Logické funkce

1. Logické funkce Střední odborná škola Otrokovice Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je ing. Miroslav Hubáček. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. www.zlinskedumy.cz

2. Charakteristika 1 DUM

3. Náplň výuky Logické funkce Definice logické funkce Zápis logických funkcí Zjednodušování zápisu logických funkcí Booleova algebra De Morganovy zákony Pravdivostní tabulky

4. je to funkce, která pro konečný počet vstupních parametrů přiřazuje logické hodnoty • kombinační logická funkce – každé kombinaci logických hodnot 0 a 1 přiřazených vstupními proměnnými, přiřadí jedinou hodnotu výstupní proměnné • kombinace vstupních logických proměnných, k níž není určena hodnota výstupní logické funkce, se nazývá neurčitý stav • rozlišujeme tyto kombinační logické funkce • úplně určené – definičním oborem jsou všechny kombinace vstupních proměnných • neúplně určené – obsahují jednu nebo více kombinací vstupních proměnných, které nejsou definovány Definice logické funkce

5. logickou funkci lze zapsat ve dvou základních tvarech • v základním součtovém tvaru – úplná normální disjunktivní forma • v základním součinovém tvaru – úplná konjunktivní normální forma • funkci zapsanou v základním součtovém tvaruzískáme jako součet základních součinů přímých nebo negovaných proměnných • zapisujeme pouze základní součiny u těch kombinací přímých nebo negovaných proměnných, ve kterých nabývá funkce hodnoty 1 • funkci zapsanou v základním součinovém tvaruzískáme jako součin základních součtů přímých nebo negovaných proměnných Zápis logické funkce

6. zapisujeme pouze základní součty u těch kombinací přímých nebo negovaných proměnných, u kterých nabývá funkce funkční hodnotu 0 • v praxi se používá součtový tvar zápisu logické funkce než součinový tvar zápisu logické funkce • je to dán tím, že se v praxi používají častěji hradla NAND • základní součtový tvar logické funkce je • základní součinový tvar logické funkce je Zápis logické funkce

7. s využitím Booleovy algebry lze základní součtový tvar funkce dále zjednodušit • při zjednodušování tvaru zápisu logické funkce je nutné dodržet i prioritu prováděných operací • 1. závorky • 2. negace • 3. logický součin • 4. logický součet • funkční hodnota logické funkce nemusí být pro některé kombinace vstupních logických proměnných jednoznačně určena • jedná se o případ, který v praxi nemůže nastat, například měřená veličina je mimo definovaný rozsah Zjednodušování zápisu logických funkcí

8. Booleova logika se zabývá logickými operacemi součet, součin a negace na množině hodnot 0 a 1 • jejím rozšířením je Booleova algebra • je to algebraická struktura, která modeluje vlastnosti množinových a logických operací • je nazvána podle irského matematika George Boola • v Booleově algebře jsou definovány tři základní operace • logická negace = 1 a = 0 • logický součin Y = A ∙ B • logický součet Y = A + B Booleova algebra Obr. 1: Georg Boole

9. De Morganovy zákony určují vztah mezi sjednocením, průnikem a doplňkem množiny • další se zabývají matematickou logikou • zákony se jmenují po Augustu de Morganovi • = ∙ ∙ • = + + • negaci funkce získáme nahrazením každé proměnné její negací a záměnou značek součtu a součinu navzájem • de Morganovy zákony definuji přímé duální funkce, levé i pravé strany rovnic jsou duální, každá popisuje zcela shodnou funkci, ale jiným způsobem De Morganovy zákony Obr. 2: Augusta de Morgan

10. princip de Morganových zákonu lze snadno zobecnit pro libovolné logické výrazy • na základě de Morganových zákonů byla stanovena následující pravidla pro práci s logickými členy • každé hradlo NAND lze nahradit hradlem OR za předpokladu, že jeho vstupní signály budou negovány příslušnými invertory na vstupech • každé hradlo NOR lze nahradit hradlem AND, opět doplněním příslušnými vstupními invertory • každé hradlo OR a ANDlze nahradit hradlem NOR a NANDpomocí negace vstupní funkce doplňkovým vstupním invertorem Využití de Morganových zákonů

