DISCIPLINA: Matemática Fundamental. ASSUNTO: História da Aritmética e da Teoria dos Números.

1. DISCIPLINA: Matemática Fundamental.ASSUNTO: História da Aritmética e da Teoria dos Números. IFPB- CAMPUS CAJAZEIRAS PROFª. Maria José (Mazé)

2. ARITMÉTICA A aritmética é um ramo da matemática que lida com as propriedades elementares das operações com números. O termo aritmética também é usado em referência à teoria dos números. Isto inclui as propriedades dos inteiros relacionados com a primalidade, a divisibilidade e a solução de equações em inteiros, bem como a pesquisa moderna que tem surgido deste estudo. É neste contexto que se pode encontrar coisas como o teorema fundamental da aritmética e funções aritméticas.

3. A PRÉ-HISTÓRIA DOS NÚMEROS Onde e quando esta fantástica aventura da inteligência Humana começou? Não sabemos de nada, um fato é certo: houve tempo em que o Ser humano não sabia contar. Inúmeras hordas “primitivas” se encontram, ainda hoje, nesse “grau zero” quanto ao conhecimento dos números. É, por exemplo, o caso dos zulus e dos pigmeus, da áfrica, dos aranda e dos kamilarai, da Austrália, dos aborígines das ilhas Murray e dos botocudos, do Brasil. Eles só conhecem dois “nomes de números”, um para a unidade e um outro para o par. Dentro deles, os melhores em aritméticas chegam a exprimir os números 3 e 4 articulando algo como: dois-um, dois-dois. Mas, não avançam mais.

4. A PRÉ-HISTÓRIA DOS NÚMEROS A imprecisão, a confusão: empregam palavras ou expressão que poderíamos traduzir por muitos, vários, uma multidão. Para eles é difícil imaginar um número superior ou igual a 5. O número é “sentido” de modo um tanto qualitativo, um pouco como percebemos um cheiro, uma cor, um ruído, etc. As possibilidades numéricas dessas hordas se reduzes a esta espécie de capacidade natural – percepção direta do número.

5. A PRÉ-HISTÓRIA DOS NÚMEROS O homem das épocas mais remotas desta história devia também ser incapaz de conceber os números em si mesmos. Nosso ancestral remoto devia no máximo poder estabelecer uma diferença nítida entre a unidade, o par e a pluralidade. Um e dois são os primeiros conceitos numéricos inteligíveis pelo ser humano. O Um é o homem ativo, associado à obra da criação. É ele próprio no seio de um grupo social e sua própria solidão face à vida e à morte. É também o símbolo do homem em pé, o único ser vivo dotado desta capacidade, como também do falo ereto que distingue o homem da mulher.

6. UM E DOIS: OS PRIMEIROS NÚMEROS INVENTADOS O Dois, a dualidade do feminino e do masculino, à simetria aparente do corpo humano. É o símbolo da oposição, da complementaridade, da divisão, da rivalidade, do conflito ou do antagonismo. E se manifesta, por exemplo, na ideia da vida e da morte, do bem e do mal, do verdadeiro e do falso etc. Inúmeras línguas e escritas, antigas ou modernas, trazem as marcas evidentes destas limitações primitivas. A começar, evidentemente, por esta distinção gramatical que vários povos fizeram (ou ainda fazem) entre o singular, o dual e o plural.

7. UM E DOIS: OS PRIMEIROS NÚMEROS INVENTADOS Assim, em grego antigo, holukos significa “o lobo”, to luko, “os dois lobos” e hoilukoi, “os lobos”. Em árabe moderno, emprega-se igualmente a forma rajulun para “um homem”,rajulani para “dois homens” e rijalun para “homens”.

8. UM E DOIS: OS PRIMEIROS NÚMEROS INVENTADOS Nas inscrições pictóricas do Egito dos faraó conhecemos uma “ortografia” que consistia em repetir três vezes um mesmo hieróglifo (ou ainda em acrescentar três pequenos traços verticais à imagem correspondente): não apenas para figurar três exemplares do ser ou do objeto assim representado, mas também para indicar o seu plural.

9. UM E DOIS: OS PRIMEIROS NÚMEROS INVENTADOS Em chinês antigo, exprimia-se a ideia de “floresta” repetindo três vezes o pictograma de uma árvore, e a ideia de “multidão” reproduzindo três vezes a imagem de um ser humano. Na língua dos sumérios, os termos empregados para 1, 2 e 3 eram, respectivamente, gesh, min e esh. O primeiro significava também “o homem, o macho, o membro viril”, e o segundo tinha como sentido suplementar “a mulher”; quanto ao termo esh (três), ele tinha também o sentido de “muitos” e servia normalmente como sufixo verbal para marcar o plural (mais ou menos como o “s” português).

