grecka; uważa się go też powszechnie za jednego z największych matematyków wszechczasów. ARCHIMEDES Zajmował się wszakże Archimedes o wiele bardziej matematyką stosowaną niż czystą. Był wielce zainteresowany praktycznym wykorzystywaniem swych odkryć teoretycznych, wiadomo też, że był uzdolnionym wykonawcą potrzebnych mu przyrządów i błyskotliwym eksperymentatorem.

40. Śmierć Archimedesa była bardzo symboliczna, gdy Rzymianie zdobywali miasto wódz rzymski Marcellus kazał wziąć uczonego żywcem, jednakże jeden z bardziej krnąbrnych legionistów zabił Greka, gdy ten ignorował go rysując na piasku nowe symbole matematyczne. Matematykowi odprawiono uroczysty pogrzeb aby pokazać, jakim wielkim szacunkiem, darzyło uczonego rodzące się imperium rzymskie

41. Prawo Archimedesa Ciało zanurzone w cieczy traci pozornie na ciężarze tyle, ile waży ciecz wyparta przez to ciało.

42. Legenda głosi, że król Syrakuz zwrócił się do Archimedesa, aby ten zbadał, czy korona, którą wykonał dla Hierona II pewien syrakuzański złotnik, zawiera tylko złoto, czy jest to jedynie pozłacane srebro. Archimedes długo nad tym rozmyślał, aż wreszcie pewnego razu w czasie kąpieli w wannie poczuł jak w miarę zanurzania się w wodzie ciężar jego ciała się zmniejsza. Oszołomiony swoim odkryciem, wyskoczył z wanny i z okrzykiem Eureka! (Heureka, gr. ηὕρηκα - "znalazłem") nago wybiegł na ulicę i udał się do króla. Po otrzymaniu odpowiedniej wartości dla ciężaru właściwego korony Archimedes porównał ją z ciężarem właściwym czystego złota

43. DZIĘKUJEMY ZA UWAGĘ. ZAPRASZAMY ZA ROK NA LEKCJĘ O WIELOŚCIANACH PLATOŃSKICH.