Paramétrisation adaptative pour l’estimation des paramètres hydrodynamiques dans un milieu poreux non saturé

1. Paramétrisation adaptative pour l’estimation des paramètres hydrodynamiques dans un milieu poreux non saturé Mohamed HAYEK François LEHMANN Philippe ACKERER Institut de Mécanique des Fluides et des Solides de Strasbourg

2. Equation de l’écoulement dans un milieu poreux non saturé (Equation de Richards) - Condition à la limite supérieure: - Condition à la limite inférieure:

3. Relations entre h, K, et Le modèle de van Genuchten-Mualem model (1980):

4. But du travail Hypothèse: les paramètres hydrodynamiques sont constants par zone. Problèmes à résoudre: • Trouver la distribution des zones dans le domaine. • Estimer les paramètres dans chaque zone (Résolution du • problème inverse).

5. Problème 2:Estimation des paramètres hydrodynamiques (Résolution du problème inverse)

6. Résolution de l’équation de l’écoulement (le problème direct) • Linéarisation: • Picard, Newton-Raphson, Primary variable switching (Diersch and Perrochet, 1999) - Primary variable switching: Résidu du système: On linéarise par rapport à la variable X:

7. Comparaison entre les différentes méthodes de linéarisation Pression imposée Pression imposée

8. plus rapide si Np n’est pas assez grand • Formulation du problème inverse - La fonction objectif: - Minimisation: les algorithmes de minimisation les plus fréquents: Gauss-Newton et Quasi-Newton Gauss-Newton Quasi-Newton Approcher le Hessien sans jamais le calculer Calcul exact du Hessien à partir des sensibilités

9. Méthode de Gauss-Newton (Algorithme de Levenberg Marquardt) Gradient: Jacobien:

10. Sensibilités: Un système linéaire par paramètre

11. Problème inverse

12. Problème 1:Déterminer la distribution des zones dans le domaine

13. discontinuité: Au premier ordre: • Indicateur de raffinement (Chavent and Bissel, 1998, Ben Ameur et al., 2002)

14. au minimum: Indicateur de Raffinement

15. Indicateur correspondant au paramètre pk et à la localisation i , Indicateur normalisé : Indicateur multidimensionnel • Indicateur de raffinement multidimensionnel Normalisation Norme

16. Calcul des gradients local Méthode de l’état adjoint: On considère le problème d’optimisation suivant: Afin de résoudre ce problème, on introduit le Lagrangien: Pour calculer les gradients locaux, on résout le système adjoint:

17. Système adjoint: Les gradients locaux sont calculés par:

18. Algorithme de raffinement

19. C3 C1 C2 C4 5 cm z 15.5 cm 10.5 cm 0.5 cm 5.5 cm z=0 20.5 cm 11 cm Zone 1 36 cm 40 cm Zone 2 76 cm 59.5 cm Zone 3 • Exemples Numériques: Cas de 3 zones Condition à la limite supérieure Condition à la limite inférieure

20. 60.5 cm C 8 C 9 C 10 C 11 C 12 C 13 C 14 C 15 • Première itération

21. 20.5 cm C 3 C 4 C 5 C 6 C 7 Zone 1 Zone 2 • Deuxième itération

22. 20.5 cm Zone 1 60.5 cm 60.5 cm Zone 1 Zone 2 120 cm Zone 2 Zone 3 Cas de 3 zones Paramétrisation obtenue à la première itération Paramétrisation obtenue à la deuxième itération Paramétrisation initiale

23. C3 C1 C2 C4 5 cm z 15.5 cm 10.5 cm 0.5 cm 5.5 cm • Exemplesnumériques: Cas de 5 zones Après quatre itérations:

24. z=0 20.5 cm 11 cm Zone 1 36 cm 40 cm Zone 2 76 cm 59.5 cm Zone 3 • Cas où les mesures sont entachées d’erreurs: Cas de 3 zones • La paramétrisation exacte a été retrouvée • après deux itérations. • Mêmes coupes sélectionnées à chaque itération • que dans le cas sans erreur de mesure.

25. z=0 20.5 cm 11 cm Zone 1 40 cm Zone 2 75 cm 59.5 cm 100 cm Zone 3 • Influence des positions des points de mesures • La paramétrisation exacte a été retrouvée après • deux itérations. • Plus de coupes sélectionnées à chaque itération.. • Les paramètres sont parfaitement estimés à • l’exception de et de la zone 2.

26. Conclusion • Un algorithme de paramétrisation adaptative pour l’estimation des paramètres • hydrodynamiques dans un milieu poreux non saturé a été présenté: • Les paramètres hydrodynamiques sont constants par zone. • L’indicateur de raffinement correspondant à chaque zone a été utilisé afin de • de définir l’indicateur multidimensionnel. • Les résultats numériques sont encourageants et montrent la robustesse de • l’algorithme.