11. pravdivostní tabulkaje jeden ze způsobů zápisu logických funkcí • taková tabulka obsahuje pouze logické proměnné, které nejčastěji nabývají dvou hodnot 0 a 1– pravda a nepravda, ano a ne • velikost tabulky je dána počtem proměnných a počtem výstupních funkcí • máme-li n proměnných a m výstupních funkcí bude mít tabulka n + msloupců • řádků bude mít tabulka právě 2n, což jsou všechny možné kombinace stavů logických proměnných, které mohou nastat Pravdivostní tabulky

12. Logický součet –logická funkce OR • logický součet může být definován i pro více vstupních proměnných • výsledek logického součtu několika proměnných je roven jedné tehdy, když alespoň jedna vstupní proměnná je rovna jedné • matematický zápis • Y = A + B • pravdivostní tabulka Příklady logických funkcí Obr. 3: Pravdivostní tabulka funkce OR

13. Logický součin –logická funkce AND • logický součin může být definován i pro více vstupních proměnných • výsledek logického součtu několika proměnných je roven jedné tehdy, když všechny vstupní proměnné jsou rovny jedné • matematický zápis • Y = A · B • pravdivostní tabulka Příklady logických funkcí Obr. 4: Pravdivostní tabulka funkce AND

14. Negace logického součtu – logická funkce NOR • negovaný logický součet může být definován i pro více vstupních proměnných • výsledek negovaného logického součtu několika proměnných je roven jedné pouze tehdy, když jsou všechny proměnné rovny nule • matematický zápis • pravdivostní tabulka Příklady logických funkcí Obr. 5: Pravdivostní tabulka funkce NOR

15. Negace logického součinu– logická funkce NAND • negovaný logický součin může být definován i pro více vstupních proměnných • výsledek negovaného logického součinu několika proměnných je roven jedné tehdy, když alespoň jedna vstupní proměnná je rovna nule • matematický zápis • pravdivostní tabulka Příklady logických funkcí Obr. 6: Pravdivostní tabulka funkce NAND

16. Negace logického signálu– logická funkce NOT • je to nejjednodušší logickou funkcí • logický člen negace má jeden vstup a jeden výstup • hodnota výstupu je vždy opačná než hodnota vstupu matematický zápis • pravdivostní tabulka Příklady logických funkcí Obr. 7: Pravdivostní tabulka funkce NOT

17. Kontrolní otázky: Co to je logická funkce? Vysvětlete význam Booleovy algebry. Jak se využívají de Morganova pravidla? Popište základní logické funkce. Pomocí pravdivostních tabulek vysvětlete logické funkce.

18. Seznam obrázků: Obr. 1: Georg Boole : In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. 2012 [cit. 30. 4. 2013]. Dostupnéz:http://cs.wikipedia.org/wiki/Boole Obr. 2: Augustus de Morgan : In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. 2012 [cit. 30. 4. 2013]. Dostupné z: http://cs.wikipedia.org/wiki/Augustus_De_Morgan Obr. 3: Pravdivostní tabulka funkce OR : vlastní Obr. 4: Pravdivostní tabulka funkce AND : vlastní Obr. 5: Pravdivostní tabulka funkce NOR : vlastní Obr. 6: Pravdivostní tabulka funkce NAND : vlastní Obr. 7: Pravdivostní tabulka funkce NOT : vlastní

19. Seznam použité literatury: [1] ANTOŠOVÁ, M., DAVÍDEK, V. Číslicová technika. Praha:KOPP,2009. ISBN 978-80-7232-394-4. [2] HÄBERLE,H. a kol.Průmyslová elektrotechnika a informační technologie. Praha:Europa – Sobotáles, 2003. ISBN 80-86706-04-4. [3 ] Logické funkce. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. 2012 [cit. 29. 4. 2013]. Dostupné z: http://cs.wikipedia.org/wiki/Diskr%C3%A9tn%C3%AD_sign%C3%A1l [4] Logické funkce. In: FEKT VUT: Minimalizace logických funkcí [online]. 2010 [cit. 29. 4. 2013]. Dostupné z: https://moodle.dce.fel.cvut.cz/pluginfile.php/317/mod_page/content/23/MDIS-Minimalizace_logicke_funkce_v2.pd

20. Děkuji za pozornost 