10. UM E DOIS: OS PRIMEIROS NÚMEROS INVENTADOS Existe na língua francesa uma aproximação evidente entre a palavra trois (três), o advérbio très (“muito”, que marca, para um adjetivo ou advérbio, uma intensidade elevada a seu mais alto grau) e a preposição de origem latina trans, que significa especificamente “além de”. Em francês antigo, o termo tresera empregado como preposição, com o sentido de “até”, e o verbo transir significava “falecer” (no sentido de “ir para o alem”). Em latim, a palavratres(três) e o prefixo trans evidentemente tinham o mesmo radical, enquanto ter servia não só para indicar o sentido de “três vezes” mas também a ideia de uma certa pluralidade.

11. UM E DOIS: OS PRIMEIROS NÚMEROS INVENTADOS Em inglês (arcaíco), a palavra thrice - “três vezes” e “vários”, three (três), throng (multidão) e through (através) têm visivelmente a mesma raiz etimológica. Desde a noite dos tempos o numero 3 foi sinônimo de pluralidade, de multidão, de amontoado, de além, e constituiu, conseqüentemente, uma espécie de limite impossível de conceber ou precisar. O que significa que, no espírito do homem, a invenção dos números fez uma primeira pausa no 2 ...

12. Como é que surgiu a noção de número? O número surgiu da necessidade que as pessoas tinham de contar objetos e seres. Nos primeiros tempos da humanidade, para contar eram usados os dedos, pedras, os nós de uma corda, marcas num osso...  Com o passar do tempo, este sistema foi-se aperfeiçoando até dar origem ao número. Hoje nós já sabemos lidar com os mais diferentes tipos de números. .  

13. Como é que surgiu a noção de número? Até ao final da história saberá em que época e porque é que o homem inventou cada um desses números.

14. Como é que surgiu a noção de número? O conhecimento dos números foi fundamental na evolução da História do Homem.  Desde as épocas mais remotas, têm chegado até nós vestígios que provam a sua importância. Hoje, os números estão presentes em qualquer atividade do Homem, desde a mais simples até à mais complexa. Contar terá sido a primeira “atividade” matemática da Humanidade. À medida que o Homem evoluiu, a Matemática foi sendo necessária: ...nas paredes das cavernas; aparecem desenhos de animais e traços a indicar contagens (cada traço representa uma coisa. animal, seta, ...).

15. Contando objetos com outros objetos Para registar os animais mortos numa caçada, eles limitavam-se a fazer marcas numa vara. A escrita ainda não tinha sido criada..  Um pescador, por exemplo, costumava levar consigo um osso de lobo. A cada peixe que conseguia tirar da água, fazia um risco no osso.

16. Contando objetos com outros objetos O trabalho de um pastor primitivo era muito simples. De manhã bem cedo, ele levava as ovelhas para pastar. À noite recolhia as ovelhas, guardando-as dentro de uma cerca. Mas como controlar o rebanho? O jeito que o pastor arranjou para controlar o seu rebanho foi contar as ovelhas com pedras. Assim: Cada ovelha que saía para pastar correspondia a uma pedra. No fim do dia, à medida que as ovelhas entravam no cercado, ele ia retirando as pedras do saquinho. Que susto levaria se após todas as ovelhas estarem no cercado, sobrasse alguma pedra.

17. Contando objetos com outros objetos Esse pastor jamais poderia imaginar que milhares de anos mais tarde, haveria um ramo da Matemática chamado Cálculo, que em latim quer dizer contas com pedras. Foi contando objetos com outros objetos que a humanidade começou a construir o conceito de número.  Para o homem primitivo o número cinco, por exemplo, estaria sempre ligado a alguma coisa concreta: cinco dedos, cinco peixes, cinco bastões, cinco animais, e assim por diante.

18. Contando objetos com outros objetos A ideia de contagem estava relacionada com os dedos da mão.  Assim, ao contar as ovelhas, o pastor separava as pedras em grupos de cinco.  Do mesmo modo os caçadores contavam os animais abatidos, traçando riscos na madeira ou fazendo nós numa corda, também de cinco em cinco.  Para nós, hoje, o número cinco representa a propriedade comum de infinitas coleções de objetos: representa a quantidade de elementos de um conjunto, não importando se trata de cinco bolas, cinco skates, cinco discos ou cinco aparelhos de som. É por isso que esse número, que surgiu quando o homem contava objetos usando outros objetos, é um número concreto.

19. Os egípcios criam os símbolos (?) Por volta do ano 4.000 a.C., algumas comunidades primitivas aprenderam a usar ferramentas e armas de bronze. A vida ia ficando cada vez mais complexa. Os agricultores passaram a produzir alimentos em quantidades superiores às suas necessidades. Como consequência desse desenvolvimento surgiu a escrita. Era o fim da Pré-História e o começo da História. Os grandes progressos que marcaram o fim da Pré-História verificaram-se com muita intensidade e rapidez no Egito.

20. Os egípcios criam os símbolos (?) Para fazer os projetos de construção das pirâmides e dos templos, o número concreto não era nada prático e também não ajudava muito na resolução dos difíceis problemas criados pelo desenvolvimento da indústria e do comércio. Foi partindo dessa necessidade imediata que estudiosos do Antigo Egito passaram a representar a quantidade de objetos de uma colecção através de desenhos – os símbolos

21. Os egípcios criam os símbolos (?) A criação dos símbolos foi um passo muito importante para o desenvolvimento da Matemática. Na Pré-História, o homem juntava 3 bastões com 5 bastões para obter 8 bastões. Hoje sabemos representar esta operação por meio de símbolos. 3 + 5 = 8 Mas como eram os símbolos que os egípcios criaram para representar os números? Há mais ou menos 3.600 anos, o faraó do Egito tinha um súbdito chamado Aahmesu, cujo nome significa “Filho da Lua”. Aahmesu ocupava na sociedade egípcia uma posição muito mais humilde que a do faraó: provavelmente era um escriba.

22. Os egípcios criam os símbolos (?) Hoje Aahmesu é mais conhecido do que muitos faraós e reis do Antigo Egito. Entre os cientistas, ele é chamado de Ahmes. Foi ele quem escreveu o Papiro Ahmes.  O papiro Ahmes é um antigo manual de Matemática. Contém 80 problemas, todos resolvidos. Observando e estudando como eram efetuados os cálculos no Papiro Ahmes, não foi difícil aos cientistas compreenderem o sistema de numeração egípcio. Além disso, a decifração dos hieróglifos – inscrições sagradas das tumbas e monumentos do Egito – no século XVIII também foi muito útil.

23. Os egípcios criam os símbolos (?)

24. Os egípcios criam os símbolos (?) • Os números no antigo Egito eram assim escritos:

25. Os egípcios criam os símbolos (?) Todos os outros números eram escritos combinando os números-chave. Ao escrever os números, os egípcios não se preocupavam com a ordem dos símbolos. Observe no desenho que apesar de a ordem dos símbolos não ser a mesma, os três garotos do Antigo.

26. Os Mesopotâmicos Na região do atual Iraque, desenvolveram-se vários povos, como sumérios, assírios e babilônios. Estes povos sucederam- se na região e fundiram suas culturas de tal forma que serão tratados aqui genericamente como mesopotâmicos. O sistema mesopotâmico lembra o dos egípcios, mas apenas no início. A diferença pode ser vista a seguir, a partir do número 60:

27. Os Mesopotâmicos

28. O sistema de numeração Romana De todas as civilizações da Antiguidade, a dos romanos foi sem dúvida a mais importante. Foi em Roma que se desenvolveu e aperfeiçoou o número concreto, que vinha sendo usado desde a época das cavernas. Como foi que os romanos conseguiram isso? Os romanos foram espertos. Eles não inventaram símbolos novos para representar os números; usaram as próprias letras do alfabeto. I  V  X  L C  D  M Como será que eles combinaram estes símbolos para formar o seu sistema de numeração?

29. O sistema de numeração Romana O sistema de numeração romano baseava-se em sete números-chave: I tinha o valor 1. V valia 5. X representava 10 unidades. L indicava 50 unidades. C valia 100. D valia 500. M valia 1.000

30. O sistema de numeração Romana O sistema de numeração romano foi adotado por muitos povos. Mas ainda era difícil efetuar cálculos com este sistema. Por isso, matemáticos de todo o mundo continuaram a procurar intensamente símbolos mais simples e mais apropriados para representar os números. E como resultado dessas pesquisas, aconteceu na Índia uma das mais notáveis invenções de toda a história da Matemática: O sistema de numeração decimal.

31. Afinal nos nossos dias… Até chegar aos números que nós aprendemos a ler e escrever, os símbolos criados pelos hindus mudaram bastante. Hoje, estes símbolos são chamados de algarismos indo- arábicos. Se foram os matemáticos hindus que inventaram o nosso sistema de numeração, o que é que os árabes têm a ver com isso? E por que é que os símbolos 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 chamam-se algarismos?

32. Referências IFRAH, G. Os números – a história de uma grande invenção, 2ª. edição. Globo, 1994. EVES, H. Introdução à história da matemática, 3ª. Edição. Unicamp, 2002.

33. OBRIGADA